习题参考答案第一章作业答案

1、主编信号与系统第一章 (P25-28)习题解答（注：题目为黑色，解答为兰色，偶尔有红色）1.1 试说明图 1-52（图在此略）中各种信号属哪类信号：周期、连续、能量或功率、确定信号。解答：以表格形式比较清楚：1.2 画出以下各信号的波形：（2） nun un 2 ；（3） (t 1)u(t 1) ；（6） sin(t 2)u(t 2) 。（1） tu(t) ；（4） ( 1 )n2 un 2 ；（5） et u(t) u(t 1) ；2解答：(1)(2)1tn00123(3)(4)10.5nt011023456(5)(6)110.368tt010-121.3 写出图 153 中各信号的函数表达

2、式(注意：（b）、（d）、（e）用 u(t)的形式)。x1(t)x1(t)强度为 1 的冲激11t-1-1解答：(a) x1 (t) u(t 1) 2u(t) u(t 1)(a)强度为 2 的冲激小题周期连续离散确定随机能量功率（a）（b）非（c）非（d）非（e）非（f）非x3(t)x2(t)x2(t)tt01(c)3(b)解答：(b) x2 (t) 1 | t |,0 | t | 1(c) x3 (t) sin(t 1) u(t 1)x2 (t) (t 1)u(t 1) 2tu(t) (t 1)u(t 1)x4(t)x4(t)x5(t) x5(t)211强度为 1 的冲激tt013(d)43

3、401强度为 1 的冲激(e) t t t t 0 t 11 t 3 ;3 t 4ttt 14(e) x5 (t) 解答：(d) x4 ( )ttx4 (t) tu(t) (1 t)u(t 1) (3 t)u(t 3) (t 4)u(t 4)x5 (t) u(t) (t 1)u(t 1) (4 2t)u(t 2) (t 3)u(t 3) u(t 4)1.4 画出图 1-53 中 (a)、(b)、(d)、(e)的微分信号。解答: 如上题图中画上的红色线条1.5 已知一连续信号如图 1-54 所示，试画出下列各式的波形。（1）f(2t-1)；（2）f(1-2t)；（3）f(-t/2+1)；（4）f

4、(t)( t+1)+( t - 2) 解答:f (t)2(1)f (2t)f (2t-1)211tt-1 012t-10120.5-101.52图 1-54 题 1.5 图f (1-2t)2(2)1 t 0 0 t 11 t 2f (-2t)2tf (t) u(t)112u(t 1)tt-1012-1 01121-11(3)f (-t/2+1)f (t/2)tt-2-1 0124-2042（4）f(t)( t +1)+( t - 2) 21t12-1 01.6 已知信号 x(3-2t)的波形如图 1-55 所示，试画出信号 x(t)的波形。解答：x(3-2t)x(-2t)3/2原图2211tt

5、0124012.54图 1-55 题 1.6 图强度为 4 的冲激x(2t)展宽 2x(t)x(-2t)反转成 x(2t)x(2t)x(t)221tt00.5-2.50-11-5-31.7 已知信号 xn如图 1-56 所示，试画出下列信号 x(t)的波形。1-10.5n-20231-0.5图 1-56 题 1.7 图（1）xn-3；（2）x4-n；（3）x2n+1；（4）xn-3 n- 3 . 解答：（1）xn-310.52n-2-1013465-0.51212（2）x4-n=x-n+4x-nxnx-nx-n+4=x-(n-4)10.5n-2 -1032-3-0.5x-n+410.55n23

6、46-101798-0.5（3）x2n+1x2n(如图中红色)1-10.5n-2-103121-0.5-22x2n+1 (如图中兰色，即向0.5 个)10.5n-2-1 -0.5 00.512（4）从（1）得 xn-3n-3 (如图中红色，其他为 0)10.52n-2-1134605-0.51.8 给出各下列时间函数的波形图，注意它们的区别。（1） x1 (t) sin(wt) u(t) ；（2） x2 (t) sinw(t t0 ) u(t)（3） x3 (t) sin(wt) u(t t0 ) ；（4） x4 (t) sinw(t t0 ) u(t t0 )解答：（1） x1 (t) si

