《结构力学》第四章静定结构的位移计算(3)课件

1、4 静定结构的位移计算第1页，共58页。4.1 结构位移和虚功的概念一、结构的位移位移角位移线位移杆件结构在荷载等因素作用下会产生变形和位移。变形：结构原有形状的变化。位移：结构上各点的移动和杆件截面的转动。将结构上各点产生的移动称为线位移，杆件截面的转角称为角位移。第2页，共58页。APA点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角位移角位移线位移第3页，共58页。引起结构位移的原因：为什么要计算位移?荷载温度改变支座移动制造误差等第4页，共58页。铁路工程技术规范规定:计算位移的目的(1) 刚度验算要求在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；桥梁在竖向活载作用下，钢板桥梁和钢桁架桥梁的

2、最大挠度要分别小于 1/700 和 1/900跨度。高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。(2) 超静定结构分析、动力分析、稳定性分析等的基础第5页，共58页。本章研究的是线性变形体系的位移计算。线性变形体系：1）变形与位移是微小的；2）应力-应变关系满足胡克定律。特点：1）位移与外荷载成正比；2）荷载对这种体系的影响可以叠加；3）当荷载全部撤除时，由荷载引起的位移也完全消失。 第6页，共58页。二、实功和虚功功的定义：一个力所作的功等于力的大小乘以力的作用点沿力方向上的位移。（1）实功：位移是由作功的力所引起的。此时，力作的功称为实功。功包括力和位移两个要

3、素，这两个要素之间存在两种不同情况：A1第7页，共58页。（2）虚功：位移是由与作功的力无关的其它因素 引起的。此时，力作的功称为虚功。A点处作用一个集中力P1，待达到平衡后，假设由于某种其他原因结构继续发生蓝线所示的变形，力P1的作用点下降了 ，此时P1所作的功为虚功，且 2 2 1A第8页，共58页。实功中做功的位移是由做功的力自身所引起的，而虚功中位移是由与作功的力无关的其它因素所引起的。也就是说，虚功中做功的力和作功的位移分属同一结构的两个独立无关的状态。由于二者是独立无关的，为了表达方便，常将这两个状态分别画出。注意：这里的“实”与“虚”只是为了区分功中的位移与力有关还是无关这一特点

4、。静力状态k：作功的力所处的状态。位移状态m：作功的位移所处的状态。第9页，共58页。 （3）实功计算不满足叠加原理，虚功计算 满足叠加原理。第10页，共58页。三、结构的外力虚功作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了书写方便，通常将外力系的总虚功记为：其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。下面讨论几种常见广义力的虚功。 W = Fk km第11页，共58页。1) 集中力的虚功kk静力状态k位移状态m静力状态的力 在位移状态的位移 上所作的虚功为：第12页，共58页。2) 力偶的虚功位移状态m静力状态k 静力状

5、态的力偶 在位移状态的角位移 上所 作的虚功为：kk第13页，共58页。3) 等量反向共线的两集中力的虚功kkkk静力状态k位移状态m两集中力所作的虚功：第14页，共58页。4) 等量反向共面二力偶的虚功kkkk静力状态k位移状态m二力偶所作的虚功：第15页，共58页。5) 平衡力系在刚体位移上的虚功PkABkabl静力状态kkmBm位移状态m平衡力系在刚体位移上所作虚功为零。 刚体虚位移原理=第16页，共58页。4.2 变形体系的虚功原理和单位荷载法1. 虚应变能 当结构力状态的外力在结构位移状态的相应位移上作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相应变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能。静力状态

6、kFNk, FQk, MkFPk位移状态m第17页，共58页。微段静力状态上的内力在位移状态的位移上所作的虚功（即虚应变能）：取静力状态中的微段进行分析：FNkMkFQkFQkMkFNkFNkFNkFQkFQkMkMk位移状态中微段的变形可看成由如下几部分组成：第18页，共58页。第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所作的虚功：整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位移上的所作的总虚功：其中，N为结构中杆件的总数。第19页，共58页。静力平衡系：满足结构整体和任何局部的平衡条件以及静力边界条件，并且遵循作用和反作用定律的力系。简称为静力状态k。位移协调系：结构的内部必须是分段光滑连续的

7、，满足变形协调的几何条件，在边界上必须满足位移边界条件并且是微小的位移系。简称为位移状态m。2. 变形体系的虚功原理第20页，共58页。变形体系的虚功原理：变形体系在力系作用下处于平衡状态（静力状态），而该变形体系由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形（位移状态），则W（外力虚功）V（内力虚功虚应变能）对于平面杆件结构，虚功原理可用下式表示：静力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功W，恒等于静力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功，即虚应变能V。第21页，共58页。2） 虚功原理的两个应用：虚设位移状态-可求实际力状态的未知力。这是在实际的力状态与虚设的位移状态之间应用虚功原理。这种形

8、式的应用即为虚位移原理。虚设静力状态-可求实际位移状态的位移。这是在实际的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理。这种形式的应用即为虚力原理。1）平面杆件结构的虚功原理：第22页，共58页。位移状态m（实际状态）静力状态k（虚拟状态）AFP23. 单位荷载法从虚力原理出发，利用虚功方程可导出计算杆件结构位移的单位荷载法。FP1cBDDABFPk=1D第23页，共58页。1）虚力状态（虚设的静力状态）下的外力（包括支座反力）在实际位移状态的位移上所作的总虚功为：2）虚力状态下的内力在实际位移状态的变形上所作的总虚功为：第24页，共58页。 根据虚功原理，得到计算结构位移的一般公式 这种通过虚设单

