2022年《勾股定理》集体备课教案

1、阳逻三中八年级数学下册集体备课教案第十八章勾股定理教材分析及教案建议本章主要内容是勾股定理及其逆定理；第一让同学通过观看得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方的结论并加以证明,从而得到勾股定理,然后运用勾股定懂得决问题；在此基础上,引入勾股定理 的逆定理,并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念；本章教案时间约需8 课时,详细支配如下：课时课时18 1 勾股定理 4 18 2 勾股定理的逆定理 3数学活动小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标 本章学问结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形,它有很多重要的性质,如两个锐角互余,30 的角所对的直角边等 于斜边的一半；本章所争论的勾股定

2、理,也是直角三角形的性质,而且是一条特别重要的性质；勾股定理是几何中几个最重要的定理之一,它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,它可以 解决很多直角三角形中的运算问题,是解直角三角形的主要依据之一,在生产生活实际中用途很大；它不 仅在数学中,而且在其他自然科学中也被广泛地应用；目前世界上很多科学家正在试图查找其他星球的“ 人” ,为此向宇宙发出了很多信号,如地球上人类 的语言、音乐、各种图形等；据说我国闻名数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,假如宇 宙人是“ 文明人” ,那么他们肯定会识别这种“ 语言” 的；这个事实可以说明勾股定理的重大意义,发觉 勾股定理,特殊在 2022

3、 多年前,是特别了不得的成就；1 / 26 在第一节中,教科书让同学通过观看运算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边 为边长的正方形的面积的关系,发觉两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形 的面积,从而发觉勾股定理；勾股定理的证明方法很多,教科书正文中介绍的是一种面积证法；其中的依据是图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变；在教科书中,图18.1 3（1）中的图形经过割补拼接后得到图 18.1 3（3）中的图形；由此就证明白勾股定理；通过推理证明命题 1 的正确性后,教科书顺势指出 什么是定理；由勾股定理可知,已知两条直角边的长 a,b

4、,就可以求出斜边 c 的长；由勾股定理可得或,由此可知,已知斜边与一条直角边的长,就可以求出另一条直角边的长；也就是说,在直角三角形中,已知两条边的长,就可以求出第三条边的长；教科书相应支配了三个探究栏目,让同学运 用勾股定懂得决问题；在其次节中,教科书让同学画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形,可以发觉画出的三角 形是直角三角形；从而猜想假如三角形的三边满意两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直 角三角形；这个猜想可以利用全等三角形证明,得到勾股定理的逆定理；勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法；教科书支配了两个例题,让同学学会 运用这种方法；这种方法与前

5、面学过的一些判定方法不同,它通过代数运算“ 算” 出来；实际上利用运算 证明几何问题同学已经见过,运算在几何里也是很重要的；从这个意义上讲,勾股定理的逆定理的学习,对开阔同学眼界,进一步体会数学中的各种方法有很大的意义；几何中有很多互逆的命题,互逆的定理,它们从正反两个方面揭示了图形的特点性质,所以互逆命题 和互逆定理是几何中的重要概念；同学已见过一些互逆命题（定理）,例如：“ 两直线平行,内错角相 等” 与“ 内错角相等,两直线平行” ；“ 全等三角形的对应边相等” 与“ 对应边相等的三角形是全等三角 形” 等,都是互逆命题；勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题,而且这两个命题的题设和结

6、论都 比较简洁；因此,教科书在前面已有感性熟识的基础上,在其次节中,结合勾股定理的逆定理的内容的展 开,穿插介绍了逆命题、逆定理的概念,并举例说明原命题成立其逆命题不肯定成立；为巩固这些内容,相应配备了一些练习与习题；本章学习目标如下：1体验勾股定理的探究过程,会运用勾股定懂得决简洁问题；2会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3通过详细的例子,明白定理的含义,明白逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不肯定成 立；二、本章编写特点（一）让同学体验勾股定理的探究和运用过程 勾股定理的发觉从传奇故事讲起,从故事中可以发觉等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角 形两直角边为边长的小正方形

7、的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积；再看一些其他直角三角 形,发觉也有上述性质；因而猜想全部直角三角形都有这个性质,即假如直角三角形的两直角边长分别为,斜边长为,那么（教科书把这个猜想记作命题1,把下节“ 假如三角形的三边长满意,那么这个三角形是直角三角形” 记作命题2,便于引出互逆命题）；教科书让同学用勾股定理探究三个问题；探究1 是木板进门问题；依据已知数据,木板横着、竖着都不能进门,只能斜着试试；由此想到求长方形门框的对角线的长,而这个问题可以用勾股定懂得决；探究2 / 26 2 是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离,梯子的底端是否也滑动相同的距离；这个问题可以转化为已知斜边与一

8、条直角边的长求另一条直角边的长的问题,这也可以用勾股定懂得决；探究 3 是在数轴上画出表示 的点；分以下四步引导同学：（1）将在数轴上画出表示 的点的问题转化为画出长为 的线段的问题；（2）由长为 的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边,联想到长为 的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边；（3）通过尝试发觉,长为 的线段是直角边为 2,3 的直角三角形的斜边；（4）画出长为 的线段,从而在数轴上画出表示 的点；（二）结合详细例子介绍抽象概念在本章中,结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容；在勾股定理一节中,先让同学通过观看得出命题1,然后通过面积变形证明命题1

