《工学位移法》教学课件

1、 基本要求：掌握掌握位移法基本结构的确定，位移法典型方程的建立，方程中的系数和自由项的计算，最后弯矩图的绘制。 熟练掌握用位移法计算超静定梁、刚架问题。 重点掌握荷载作用下的超静定结构计算掌握剪力图和轴力图的绘制、利用对称性简化计算。了解温度改变、支座移动下的超静定结构计算。 Displacement Method位移法基本概念等截面直杆的杆端力位移法基本未知量位移法之典型方程法无侧移、有侧移刚架算例位移法之直接平衡法位移法计算对称结构第7章 位移法第1页，共83页。1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点：

2、基本未知量多余未知力；基本体系静定结构；基本方程位移条件 （变形协调条件）。 位移法的特点：基本未知量 基本体系 基本方程 独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁7-1 位移法的基本概念 因此，位移法分析中应解决的问题是：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。确定结构独立的结点位移。建立求解结点位移的位移法方程。为减少基本未知量，这里仍然隐含梁或刚架不考虑轴向变形这一假设。第2页，共83页。(a)12345B(c)B (b)(d)ABB简例:求各杆轴力。图（a）所示，选取竖向位移为基本未知量图（b）所示，已知轴向位移ui，则，位移法基本思路第3页，共83页。(1)图（d）,各杆位移ui与基本未知

3、量的关系为(2)由结点B的平衡(3)(4)第4页，共83页。位移法的基本方程将式(5)代入式(2)，再代回(1)式得各杆内力：(6)设各杆EA相同，将图（a）的尺寸代入得：第5页，共83页。位移法的基本要点确定基本未知量 (如B点的竖向位移 ）建立位移法基本方程 (力的平衡方程)把结构拆成杆件进行分析，得杆件的刚度方程，是位移法的基础。再把杆件组合成结构，进行整体分析，得平衡方程。解方程，求位移。再代回刚度方程得杆端力。位移法基本思路通过一拆、一搭，把复杂问题转化为简单杆件的分析和综合的问题第6页，共83页。ABMABQABQBAMBA1、杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B ，弦转角

4、/l都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。用力法求解i=EI/l2、形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力MAB0MBA014i2iM7-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。第7页，共83页。用力法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11=-=-=EIllEI6312112112dd=EIllEI3322112211dd1第8页，共83页。用力法求解单跨超静定梁X

5、1X21/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=-=EIllEI6312112112dd=EIllEI3322112211ddD-+=D-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D+-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqABX2X1 写成矩阵形式第9页，共83页。AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座AMABMBA因B = 0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MBA = 0，代入(1)式可得lEIlEI第10页，共83页。AMABMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEI第11页，共83页

6、。由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1AB10AB=13i0AB=1ii0第12页，共83页。3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力X1=1P / 11 =3ql/81=11X1 + 1P=0ql2/2MPqBmABl，EIlX1=1DP1-=-=EIqlllqlEI84323114211d=EIlllEI3322132ql2/8 各种单跨超静定梁在各种荷载作用下的杆端力均可按力法计算出来，这就制成了载常数表M图第13页，共83页。由跨间荷载引起的杆端力称为载常数单跨超静定梁简图mABmBAAB qABPAB qABl/2l/2P

7、第14页，共83页。4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：QBAQABMBAMABPMBAMAB=+P+mAB+mBA0BAQ0ABQBAQABQABMABQABQBAMBA5、已知杆端弯矩求剪力：取杆件为分离体建立矩平衡方程：转角位移方程注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。 2、 是简支梁的剪力。0ABQ第15页，共83页。另两类杆的转角位移方程为A端固定B端铰支A端固定B端定向第16页，共83页。ABCPAA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：AABCPAA附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩施加力偶使结点产生的角位移，以实现结点位移状态的一致

8、性。ABC位移法基本思路第17页，共83页。ABCPAA实现位移状态可分两步完成分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。第18页，共83页。llqEI=常数ABCAqABCAZ1Z1=0qABCZ1Pql2/12ql2/12ABCAZ11AAql2/12Z1P4iZ11qABCql2/245ql2/48ql2/4