9、位广义力作为力状态，并利用虚功原理求位移的方法，称为单位荷载法。第25页，共58页。当结构仅发生支座位移（可以是支座移动或者转动）时，结构中任一点的位移为：在静定结构中，支座移动和转动并不使结构产生内力和变形，结构只发生刚体运动，此时，虚拟状态的内力在实际位移状态的变形上所作的虚功为零。第26页，共58页。适用于静定结构、超静定结构；适用于弹性材料、非弹性材料；适用于荷载作用下的位移计算，而且也适用于由于温度变化、支座移动等因素作用下的位移计算。适用范围：第27页，共58页。典型的虚力状态：注意：虚设的静力状态中的单位荷载为与拟求位移相对应的单位广义力。AABFPk=1FPk=1FPk=1FP

10、k=1FPk=1FPk=1第28页，共58页。ABClABC MPk1KCMPk=1MPk=1第29页，共58页。4.3 静定结构由荷载引起的位移1. 位移公式FPk=1第30页，共58页。荷载作用下，位移计算公式： 如果结构只受到荷载作用（即不发生支座位移），以 表示实际位移状态中的内力，则在实际的位移状态下，微段的变形为：2. 静定结构由荷载引起的位移，第31页，共58页。例4-1: 已知图示梁的E、G,求A点的竖向位移。解：1、建立虚力状态kl2、列内力方程（以B点为坐标原点，取右半脱离体研究） 3、位移计算BBA第32页，共58页。若截面为矩形，则： 取设 则：对于粗短杆来说，剪切变形

11、产生的位移不可忽略。但对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计；则：第33页，共58页。1）通过其它一些例子可以证明，对于内力包含轴力、剪力、弯矩的斜梁、曲梁以及刚架结构来说，当组成结构的杆件为细长杆时，轴向变形和剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比很小，因此可略去不计。2）由于结构力学中研究的杆件均为细长杆，因此，对于梁和刚架来说，荷载作用下的位移公式可简化成：注意：第34页，共58页。例4-2: 求简支梁AB受均布荷载q作用时跨中C点的挠度。q解：1、建立虚力状态k2、列内力方程（以A为原点，弯矩下拉为正）3、位移计算第35页，共58页。例4-3：试求图（a）中B点的水平线位

12、移。刚度不同，分段积分以A为坐标原点，取上半脱离体研究，并设左拉为正虚力状态k第36页，共58页。例4-4：求图示曲梁受集中力FP 作用时，自由端B点的线位移、角位移。BFP第37页，共58页。（1）建立虚力状态（2）列内力方程（假设下拉为正）（3）FPBBA1、竖向位移AR第38页，共58页。BBAAR（ ）第39页，共58页。（1）梁与刚架（2）桁架 桁架内力只有轴力，且每根杆件的内力及截面都沿杆长 不变，故其在荷载作用下的位移计算公式为：第40页，共58页。解：例4-4:求图示桁架(各杆EA相同)A点竖向位移。AP00虚力状态k011第41页，共58页。（1）梁与刚架（2）在曲杆和实体拱

13、结构中，当不考虑曲率的影响时，其位移可近似地按一般公式计算，通常只考虑弯曲变形一项已足够精确，即仅在扁平拱或当拱轴与压力线比较接近时，才需考虑轴向变形对位移的影响，即第42页，共58页。（3）桁架（4）组合结构第43页，共58页。4.4 图乘法梁与刚架仅受荷载作用时的位移计算公式为： 当结构各杆段同时满足下述三个条件时，上述计算位移的积分公式可以得到大大的简化。第44页，共58页。 这三个条件是：（1）组成结构的各杆段均为匀质等截面杆，即EA、GA、EI均为常量；（2）所有杆的杆轴线均为直线；（3）各杆段的 图和 图中至少有一个是按直线变化的。 由此，可将梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式简化

14、成：第45页，共58页。(对于等截面杆)(对于直杆)梁和刚架的位移公式为:第46页，共58页。图形相乘法（图乘法）：若匀质等截面直杆的两内力图之一为直线变化，则位移公式中的积分可以用曲线图形的面积乘以曲线图形的形心所对应的直线图形的纵距，再除以刚度来代替。对于剪力项和轴力项也有相似的结果。由此，荷载作用下位移计算公式可改写为：图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。第47页，共58页。 1、应用条件：（1）组成结构的各杆段应是匀质等截面直杆；（2）两个内力图中至少有一个是按直线变化 的。（3）纵距yC一定要取自直线图形。 应用图乘法的注意事项：2、正负

15、号规定：两个内力图在杆件同一侧时，图乘结果为正；在杆件异侧时，图乘结果为负。第48页，共58页。（4）若两个图形中都没有直线图，而只有折线图，则应将折线图分解成若干个直线段，再进行分段图乘。第49页，共58页。常见的二次和三次标准抛物线的面积和形心位置第50页，共58页。注意：在应用抛物线图形的公式时，要注意抛物线在顶点处的切线必须与基线平行，即切线的斜率为零；特别地，当弯矩图为抛物线图形时，在顶点处应有 ，而 ，即顶点处剪力为零。非切点示例第51页，共58页。熟记几种简单图形相乘的结果高ABABycC高高ABABycC高高ABABC高高ABABC底底底底yCyC高第52页，共58页。高BABC高高ABABC高高BABC高A高ABABC底A（切点）（切点）二次抛物线二次抛物线yCyCyCyC二次抛物线底底高底第53页，共58页。图