9、；由此说明,经过证明被确认正确的命题叫做定理；在勾股定理的逆定理一节中,从古埃及人画直角的方法谈起,然后让同学画一些三角形（已知三边,并且两边的平方和等于第三边的平方）,可以发觉画出的三角形是直角三角形；因而猜想假如三角形的三边长满意,那么这个三角形是直角三角形,即教科书中的命题2；把命题 2 的条件、结论与上节命题1 的条件、结论作比较,引出逆命题的概念；接着探究证明命题2 的思路；用三角形全等证明命题 2 后,顺势引出逆定理的概念；命题 1,命题 2 属于原命题成立,逆命题也成立的情形；为了防止同学由此误以为原命题成立,逆命题肯定成立,教科书特殊举例说明有的原命题成立,逆命题不成立；（三）

10、留意介绍数学文化我国古代的学者们对勾股定理的争论有很多重要成就,不仅在很久以前独立地发觉了勾股定理,而且使用了很多奇妙的方法证明白它,特殊在勾股定理的应用方面,对其他国家的影响很大,这些都是我国人民对人类的重要奉献；本章介绍了我国古代的有关争论成果；在引言中介绍我国古算书周髀算经的记载“ 假如勾是三、股是四、那么弦是五” ；有很多方法可以证明勾股定理；教科书为了弘扬我国古代数学成就,介绍了我国古人赵爽的证法；第一介绍赵爽弦图,然后介绍赵爽利用弦图证明命题1 的基本思路；“ 赵爽弦图” 表现了我国古人对数学的钻研精神和聪慧才智,它是我国古代数学的骄傲；正由于此,这个图案被选为 2022 年在北京

11、召开的世界数学家大会的会徽；仍在习题中支配我国古代数学著作九章算术中的问题,呈现 我国古人在勾股定理应用争论方面的成果；本章也介绍了国外的有关争论成果；如勾股定理的发觉是从与毕达哥拉斯有关传奇故事引入的；又如 勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入；再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论；三、几个值得关注的问题（一）让同学获得更多与勾股定理有关的背景学问 与勾股定理有关的背景学问丰富,除正文介绍的有关内容外,教科书在“ 阅读与摸索勾股定理的证 明” 中介绍了另外几种证明勾股定理的方法,仍支配了一个数学活动,让同学收集一些证明勾股定理的方 法,并与同学沟通；3 / 26 在教案中,应留意

12、呈现与勾股定理有关的背景学问,使同学对勾股定理的进展过程有所明白,感受勾 股定理的丰富文化内涵,激发同学的学习爱好；特殊应通过向同学介绍我国古代在勾股定理争论方面的成 就,激发同学喜爱祖国,喜爱祖国悠久文化的思想感情,培育他们的民族骄傲感,同时训练同学发奋图 强,努力学习,为将来担负起振兴中华的重任打下基础；（二）适当总结与定理、逆定理有关的内容 本章中给出了定理、逆定理的概念,可以在小结中回忆已学的一些结论；例如,在第七章“ 三角形”中,“ 三角形的内角和等于 180 ” 是由平行线的性质与平角的定义推出的,这个结论也称为三角形内角 和定理；又如,在第十三章“ 全等三角形” 中,都是利用三角

13、形全等证明的,前一个结论也称为角的平分 线的性质定理,而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理；这样就可以从定理、逆定理的角度熟识 已学的一些结论,明确其中一些结论之间的关系；互逆命题、互逆定理的概念,同学接受它们困难不大,对于那些不是以“ 假如 那么 ” 形式给 出的命题,表达它们的逆命题困难较大,是教案中的一个难点；解决这个难点的方法是,适当复习命题的 有关内容,学会把一个命题变为“ 假如 那么 ” 的形式；留意这些概念是第一次学习,不要要求过 高；四、教案建议本章内容的重点与难点是勾股定理及其应用,勾股定理的逆定理及其应用；勾股定理是解几何题中有关线段运算问题的重要依据,也是以后学习解

14、直角三角形的主要依据之一；本章的难点是把握勾股定理并能娴熟的运用勾股定理；要留意：在直角三角形中,反映的是直角三角形的三边关系；直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边的平方和；在其它三角形中不存在这样的关系；这是一个特别重要的定理；它是把形转化为数 ,它的应用特别广泛；勾股定理的逆定理就是 为直角三角形；相关学问点回忆：（1）直角三角形的两个锐角互余把数转化为形 ,通过运算判定一个三角形是否（2）直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半；（3）斜边大于任一条直角边（4）全等三角形判定方法；（5）面积公式同学在本章学习中存在认知误区和思维障碍；1忽视题目中的隐含条件；如在 Rt