9、8位移法基本思路第19页，共83页。位移法思路先化整为零，再集零为整通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系；通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件平衡条件建立关于结点位移的位移法方程；解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。第20页，共83页。 图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,集中力FP ,力偶M .如何求解?qFPFPM力法未知数个数为3,但独立位移 未知数只有一(A 点转角,设为 ).FPFP1.平衡方程法第21页，共83页。 在此基础上,由图示结点平衡得利用转角位移方程可得:第22页，共8

10、3页。FPEI=常数FP通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超静定梁,称其为位移法基本结构,而附加约束的位移称为位移法的基本未知量Z。受基本未知量和外因共同作用的基本结构称为基本体系。第23页，共83页。当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形常数和载常数绘出各杆的内力图。FP第24页，共83页。 以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可

11、得原结构受力平衡方程法第25页，共83页。 图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,集中力FP ,力偶M .如何求解?qFPFPMFPFP以A 点转角做基本未知量,设为 .在A 施加限制转动的约束,以如图所示体系为基本体系(基本结构的定义和力法相仿).2.典型方程法第26页，共83页。 利用“载常数”可作图示荷载弯矩图利用“形常数”可作图示单位弯矩图 根据两图结点平衡可得附加约束反力第27页，共83页。 以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因），由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原

12、结构无约束，应无附加约束反力（平衡）. 列方程可求位移。典型方程法第28页，共83页。1、基本未知量的确定：PPCDC位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。结点角位移的数目=刚结点的数目PP即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。2、基本体系的确定：7-3 位移法的基本未知量和基本体系 为了减小结点线位移数目，假定：忽略轴向变形，结点转角和弦转 角都很微小。第29页，共83页。位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨论) 结点位移包括角位移和

13、线位移 独立角位移 na =刚结点数； 独立线位移 nl =? 不考虑轴向变形时： nl =刚结点变成铰，为使铰结体系几何不变所需加的支杆数。 考虑轴向变形时： nl =结点数2约束数 总未知量 n = na+ nl 。手算时电算时第30页，共83页。结点转角的数目：7个123相应的铰接体系的自由度=3独立结点线位移的数目：3个 也等于层数 3结点转角的数目：3个独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1位移法基本未知量结点转角独立结点线位移数目=刚结点的数目数目=铰结体系的自由度 =矩形框架的层数在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。第31页，共83页。位移未知数确定举例第32页，共83页

14、。位移未知数确定举例第33页，共83页。位移未知数确定举例第34页，共83页。位移未知数确定举例第35页，共83页。位移未知数确定举例不计轴向变形时，虽有刚结点，但横梁不能转动，因此转角未知量为第36页，共83页。注意: 铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确定。如图示结构中B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。 结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点位移。若柱子平行，则

15、梁端结点转角=0，若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。 a 对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。第37页，共83页。基本结构与原结构有两点区别： 原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结点位移的； 原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。第38页，共83页。112112Z1Z2Z1=0Z2=0Z1PZ2Pk211=11 1 2k112=1k22k12位移法基本体系Z1=0Z2=0F11、F21(k11、k21) 基本体系在1(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束

16、力；F12、F22(k12、k22) 基本体系在2(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；F1P、F2P 基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力； 位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。7-4 位移法典型方程第39页，共83页。基本思路典型方程法：仿力法，按确定基本未知量、基本结构，研究基本体系在位移和外因下的“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。平衡方程法：利用等直杆在外因和杆端位移下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角位移）方程

17、由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移未知量的方法。第40页，共83页。基本思路两种解法对比： 典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由迭加得到。 平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。位移法方程： 两法最终方程都是平衡方程。整理后形式均为：第41页，共83页。典型方程法解题步骤（1）确定位移法基本未知量和基本结构。（2）分别做基本结构在单位基本未知量作用下的内力图和外因作用下的内力图。（3）利用内力图计算反力影响系数和外因引起的广义荷载反力。（4）建立位移法典型方程并求解。（5）利用叠加法绘制结构