7、n(wt) u(t) （变成了单边函数）；（2） x2 (t) sinw(t t0 ) u(t)wtwt（3） x3 (t) sin(wt) u(t t0 )（4） x4 (t) sinw(t t0 ) u(t t0 )wtwttt001.9画出图 1-57 中各信号的奇信号与偶信号。x n2x (t)11-43nt-3-10-21202-1图 (2)图 (1)解答：因为一个信号可分解为偶信号与奇信号之和： x(t) xe (t) xo (t) ；1其中： xe (t) 为偶信号： xe (t) 2 x(t) x(t)x (t) 为奇信号： x (t) 1 x(t) x(t)oo2x(-t)(

8、1)x(t)1tt02图(b) 原信号的反转 x(-t)图(a) 原信号 x(t)xo(t)xe(t)10.50.5-2tt02-0.50-22图(d) 原信号的奇信号分量 xo(t)图(c) 原信号的偶信号分量 xe(t)类似于连续信号，离散信号也可分解为偶信号与奇信号之和: xn xe n xo n1其中： xe n 为偶信号： xe n 2 xn xnx n 为奇信号： x n 1 xn xnoo2(2)1-20 x nx -n22111-43-34nn-3-2-1021-2-1-1023-41-1-1图(a) 原信号 xn-1图(b) 原信号的反转 x-n此处偶信号 xe n 与奇信号

9、 xo n 均不再画出1偶信号 xe n 2 (1,2 1,2 1,1 2,1 1,2 1,1 2,1 2,1)=0.5，0.5，1.5，1.5，1，1.5，1.5，0.5，0.5奇信号 xo n 2 (1,2 1,2 1,1 2,1 1,2 1,1 2,1 2,1)=0.5，1.5，0.5，-0.5，0，0.5，-0.5，-1.5，0.511.10 判定下列时间信号的周期性，试确定它的基波周期。(1) x(t) 3cos(4t ) ；x(t) e (t 1)(2)3(3) x(t) cos 2tu(t) ；(4) xn cos n / 48n(5) xn cos( 2) ；(6) xn 2c

10、os(n / 4) 3sin(n / 6) cos n / 2)72 2 解答：（1） T ；（2）当a 为实数时， x(t) 是非周期信号；02（3）单边正弦信号，非周期信号；（4）正弦序列，0 1 4 ， 2 0 8 为无理数，非周期序列；27（5）正弦序列， 4 为有理数，周期序列，周期为T 7 ；0（6）周期序列，周期为T 24 。1.11 如 x1(t)和 x2(t)分别是具有基波周期为 T1 与 T2 的周期信号，试问在什么条件下，这两个信号之和 x1(t)+x1(t)是周期性的？如果该信号是周期的，基波周期是什么？解答： x1 (t) 的周期为T1 ，即有 x1 (t) x1 (

11、t T1 ) ， x2 (t) 的周期为T2 ，即有x2 (t) x2 (t T2 ) ，当T1T2 为有理数，即可以表示为T1 T2 n m 时， x1 (t) x2 (t) 为周期信号，周期为T m2 ，也即当 T 为 T1，T2 最小公倍数时信号是周期的。4w01.12试判断以下系统的性质：、因果、线性、时不变、稳定性。dx（1） y(t) e xt ；（2） yn xnxn 1；（3） y(t) ；ddt（4） yn xn 2 xn 1 ；（5） y(t) sin(4t)x(t) ；（6） yn x4n 。解答：以表格形式比较清楚：（1） y(t) e xt（a）系统在时刻t 的输出只

12、与时刻t 的输入有关，无系统；（b）系统在时刻t 的输出与时刻t 以后的输入无关，因果系统；x (t )x (t )x (t ) x (t )（c）若 y1 (t) e 1， y2 (t) e 2，而 y(t) e 12 y1 (t) y2 (t) ，非线性系统； ex1 (t t0 )（d） y (t) ex1 (t ) ， x (t) x (t t ) ， y (t) ex2 (t ) y (t t ) ，时不变系1210210统； M ，则 e M ，稳定系统。x(t)y(t)（e）若（2） yn xnxn 1（a）系统在时刻 n 的输出与时刻 n 1 的输入有关，系统；（b）系统在时刻

13、n 的输出与时刻 n 以后的输入无关，因果系统；（c）若 y1n x1nx1n 1， y2 n x2 nx2 n 1 ，以及 yn xnxn 1 ，其中xn x1n x2 n ，则有 yn (x1n x2 n)(x1n 1 x2 n 1) y1n y2 n ，非线性系统；（d）假设 y1n x1nx1n 1 ， y2 n x2 nx2 n 1 ，且 x2 n x1n n0 ，则有y2 n x1n n0 x1n n0 1 y1n n0 ，时不变系统；xn M ，则有yn M 2 ，稳定系统。（e）若x(t t) x(t)dx(t)（a） y(t) lim，系统在时刻t 的输出与时刻t t 的输入