15、ABC 中, B90,a,b,c 分别为三条边,a3,b 4,求边c 的长；不少同学会认为 c 5,忽视了 b 是斜边这一隐含条件；2忽视定理成立的条件是在直角三角形中,有的同学看到三角形的两边是 3 和 4,就会认为第三边是5,3考虑问题不全面造成漏解如已知直角三角形的两边长分别为5 和 12,求第三边；4通过添加帮助线将非直角三角形转化为直角三角形如a连结两点构造直角三角形（b）作高构造4 / 26 直角三角形（ c）构造几何图形解决代数问题；教案建议 本章教案老师可采纳主体性学习的教案模式,提出问题让同学摸索,设计问题让同学做,错误缘由让 同学找,方法与规律让同学归纳老师的作用在于组织、

16、点拨、引导,促进同学主动探究、积极摸索、大 胆想象、总结规律,充分发挥同学的主体作用,让同学真正成为教案活动的主人；本章的教案步骤可分五 步：探究结论验证结论初步应用结论证明结论应用结论解决实际问题；1 、在探究结论阶段,应调动同学的积极性,让同学充分参加 例如,教材设计了在方格纸上通过运算面积的方法探究勾股定理的活动,老师勉励同学尝试求出方格 中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系,由此得到直角三角形三边的关系、通过对几个特 殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律,运用自己的语言表达探究过程和所得结论；2 、在勾股定理的探究和验证过程中,数形结合的思想有较多的表达 例如,在

17、探究勾股定理的过程中,老师应引导同学由正方形的面积想到；而在勾股定理的验证过程 中,老师又应引导同学由数想到正方形的面积3 、初步应用结论阶段的重点是让同学明确：在直角三角形中,知道两边的长度,可以求得第三边的 长度,老师应充分利用教材让同学体会勾股定理及其逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用,如埃及人 利用结绳的方法作出直角,利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等；4 、证明结论阶段主要是理清思路,而不只是介绍某一种证明方法老师在教案中应激发同学探究更多 的证明方法,留意训练同学书写规范；5、应用结论解决实际问题要留意强调两类问题：探干脆问题和应用性问题通过问题的解决,让同学 学会从不同角度分析问

18、题、解决问题；让同学学会引申、变更问题,以培育同学发觉问题、提出问题的创 造才能 例 有一个边长为 50 分 M 的正方形洞口,问用直径为多长的圆形铁片来堵住洞 口？表面看上去这是一个有关圆的问题；其实圆形铁片的直径就应当是等腰三角形的 斜边长边长是 50 分 M,把它看成一个直角三角形,然后用勾股定理,两条直角边的 平方和等于斜边的平方；就是 50 x50+50 x50=5000 ,答案是 502=70.5 要求同学记住勾股定理,然后对待问题套公式,这样可以解决一系列的问题6、留意介绍数学史,凸显数学的文化价值 7、关注同学学习过程的评判,对于本章的学习,除了考查勾股定理的解题应用外,仍应当

19、关注对学 生学习过程的评判；例如,让同学动手截、割、拼、补,使同学参加定理的发觉、探究、验证过程,既能 5 / 26 培育同学数学的直观才能,又能表达教案的针对性、活动性、开放性与合作性；五常见典型错误简析1如何求第三边 . A 例 1 在 Rt ABC 中, B 90,a,b,c 分别为三条边,a 3,b4,求边 c 的长；不少同学会认为c 5,忽视了 b 是斜边这一隐含条件；B 例 2 判定：在ABC 中, AC3,BC4,求 AB 的长不少同学会认为AB=5, 忽视了ABC 是直角三角形这个条件；E 例 3 已知直角三角形的两边长分别为5 和 12,求第三边；不少同学会认为第三边为13,

20、忽视了 12 可能是直角边也可能是斜边；例 4 如图, A 45, B=D=90 ,BC=1 ,AD 2,求 CD 的长；不少同学会在四边形ABCD 里面加帮助线,破坏了已知的条件；增加明白题的难度；应当把AB,CD边延长,构造出新的直角三角形,利用勾股定懂得题； 2蚂蚁怎么走最近 . 例 5 如图,有一个圆柱,它的高等于 12 厘 M ,底面半径等于 3 厘 M 在圆柱的下底面 A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与 A 点相对的 C 点处的食物,需要爬行的最短路程是多少 . 的值取 3此题常见错误有两个：一是不能正确地将圆柱的侧面绽开,从而无法进行求解；二是误将圆柱侧面绽开图 矩形 的对角线

21、作为所求的 B ACB C B C A D A 3木板能否经过门框. DC例 6 一个门框的长为2m,宽为 1m,如下列图,一块长3 m,宽 2.2m 的薄木AB板能否从门框内通过.为什么 .不少同学一看此题,就会给出答案：不能而不知应先利用勾股定理求出AC 的长再进行判定；4梯子底端下滑几M. 6 / 26 例 7 一个 3 m 长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AO 上,这时AO 的距离为 25 m,假如梯子的顶端A 沿墙下滑05m,那么梯子底端B 也外移A05 吗？CBD此题同学简洁错误地懂得为梯子的顶端A 沿墙下滑 05 m 时,O梯子底端 C 向外移动的距离是CD ,由于梯子的长度没有