18、内力图。（6）校核，即结构的任意部分是否平衡。第42页，共83页。FPEI=常数ABCFP例第43页，共83页。FP第44页，共83页。15kN/m48kN4m4m2m2miii15kN/m48kN11基本体系Z1当Z1=015kN/m48kN202036MPM120360Z1P=162i4i3ii4i3iik11=8i解之:1=F1P/k11=2/i 利用 叠加弯矩图 1=116283030482M图(kN.m)k11Z1P+例第45页，共83页。由已知的弯矩图求剪力：15kN/m48kN4m4m2m2mii16283030482M图(kN.m)ABCD3327+31.5+16.5Q图(kN

19、)由已知的Q图结点投影平衡求轴力：031.5 33NBDNAB0BX=0NAB=0Y=0NBD=64.5校核：B30228MB=02764.516.515kN/m48kNY=27+64.5+16.515448 =0第46页，共83页。 位移法计算步骤可归纳如下：1）确定基本未知量；2）确定位移法基本体系；3）建立位移法典型方程；4）画单位弯矩图、荷载弯矩图;5)由平衡求系数和自由项；6）解方程，求基本未知量；7）按 M=Mii+MP 叠加最后弯矩图。8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。9）校核平衡条件。第47页，共83页。20kNABC3m3m6mii2kN/mABC16.7211

20、.5792kN/m20kNABC1）确定基本未知量1=B ；2）确定位移法基本体系；3）建立位移法典型方程；4）画M、MP;由平衡求系 数和自由项；15159R1P15 9 Z1P=159=61=12i4i ABC3ik114i 3i k11=4i+3i=7i5）解方程，求基本未知量；6）按 M=Mii+MP 叠加最后弯矩图30M图 (kN.m)11.5711.577）校核平衡条件MB=0MPM17-5 位移法计算连续梁及无侧移刚架第48页，共83页。4I4I5I3I3Iiii0.75 i0.5 iiii0.75 i0.5 iABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m例：作弯矩图1、基本未知

21、量2、基本体系BAqlm=8420822mkN=.40BCqlm-=-=125201222CBmkNm=.7.41mkN-=.7.41F1P=4041.7= 1.7ABCDEF20kN/m3、典型方程4）画MP 、Mi;由平衡求kij、FiP4041.741.7MPM1F2P=41.7ABCDEF3i4i2i3i1.5ik11=4i+3i+3i= 10ik21=2i第49页，共83页。M2ABCDEF3i4i2i2iik22=4i+3i+2i= 9ik21=2i5）解方程，求基本未知量；M1ABCDEF3i4i2i3i1.5iABCDEF20kN/m4041.741.7MPABCDEF5m4m

22、4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)B46.943.53.4C14.724.59.8第50页，共83页。例无侧移刚架内力计算ll/2l2EIEIABDC2EIqq第51页，共83页。q第52页，共83页。3kN/m8m4m2iii2213kN/m21F1F2F1=0F2=03kN/mF1PF2Pk12k22乘2k11k21乘11=12=1F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21 44MP F1P04 F1P=4 F

23、2P=60F2P4i2i6i6i4i k11 k11=10i k21=1.5iM1 k12 0 1.5i k21 k22 M2 k12=1.5i k21=15i/161.5i1.5i0.75i解之:1=0.737/i，2=7.58/i利用 叠加弯矩图 13.624.425.69M图(kN.m)7-6 位移法计算有侧移刚架 与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的反力，由截面投影方程来求。第53页，共83页。例有侧移刚架内力计算ll/2lEIABDC2EIFPEEIFP第54页，共83页。第55页，共83页。FPFP利用反力互等定理，尽量选

24、取结点力矩方程求系数会减少工作量第56页，共83页。AABmABABAB1、转角位移方程：+mAB+mBAABMABQABQBAMBA两端刚结或固定的等直杆一端铰结或铰支的等直杆一端为滑动支承的等直杆MABAAB7-7 用直接平衡法建立位移法方程MABABABMBA(4)已知杆端弯矩求剪力第57页，共83页。 位移法计算步骤可归纳如下：1）确定基本未知量；2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程， 在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量；5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力；6）按杆端

25、力作弯矩图。第58页，共83页。例无侧移刚架内力计算ll/2l2EIEIABDC2EIqq第59页，共83页。ACBD第60页，共83页。ACBD第61页，共83页。例有侧移刚架内力计算ll/2lEIABDC2EIFPEEIFP第62页，共83页。EE第63页，共83页。EE第64页，共83页。FP第65页，共83页。4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m例：作弯矩图1、基本未知量B、C2、列杆端力表达式令EI=1BAqlm=8420822mkN=.40BCqlm-=-=125201222CBmkNm=.7.41mkN-=.