14、有关，tdtt 0（3） y(t) dxddt小题因果线性时不变稳定性（1）（2）（3）（4）（5）（6）系统；（b）此系统为 LTI 系统（以下可验证），又系统的冲激响应为 h(t) d (t) dt ，当t 0 时， h(t) 0 ，是因果系统；（c）若 y (t) dx1 (t) ， ydx (t)dx(t)(t) ， y(t) ，其中 x(t) a x (t) a x (t) ，2121 12 2dtdtdtdx1 (t) a dx2 (t) a则有 y(t) ay (t) a y (t) ，是线性系统；12112 2dtdt（d）若 y (t) dx1 (t) ， x (t) x (

15、t t ) ，1210dt(t) dx2 (t) dx1 (t t0 ) y(t t ) ，是时不变系统；则有 y210dtdt（e）取 x(t) u(t) ，显然 x(t) 是有界的，但输出 y(t) dx(t) (t)，是不稳定系统；dt（4） yn xn 2 xn 1 （a）系统在时刻 n 的输出与时刻 n 2 以及时刻 n 1的输入有关，系统；（b）系统在时刻n 的输出与时刻 n 1（时刻 n 以后）的输入有关，非因果系统；（c）若 y1n x1n 2 x1n 1 ， y2 n x2 n 2 x2 n 1 ，以及yn xn 2 xn 1 ，其中 xn a1 x1n a2 x2 n ，则

16、有yn a1 x1n 2 a2 x2 n 2 a1 x1n 1 a2 x2 n 1) a1 y1n a2 y2 n，是线性系统；（d）若 y1n x1n 2 x1n 1 ， x2 n x1n n0 ，则有y2 n x2 n 2 x2 n 1 x1n 2 n0 x1n 1 n0 y1n n0 ，时不变系统；xn M ，则有yn 2M ，稳定系统。（e）若（5） y(t) sin(4t)x(t)（a）系统在时刻t 的输出只与时刻t 的输入有关，无系统；（b）系统在时刻t 的输出与时刻t 以后的输入无关，因果系统；（c）若 y1 (t) sin(4t)x1 (t) ， y2 (t) sin(4t)x

17、2 (t) ， x(t) a1 x1 (t) a2 x2 (t) ，则有y(t) sin(4t)x()x2 (t) a1 y1 (t) a2 y2 (t) ，是线性系统；)x1 (（d）若 y1 (t) sin(4t)x1 (t) ， y2 (t) sin(4t)x2 (t) ，其中 x2 (t) x1 (t t0 ) ，则有y2 (t) sin(4t)x1 (t t0 ) ，而 y1 (t t0 ) sin(4(t t0 )x1 (t t0 ) ，是时变系统； M ，则有 M ，是稳定系统。x(t)y(t)（e）若（6） yn x4n（a）系统在时刻 n 的输出与时刻4n 的输入有关，系统；

18、（b）系统在时刻n 的输出与时刻4n 的输入有关，当n 0 时，时刻 4n 在时刻 n 之后，因此，是非因果系统；（ c ）若 y1n x14n ， y2 n x2 4n ，以 及 xn a1 x1n a2 x2 n ，则 有yn x4n a1 x14n a2 x2 4n a1 y1n a2 y2 n ，线性系统；（ d ）若 y1n x14n ， x2 n x1n n0 ，则有 y2 n x2 4n x14n n0 ，而y1n n0 x14(n n0 )，因此，是时变系统；xn M ，则有yn M ，是稳定系统。（e）若1.13有一离散时间系统，输入为 xn时，系统的输出 yn为yn xnx

19、n 2问：(1)系统是系统吗？(2)当输入为 An，A 为任意实数或复数，求系统输出。解答：（1）是；因为系统在时刻n 的输出 yn不但取决于 n 时刻的输入，还与时刻 n-2 的输入有关；（2） yn AnAn 2 A2nn 2 01.14一连续时间线性系统 S，其输入为 x(t)，输出为 y(t)，有以下关系：Sx(t) e j2ty(t) e j3tSx(t) e j2ty(t) e j3t(1) 若 x1 (t) cos 2t ，求系统的输出 y1 (t) ；(2) 若 x2 (t) cos(2t 1) ，求系统的输出 y2 (t) 。解：（1） x (t) cos 2t 1 (e j