22、转变,认为 CD=AE ,得出错误会答；5湖水如何知深浅 . 例 8 “ 荷花问题 ”：“ 平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,渔人观看忙向前,花离原位二尺远；能算诸君请解题,湖水如何知深浅 .”请用学过的数学学问解答这个问题六 中考热点勾股定理在中考数学中单独命题考查的挑选题和填空题相对较少,而主要是与方程、函数、四边形、圆以及相像形等学问综合在一起考查,敏捷性强,涉及面广、能力要求高；12022 年达州 图是一株漂亮的勾股树,其中全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形如正方形A 、B、C、D 的边长分别是3、5、2、3,就最大正方形E 的面积是A13

23、 B26 C 47 D94【答案】 C 2（2022 年滨州）如图3,已知ABC 中, AB 17,AC 10,BC 边上的高A C AD 8, 就边 BC 的长为（）C6 D以上答案都不对【答案】 A B D A 21 B15 32022 年安顺 图甲是我国古代闻名的“ 赵爽弦图” 的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的；在 Rt ABC 中,如直角边 AC 6,BC6,将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示 的 “数 学 风 车 ”, 就 这 个 风 车 的 外 围 周 长 （ 图 乙 中 的 实 线 ） 是_；【答案】 76 如图,等腰ABC中, ABA

24、C , AD 是底边上的B A C 4（ 2022 年湖南长沙）高,如AB5cm,BC6cm,就 ADcm【答案】 4D 7 / 26 5（2022 恩施市）如图,长方体的长为15,宽为 10,高为20,点 B 离点 C 的距离HB 5 C EE 为 5,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B ,需要爬行的最短距离是（）A 5 21 B25 C10 55 D 35【答案】 B 15 20 6 （ 2022 年 滨 州 ） 某 楼 梯 的 侧 面 视 图 如 图4 所 示 , 其 中AB4M ,A 10 BAC30 ,C90 ,因某种活动要求铺设红色地毯,就在AB 段楼梯所铺地毯的长A

25、B 度应为【答案】（2+23 ）M 72022 年四川省内江市已知 Rt ABC 的周长是443,A 30C 斜边上的中线长是2,就 S ABC _【答案】 8 8（2022 年宜宾 ）已知：如图,以Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形CB如斜边 AB 3,就图中阴影部分的面积为【答案】9 29（2022 年崇左）如图,在等腰梯形ABCD 中,已知 AD/BC ,AB DC,AD 2, BC4,延长 BC 到 E,使 CEAD F F 第12题图（1）证明： BAD DCE ；A D （2）假如 AC BD,求等腰梯形ABCD 的高 DF 的值答案DF3C B （第 24 题）1

26、0（09 白银市） 如图 13, ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形,8 / 26 ACB ECD 90第十八章 勾股定理181 勾股定理（一）一、教案目标1明白勾股定理的发觉过程,把握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理；2培育在实际生活中发觉问题总结规律的意识和才能；3介绍我国古代在勾股定理争论方面所取得的成就,激发同学的爱国热忱,促其勤奋学习；二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明；2难点：勾股定理的证明；三、例题的意图分析 例 1（补充）通过对定理的证明,让同学确信定理的正确性；通过拼图,发散同学的思维,锤炼同学 的动手实践才能；这个古老的出色的证法,出自我国古代无名数学家之

27、手；激发同学的民族骄傲感,和爱 国情怀；例 2 使同学明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变；进一步让同学确信勾 股定理的正确性；四、课堂引入 目前世界上很多科学家正在试图查找其他星球的“ 人” ,为此向宇宙发出了很多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等；我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,假如宇宙人是“ 文明人” ,那么他们肯定会识别这种语言的；这个事实可以说明勾股定理的重大意义；特殊是在两千年前,是特别了不得的成就；让同学画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角ABC ,用刻度尺量出 AB 的长；以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个

28、叫商高的人发觉的,他说：“ 把一根直尺折成直角,两 段连结得始终角三角形,勾广三,股修四,弦隅五；” 这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5；2=13 2,那么就有勾2+股2=弦再画一个两直角边为 5 和 12 的直角 ABC ,用刻度尺量你是否发觉 3 2+4 2与 5 2的关系, 5 2+12 2 和 13 2的关系,即AB 的长；32+42=52, 5 2+122；DC对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析 例 1（补充）已知：在ABC 中, C=90 , A 、 B、 C 的对边 为 a、b、c；求证： a

29、2b 2=c2；AbcaB分析：让同学预备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让同学拼摆不同的外形,利用面积相等进行证明；拼成如下列图,其等量关系为：4S +S小正=S大正41ab（ ba）2=c2,化简可证；2发挥同学的想象才能拼出不同的图形,进行证明； 勾股定理的证明方法,达 300 余种；这个古老的出色的证法,出自我国古代无名数学家之手；激发同学 的民族骄傲感,和爱国情怀；例 2 已知：在ABC 中, C=90 , A、 B、 C 的对边为a、b、c；9 / 26 求证： a 2b 2=c2；aabcccabaaba分析：左右两边的正方形边长相等,就两个c正方形的面积相等；左边 S=4