26、7.41CCCFMqq=25.04BBEBMqq=5.175.02CBCBMqq+=7.4142CBBCMqq-+=7.4124BBAMq+=403CCFCMqq=5.02BBBEMqq=375.04CCDMq=33、列位移法方程0=+=CFCDCBCMMMM0=+=BEBCBABMMMM07.1210=-+CBqq07.4192=+CBqq4、解方程B=1.15 C=4.89=43.5=46.9=24.5=14.7=9.78=4.89MCBMCDMCF=3.4=1.7ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)位移不是真

27、值!5、回代6、画M图MBAMBCMBE第66页，共83页。B3kN/m8m4m2iiiABCD)2(3=iMBBCq12434642+D-=iiMBBAq12434622-D-=iiMBABq0,0=+=QQXCDBA0,0=+=MMMBCBAB43D-=iMDC045.110=+D-iiBq1630D =+-=ilMQDCCD0616155.1=-D+-iiBJ6435.10-D+-=+-=iiQlMMQBBABAABBAq解之：=0.74/i=7.58/i=13.89=4.42=4.44=5.694.424.4413.895.69M图(kN.m)1、基本未知量B、2、列杆端力表达式3、列

28、位移法方程4、解方程5、回代6、画M图第67页，共83页。对称刚架内力计算EIEI2EIEIllh2qEIqqqq正对称反对称应用对称性简化计算7-8 位移法计算的简化第68页，共83页。qqq 对称结构在对称荷载作用下内力、反力和变形皆对称，故取半结构计算。由半结构特点采用位移法较好。第69页，共83页。qqq 对称结构在反对称荷载作用下内力、反力和变形皆反对称，故取半结构计算。而此半结构仍具有对称结构特点。继续分解。第70页，共83页。qq/2q/2q/2q/2q/2q/2 利用对称性将结构分解成最简形式，而每个最简形式都是只含一个变量的超静定结构，可分别采用位移法和力法求解（联合法）。最

29、后将半结构的结果叠加得原结构的解答。第71页，共83页。12kN/m12kN/m12kN/m12kN/m 24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI2424 2472724208208M反对称M对称921643252M图(kN.m)48例第72页，共83页。12kN/m12kN/mX1444M196MP12kN/mEIEIEI4m4m24 2472M反对称12kN/m12kN/m等代结构2472=1第73页，共83页。12kN/m12kN/m12kN/mEIEI4m4m等代结构ACBMMMACABA0=+=iA2-=qiA0168=+qiMACA2=qiMAAC4=qiMAAB164+=q

30、iMABA162-=q=20kN.m=8kN.m=8kN.m=4kN.m2084208M对称第74页，共83页。12kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m12kN/mi=1i=1ACB ACAM2q=AACMq=4ABAMq+=162Aq-=164AABMq-=12412420=+=ACABAMMM20168=-AAqqMABMACA=8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M图(kN.m)1）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同跨度同荷载的水平梁弯矩图相同。2）对称结构在对称荷载作用下，与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。第75页，共8

31、3页。力法和位移法的共同点和不同点 共同点原始结构 基本结构 消除差别 典型方程基本未知量：（X1,X2,Xn) （X1,X2,Xn) 不同点基本结构: 静定结构 超静定杆系基本方程： 位移条件 平衡条件系数和自由项的物理意义适用情况： 超静定次数少 结点位移数少第76页，共83页。将静定结构与超静定结构进行比较静定结构超静定结构无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何不变体系在荷载作用下，仅利用平衡条件即可求得全部反力和内力。解答具有唯一性。内力分布仅与杆件的几何尺寸有关，与杆件刚度无关。在荷载作用下，需同时考虑平衡、变形和应力应变关系才可唯一确定解答。内力分布不仅与杆件的几何尺寸有关，而且与杆件间的相对刚度有关。7-9 超静定结