20、2t e j2t ) ， y (t) 1 (e j3t e j3t ) cos 3t （线性系统）；1122（2） x (t) cos(2t 1) 1 (e j(2t1) e j (2t 1) ) 1 (e j e j 2t e j e j 2t ) ，222由于是线性系统，有 y (t) 1 (e j e j3t e j e j3t ) cos(3t 1)221.15用un表示图 1-58 所示的各序列。解：图 1-58 见 P27，此略。（1） yn un 1 un 4（2） yn (n 1) un un 52（3） xn (2n 2)un (4 2n)un 2 (8 2n)un 5 (2

21、n 14)un 71.16 求下列积分的值。4 (t) (t 1)dt(1)(t 3t 2)24(2) (1 cost) (t 2 )dt(3) 2 (1 t) (cost)dt24 (t) (t 1)dt f (0) f (1) 2 6 8 ；解：（1）(t 3t 2)24（2） (1 cost) (t 2 )dt f ( 2 ) 1 ；2（3） 2 (1 t) (cos t)dt (1 t) (1 t) (1 t)2 (1 t) 4 ；32232t t t t 证明： (2t) 1 (t) 。2证明：（1）当t 0 时， 2t 0 ，于是有 (2t) 0 ；t1 2tt111（2）又 (2

22、t)dt (t1 )d ( 2 ) 2 (t1 )dt1 2 ；当 t=01因此有， (2t) (t) 。2一个 LTI 系统，当输入 x(t) u(t) 时，输出为 y(t) e t u(t) u(1 t) 。求该系统对图 1-59 所示输入信号 x(t) 的响应，并画出其波形。解：当输入信号为 x(t) u(t) 时，系统的输出为 y(t) etu(t) u(1 t)1.181.17现输入信号为 x1 (t) u(t 1) u(t 2)由于是 LTI 系统，因此输出为 y1 (t) y(t 1) y(t 2) ，即(t 1)(t 2)y1 (t) eu(t 1) u(t) eu(t 2)

23、u(1 t) ，其时域波形如下图所示。x (t)x (t)u(-t)11tt0202-u(-t-1)图 1-59 题 1.18 图题 1.18 解答示意图1.19 已知一个 LTI 系统图 1-60（a）所示信号 x1 (t) 的响应 y1 (t) 如图 1-60（b），求该系统对题图 1-60（c），1-60（d）所示信号 x2 (t) 、 x3 (t) 的响应，并画出其波形。y1(t)x1(t)21tt01022图 1-60（a）图 1-60（ b）图 1-60 题 1.19 图x3(t)x2(t)2114t20t-1 012图 1-60（c）图 1-60（d）解：（1）由图 1-60（c

24、）知： x2 (t) x1 (t) x1 (t 2)由于是 LTI 系统，便有 y2 (t) y1 (t) y1 (t 2) ，图见 1-60（c）；（2）由图 1-60（d）知： x3 (t) x1 (t 1) x1 (t) ，同（1）理，有y3 (t) y1 (t 1) y1 (t) ，图见 1-60（d）。y2(t)y3(t)224tt0120-112-2图 1-60（c）图 1-60（d）试画出 xn n 时的 yn。1.20如图 1-61 所示的反馈系统，假设 n0, yn=0,解：因为 yn x1n 1 ； yn 1 x1nx1nx1n-1xnynDx1n xn yn故： yn 1

25、 yn xn当 n=-1 时： y0 y1 x1图 1-61 题 1.20 图因为 n0, yn=0, 且 xn n ；故： y0 0当 n=0 时： y1 y0 x0 ；故： y1 1当 n=1 时： y2 y1 x1 ；故： y2 1当 n=2 时： y3 y2 x2；故： y3 1显然， yn (1)n1un 1yn6425-1 03n1-1题 1.20 解答示意图1.21对图所示级联，3 个系统具有以下输入输出关系nS1： yn x 2 , n is evenxnyn0, n is oddS2： yn xn 1 xn 1 1 xn 2图 1-62 题 1.21 图24S3： yn x2n求：（1）整个系统的输入输出关系；（2）整个系统是线性时不变系统吗？解：设系统 S1、S2 的输出分别为 w1n和 w2n，则xn ,