30、1abc22bcbabcbb右边 S=（a+b）2左边和右边面积相等,即a41ab c 2=（a+b）22化简可证；六、课堂练习1勾股定理的详细内容是：；2如图,直角ABC 的主要性质是：C=90 ,（用几何语言表示）AD两锐角之间的关系：；如 D 为斜边中点,就斜边中线；如 B=30 ,就 B 的对边和斜边：；三边之间的关系：；3 ABC 的三边a、b、c,如满意b2= a 2 c 2,就 =90 ； 如满意b2 c 2CAcaDBa 2,就 B 是角； 如满意 b2c2a2,就 B 是角；4依据如下列图,利用面积法证明勾股定理；bE七、课后练习Bcba1已知在 Rt ABC 中, B=90

31、 , a、b、c 是 ABC 的三边,就Cc=；（已知 a、 b,求 c）a=；（已知 b、c,求 a）b=；（已知 a、c,求 b）2如下表,表中所给的每行的三个数 a、b、c,有 ab c,试依据表中已有数的规律,写出当 a=19时, b,c 的值,并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来；3、4、5 3 2+4 2=5 25、12、13 5 2+12 2=13 27、24、25 7 2+24 2=25 29、40、41 9 2+40 2=41 2 19,b、c 19 2+b 2=c 23在 ABC 中, BAC=120 , AB=AC= 10 3 cm,一动点 P从 B 向 C 以每秒

32、2cm 的速度移动,问当P 点移动多少秒时,PA 与腰垂直；10 / 26 4已知：如图,在ABC 中, AB=AC ,D 在 CB 的延长线上；BAC论；求证： AD2AB2=BD CD 如D 在 CB 上,结论如何,试证明你的结课后反思：D八、参考答案课堂练习1略；2 A+B=90 ； CD=1AB ； AC=1AB ； AC2+BC2=AB2；223 B,钝角,锐角；4提示：由于S梯形ABCD = SABE + SBCE+ SEDA,又由于 S 梯形ACDG =1 （a+b）22,SBCE= SEDA =1 2 ab,SABE =1c 2,1 （a+b）22=21 ab1c 2；222课

33、后练习1 c=2 ba2； a=b21c2； b=1c22 a2a2；就 b=2 b2 ca2,c=a2；当 a=19时, b=180,c=181；cb12235 秒或 10 秒；4提示：过 A 作 AEBC 于 E；11 / 26 181 勾股定理（二）一、教案目标1会用勾股定理进行简洁的运算；2树立数形结合的思想、分类争论思想；二、重点、难点1重点：勾股定理的简洁运算；2难点：勾股定理的敏捷运用；三、例题的意图分析 例 1（补充）使同学熟识定理的使用,刚开头使用定理,让同学画好图形,并标好图形,理清边之间 的关系；让同学明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边；并学会利用不同的条件

34、转化为已 知两边求第三边；例 2（补充）让同学留意所给条件的不确定性,知道考虑问题要全面,体会分类争论思想；例 3（补充）勾股定理的使用范畴是在直角三角形中,因此留意要制造直角三角形,作高是常用的创 造直角三角形的帮助线做法；让同学把前面学过的学问和新学问综合运用,提高综合才能；四、课堂引入 复习勾股定理的文字表达；勾股定理的符号语言及变形；学习勾股定理重在应用；五、例习题分析 例 1（补充）在 Rt ABC , C=90已知 a=b=5,求 c；已知 a=1,c=2, 求 b；已知 c=17,b=8, 求 a；已知 a：b=1：2,c=5, 求 a；已知 b=15, A=30 ,求 a,c；

35、分析：刚开头使用定理,让同学画好图形,并标好图形,理清边之间的关系；已知两直角边,求斜 边直接用勾股定理；已知斜边和始终角边,求另始终角边,用勾股定理的便形式；已知一边和两 边比,求未知边；通过前三题让同学明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边；后两题让学 生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的 转化思想；例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5 和 12,求第三边；C分析：已知两边中较大边12 可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情形分别进形运算；让同学知道考虑问题要全面,体会分类争论思想；例 3（补充）已知：如图,等边

36、ABC 的边长是 6cm；ADB求等边ABC 的高；求 S ABC；分析：勾股定理的使用范畴是在直角三角形中,因此留意要制造直角三角形,作高是常用的制造直角三角形的帮助线做法；欲求高CD ,可将其置身于Rt ADC 或 Rt BDC 中,1AB=3cm ,就此题可解；但只有一边已知,依据等腰三角形三线合一性质,可求AD=CD=2六、课堂练习1填空题 在 Rt ABC , C=90 , a=8,b=15,就 c=；在 Rt ABC , B=90 , a=3,b=4,就 c=；12 / 26 在 Rt ABC , C=90 , c=10,a：b=3：4,就 a=,b=；一个直角三角形的三边为三个连

37、续偶数,就它的三边长分别为；已知直角三角形的两边长分别为3cm 和 5cm,就第三边长为；已知等边三角形的边长为2cm,就它的高为,面积为；是A2已知：如图,在ABC中, C=60 , AB=43,AC=4 ,ADBC 边上的高,求BC 的长；10,底边长是16,求这个等腰三角形的面3已知等腰三角形腰长是积；七、课后练习CDB1填空题 在 Rt ABC , C=90 ,假如 a=7,c=25,就 b=；假如 A=30 , a=4,就 b=；假如 A=45 , a=3,就 c=；假如 c=10,a-b=2,就 b=；假如 a、b、c 是连续整数,就a+b+c=；AD假如 b=8,a：c=3：5,

38、就 c=；2已知：如图,四边形ABCD 中, AD BC,AD DC,AB AC , B=60 , CD=1cm ,求 BC 的长；B C课后反思：八、参考答案课堂练习117；7 ； 6,8； 6, 8,10； 4 或34 ；3 ,3 ；28； 348；课后练习124； 43 ； 32 ； 6； 12； 10； 223313 / 26 181 勾股定理（三）一、教案目标1会用勾股定懂得决简洁的实际问题；2树立数形结合的思想；二、重点、难点1重点：勾股定理的应用；2难点：实际问题向数学问题的转化；三、例题的意图分析例 1（教材P74 页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题,留意条件的转化；学

39、会如何利用数学学问、思想、方法解决实际问题；例 2（教材P75 页探究2）使同学进一步娴熟使用勾股定理,探究直角三角形DC三边的关系：保证一边不变,其它两边的变化；四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用；勾股定理的发觉和使用解决了很多生活中的问题,今日我们就来运用勾股定懂得决一些问题,你可以吗？试一试；五、例习题分析AB例 1（教材 P74 页探究 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中,留意勾股定理的使用条件,即门框为长方形,四个角都是直角；让同学深化探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽视厚度,只记长度,探讨以何种方式通过？转化为勾

40、股定理的运算,采纳多种方法；留意给同学小结深化数学建模思想,激发数学爱好；例 2（教材 P75 页探究 2）分析：在AOB中,已知AB=3 , AO=2.5 ,利用勾股定理运算OB ；ABD 在 COD 中,已知 CD=3 ,CO=2 ,利用勾股定理运算OD；BD；C就 BD=OD OB,通过运算可知BD AC ；进一步让同学探究AC 和 BD 的关系,给AC 不同的值,运算O六、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着 45 度的坡路走了 500M ,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的 离地面的高度是 M ；2如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3 M ,就这两株树之间的垂直距离是 M

41、 ,水平距离是 M ；B CA30BCA14 / 26 2 题图 3 题图 4 题图3如图,一根 12M 高的电线杆两侧各用 15M 的铁丝固定,两个固定点之间的距离是；4如图,原方案从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速大路,后因技术攻关,可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建,已知高速大路一公里造价 A为 300 万元,隧道总长为 2 公里,隧道造价为 500 万元, AC=80 公里, BC=60 公里,就改建后可省工程费用是多少？七、课后练习1如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C 两点,在江对岸取BC一点 A ,使 AC 垂直江岸,测得BC=50M ,B=60 ,就江面的宽度为

42、；R2有一个边长为1M 正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞PAQ口,就圆形盖半径至少为M；3一根32 厘 M 的绳子被折成如下列图的外形钉在P、Q 两点,PQ=16厘 M,且 RPPQ,就 RQ=厘 M；4 如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24M, B= C=30 , E、F 分别为BD 、CD 中点,试求B、C 两点之间的距离,钢索 AB 和 AE 的长度；（精确到1M ）BEDFC课后反思：八、参考答案：课堂练习：12502； 2 6,23；318M ； 4 11600；课后练习1503M ； 22 ；2320； 483M ,48M ,32M ；15 / 26 181 勾股定理

43、（四）一、教案目标 1会用勾股定懂得决较综合的问题；2树立数形结合的思想；二、重点、难点 1重点：勾股定理的综合应用；2难点：勾股定理的综合应用；三、例题的意图分析 例 1（补充）“ 双垂图” 是中考重要的考点,娴熟把握“ 双垂图” 的图形结构和图形性质,通过讨论、运算等使同学能够敏捷应用；目前“ 双垂图” 需要把握的学问点有：3 个直角三角形,三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30 或 45 特殊角的特殊性质等；例 2（补充）让同学留意所求结论的开放性,依据已知条件,作适当帮助线求出三角形中的边和角；让同学把握解一般三角形的问题常常通过作高转化

44、为直角三角形的问题；使同学清晰作帮助线不能破坏已 知角；例 3（补充）让同学把握不规章图形的面积,可转化为特殊图形求解,此题通过将图形转化为直角三 角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差；在转化的过程中留意条件的合理运用；让同学把前面 学过的学问和新学问综合运用,提高解题的综合才能；例 4（教材P76 页探究3）让同学利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论；四、课堂引入 复习勾股定理的内容；本节课探究勾股定理的综合应用；五、例习题分析例 1（补充） 1已知：在Rt ABC 中, C=90 , CD BC 于 D, A=60 , CD=3 ,求

45、线段 AB 的长；分析：此题是“ 双垂图” 的运算题,“ 双垂图” 是中考重要的考点,所以要求同学对图形及性质把握特别娴熟,能够敏捷应用；目前“ 双垂图” 需要把握的学问点有：3 个直角三角BCCA形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及 30 或 45 特殊角的特殊性质等；要求同学能够自己画图,并正确标图；引导同学分析：欲求AB ,可由DAB=BD+CD ,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出BD=3 和AD=1 ；或欲求AB ,可由ABAC2BC2,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出AC=2 和 BC=6；例 2（补充）已知：如

46、图,ABC 中, AC=4 , B=45 , A=60 ,依据题设可知什么？分析：由于此题中的ABC 不是直角三角形,所以依据题设只能直接求得ACB=75 ；在同学充分摸索和争论后,发觉添置AB 边上的高这条帮助线,就可以求得AD , CD,BD ,AB ,BC 及 S ABC ；让同学充分争论仍可以ADB16 / 26 作其它帮助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题；并指出如何作帮助线？解略；例 3（补充）已知：如图,B= D=90 , A=60 , AB=4 ,ACDECD=2；求：四边形ABCD 的面积；B分析：如何构造直角三角形是解此题的关键,可

47、以连结AC ,或延长AB 、DC 交于 F,或延长AD 、BC 交于 E,依据此题给定的角应选后两种,进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁；教案中要逐层呈现给同学,让同学深化体会；解：延长 AD 、BC 交于 E； A= 60 , B=90 , E=30 ；AE=2AB=8 ,CE=2CD=4 ,BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=48 =43；63DE2= CE2-CD2=4 2-22=12, DE=12 =23；S四边形 ABCD =S ABE-S CDE=1AB BE-1CD DE=22小结：不规章图形的面积,可转化为特殊图形求解,此题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四

48、边形面积转化为三角形面积之差；例 4（教材 P76 页探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论；变式训练：在数轴上画出表示31 2,2的点；六、课堂练习1 ABC 中, AB=AC=25cm ,高 AD=20cm, 就 BC= ,SABC =；2 ABC 中,如 A=2 B=3 C,AC= 2 3 cm,就 A= 度, B= 度,C= 度, BC= ,SABC=；3 ABC 中, C=90 , AB=4 ,BC= 2 3,CD AB 于 D,就 AC= ,ACD= ,BD= ,AD=,SABC =；4已知：如图,ABC 中, AB=2

49、6 ,BC=25,AC=17 ,BC求 S ABC ；七、课后练习1在 Rt ABC 中, C=90 , CDBC 于 D, A=60 , CD= 3 ,AB= ；2在 Rt ABC 中, C=90 , SABC =30, c=13,且 ab,就 a=, b=；3已知：如图,在ABC 中, B=30 , C=45 , AC=22,A求（ 1）AB 的长；（ 2）S ABC ；4在数轴上画出表示5,25的点；BC17 / 26 课后反思：八、参考答案：课堂练习：130cm,300cm2；2-x2=262-（ 17-x）2,x=7 ,BD=24 ,290, 60,30,4,23；32,3 ,3,1

50、,23；4作 BDAC 于 D,设 AD=x ,就 CD=17-x ,25S ABC=1AC BD=254 ；2课后练习：14；25,12；3提示：作AD BC 于 D,AD=CD=2 ,AB=4 ,BD=23,BC=2+23,SABC= =2+23；4略；18 / 26 182 勾股定理的逆定理（一）一、教案目标1体会勾股定理的逆定理得出过程,把握勾股定理的逆定理；2探究勾股定理的逆定理的证明方法；3懂得原命题、逆命题、逆定理的概念及关系；二、重点、难点1重点：把握勾股定理的逆定理及证明；2难点：勾股定理的逆定理的证明；三、例题的意图分析 例 1（补充）使同学明白命题,逆命题,逆定理的概念,

51、及它们之间的关系；例 2（P82 探究）通过让同学动手操作,画好图形后剪下放到一起观看能否重合,激发同学的爱好和 求知欲,锤炼同学的动手操作才能,再通过探究理论证明方法,使实践上升到理论,提高同学的理性思 维；例 3（补充）使同学明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先 判定那条边最大；分别用代数方法运算出 a 2+b 2 和 c 2 的值；判定 a 2+b 2 和 c 2 是否相等,如相等,就是 直角三角形；如不相等,就不是直角三角形；四、课堂引入 创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比,从勾股定理的逆

52、命题 进行猜想；五、例习题分析 例 1（补充）说出以下命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补,两条直线平行；假如两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半；分析：每个命题都有逆命题,说逆命题时留意将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注 意语言的运用；理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,仍可能 都假；解略；例 2（P82 探究）证明：假如三角形的三边长a,b, c 满意AA1a 2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形；分析：留意命题证明的

53、格式,第一要依据题意画出图形,然后写已知求证；如何判定一个三角形是直角三角形,现在只知道如有一个BcabB1ab角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判定一CC1个角是直角；利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决；先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理运算斜边A 1B 1=c,就通过三边对应相等的两个三角19 / 26 形全等可证；先让同学动手操作,画好图形后剪下放到一起观看能否重合,激发同学的爱好和求知欲,再探究理论证明方法；充分利用这道题锤炼同学的动手操作才能,由实践到理论同学更简洁接受；证明略；例 3（补充）已知：在ABC 中, A 、 B、

54、C 的对边分别是a、b、 c,a=n21,b=2n,c=n21（n1）求证： C=90 ；分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判定那条边最 大；分别用代数方法运算出 a 2+b 2 和 c 2 的值；判定 a 2+b 2 和 c 2 是否相等,如相等,就是直角三角形；如不相等,就不是直角三角形；a 2+b要证 C=90 ,只要证2=c 2 即可；ABC 是直角三角形,并且c 边最大；依据勾股定理的逆定理只要证明由于a 2+b 2= （n 2 1）2（ 2n）2=n 42n21,c 2=（n21）2= n 42n21,从而a 2+b 2=c2,故命题获证；六、课

55、堂练习1判定题；在一个三角形中,假如一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角；题；命题：“ 在一个三角形中,有一个角是 30 ,那么它所对的边是另一边的一半；” 的逆命题是真命勾股定理的逆定理是：假如两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么这个三角形是直角三角形； ABC 的三边之比是1：1：2 ,就 ABC 是直角三角形；2 ABC 中 A、 B、 C 的对边分别是a、b、c,以下命题中的假命题是（）A假如 C B= A ,就 ABC 是直角三角形；B假如 c2= b2a 2,就 ABC 是直角三角形,且C=90 ；C假如（ ca）（ ca）=b2,就 ABC 是直角三角形；D假

56、如 A ： B： C=5：2：3,就 ABC 是直角三角形；3以下四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8,b=15,c=17 Ba=9, b=12,c=15 Ca=5 ,b=3 ,c=2Da：b：c=2：3：4 4已知：在ABC 中, A 、 B、 C 的对边分别是a、b、 c,分别为以下长度,判定该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3 ,b=22,c=5 ；a=5,b=7,c=9；a=5,b=26,c=1；a=2,b=3 ,c=7 ；七、课后练习,1表达以下命题的逆命题,并判定逆命题是否正确；假如 a 30,那么 a 20；假如三角形有一个角小于 90 ,那么这个三角形是

57、锐角三角形；假如两个三角形全等,那么它们的对应角相等；20 / 26 关于某条直线对称的两条线段肯定相等；2填空题；任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有；“ 两直线平行,内错角相等；” 的逆定理是；在 ABC 中,如 a2=b 2c2,就 ABC 是三角形,是直角；如 a 2b 2c 2,就 B 是；如在ABC 中, a=m 2n 2,b=2mn,c= m 2n 2,就 ABC 是三角形；3如三角形的三边是 1、3 、2； 1 , 1 , 1； 3 2, 4 2,5 29,40,41；3 4 5（ mn）21,2（mn）,（ mn）21；就构成的是直角三角形的有（）A2 个 B个 个 个4

58、已知：在ABC 中, A、 B、 C 的对边分别是 a、b、c,分别为以下长度,判定该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9,b=41,c=40；a=15,b=16,c=6；a=2,b= 2 3,c=4； a=5k,b=12k ,c=13k（k0）；课后反思：八、参考答案：课堂练习：1对,错,错,对； 2D；3D； 4是, B；不是；是,课后练习：1假如 a 20,那么 a 30；假命题；C；是, A；假如三角形是锐角三角形,那么有一个角是锐角；真命题；假如两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等；假命题；两条相等的线段肯定关于某条直线对称；假命题；2逆命题,逆定理；内错角相

59、等,两直线平行；直角,B,钝角；直角；3B 4 是, B；不是,；是,C；是, C；21 / 26 182 勾股定理的逆定理（二）一、教案目标1敏捷应用勾股定理及逆定懂得决实际问题；2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的熟识；二、重点、难点1重点：敏捷应用勾股定理及逆定懂得决实际问题；2难点：敏捷应用勾股定理及逆定懂得决实际问题；三、例题的意图分析 例 1（P83 例 2）让同学养成利用勾股定理的逆定懂得决实际问题的意识；例 2（补充）培育同学利用方程思想解决问题,进一步养成利用勾股定理的逆定懂得决实际问题的意识；QSNRE四、课堂引入创设情境：在军事和航海上常常要确定方向和位置,从而使用一

60、些数学学问和数学方法；P五、例习题分析例 1（P83 例 2）分析：明白方位角,及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=12 1.5=18,PQ=16 1.5=24 , QR=30 ；QPR=90 ；由于 242+182=302,PQ2+PR2=QR2,依据勾股定理的逆定理,知 PRS=QPR-QPS=45 ；小结：让同学养成“ 已知三边求角,利用勾股定理的逆定理” 的意识；例 2（补充）一根30M 长的细绳折成3 段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7M,比较长边短 1M,请你试判定这个三角形的外形；分析：如判定三角形的外形,先求三角形的三边长；设未知数列方程,求出三角形的三边