《高等数学》第六章向量代数与空间解析几何(下)课件

1、04 八月 20221高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）第1页，共82页。04 八月 20222第三节 曲面及其方程 第六章 （Surface and Its Equation）四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱 面五、小结与思考练习第2页，共82页。04 八月 20223一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程. （Equations for

2、a Surface)第3页，共82页。04 八月 20224如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 定义1第4页，共82页。04 八月 20225故所求方程为方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点

3、为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面 .例1 求动点到定点第5页，共82页。04 八月 20226解: 配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.的曲面. （课本 例3） 表示怎样半径为的球面.球心为 例2 研究方程第6页，共82页。04 八月 20227定义2 一条平面曲线二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.例如 :(Surface of Revolution)第7页，共82页。04 八月 20228故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上

4、曲线 C: 则有则有该点转到建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:第8页，共82页。04 八月 20229求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？第9页，共82页。04 八月 202210的圆锥面方程. （课本 例4） 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为第10页，共82页。04 八月 202211分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x

5、 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例4 求坐标面 xoz 上的双曲线(旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）（习题6-3 5）第11页，共82页。04 八月 202212三、柱面引例 分析方程表示怎样的坐标也满足方程解:在 xoy 面上表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,(Cylinder; Cylindrical Surface)的曲面 ?第12页，共82页。04 八月 202213平行定直线并沿定曲线 C

6、移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.定义3 第13页，共82页。04 八月 202214柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.母线准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0.母线一般地,在三维空间第14页，共82页。04 八月 202215四、二次曲面三元二次方程 适当选

7、取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )(Quadric Surface; Surface of Second Order)第15页，共82页。04 八月 202216椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P202)1. 椭圆锥面(Elliptic Cone)第16页，共82页。04 八月 202217(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆2. 椭

8、球面(Ellipsoid)第17页，共82页。04 八月 202218与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)第18页，共82页。04 八月 2022193. 抛物面(Paraboloid)(1) 椭圆抛物面(2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 特别,当a = b时为绕 z 轴的旋转抛物面.xyzxyz第19页，共82页。04 八月 202220(1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线: 4. 双曲面(Hyperbol

9、oid)第20页，共82页。04 八月 202221虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线: 双曲线: 第21页，共82页。04 八月 202222双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面: 系数二项正,一项为负.双叶双曲面: 系数一项正,二项负.图形(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)（a、b、c 是正数）第22页，共82页。04 八月 202223内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱

10、面等 .第23页，共82页。04 八月 202224三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 2. 二次曲面第24页，共82页。04 八月 202225课外练习P204 习题63 1；3(2)(4); 4; 6（奇数题）；7；8（2）（3）； 9第25页，共82页。04 八月 202226斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习1. 指出下列方程的图形:第26页，共82页。04 八月 202227第2

11、7页，共82页。04 八月 2022283. 习题6-3 8题8答案: 在 xoy 面上 (2) 双曲线绕y轴旋转一周；第28页，共82页。04 八月 202229第三节 曲面及其方程 第六章 （Surface and Its Equation）四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱 面五、小结与思考练习第29页，共82页。04 八月 202230一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为

12、轨迹方程. （Equations for a Surface)第30页，共82页。04 八月 202231如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 定义1第31页，共82页。04 八月 202232故所求方程为方程.

13、特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面 .例1 求动点到定点第32页，共82页。04 八月 202233解: 配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.的曲面. （课本 例3） 表示怎样半径为的球面.球心为 例2 研究方程第33页，共82页。04 八月 202234定义2 一条平面曲线二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.例如 :(Surface of Revolution)第34页，共82页。04 八月 2022

14、35故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:第35页，共82页。04 八月 202236求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？第36页，共82页。04 八月 202237的圆锥面方程. （课本 例4） 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为第37页，共82页。04 八月 2022

15、38分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例4 求坐标面 xoz 上的双曲线(旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）（习题6-3 5）第38页，共82页。04 八月 202239三、柱面引例 分析方程表示怎样的坐标也满足方程解:在 xoy 面上表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,(Cylinder; Cylindrical Surface)的曲面 ?第

16、39页，共82页。04 八月 202240平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.定义3 第40页，共82页。04 八月 202241柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.母线准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0.母线一般地,在三维空间第41页

17、，共82页。04 八月 202242四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )(Quadric Surface; Surface of Second Order)第42页，共82页。04 八月 202243椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P202)1. 椭圆锥面(Elliptic Cone)第43页，共82页。0

18、4 八月 202244(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆2. 椭球面(Ellipsoid)第44页，共82页。04 八月 202245与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)第45页，共82页。04 八月 2022463. 抛物面(Paraboloid)(1) 椭圆抛物面(2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 特别,当a = b时为绕 z 轴的旋转抛物面.xyzxyz第46页，共82页。04 八月 202247(1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于

19、z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线: 4. 双曲面(Hyperboloid)第47页，共82页。04 八月 202248虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线: 双曲线: 第48页，共82页。04 八月 202249双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面: 系数二项正,一项为负.双叶双曲面: 系数一项正,二项负.图形(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)（a、b、c 是正数）第49页，共82页。04 八月 202250内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,

20、曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .第50页，共82页。04 八月 202251三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 2. 二次曲面第51页，共82页。04 八月 202252课外练习P204 习题63 1；3(2)(4); 4; 6（奇数题）；7；8（2）（3）； 9第52页，共82页。04 八月 202253斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习1.

21、指出下列方程的图形:第53页，共82页。04 八月 202254第54页，共82页。04 八月 2022553. 习题6-3 8题8答案: 在 xoy 面上 (2) 双曲线绕y轴旋转一周；第55页，共82页。04 八月 202256第六节 空间直线及其方程 第六章 ( Space Straight Line and Its Equation)四、直线与平面的夹角一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程三、两直线的夹角五、平面束六、小结与思考练习第56页，共82页。04 八月 202257因此其一般式方程(General Equation of a Space Stra

22、ight Line)直线可视为两平面交线，(不唯一)一、空间直线方程的一般方程第57页，共82页。04 八月 202258(Symmetric Expression) 1. 对称式方程（点向式方程)故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程第58页，共82页。04 八月 202259设得参数式方程 :3. 参数式方程(Parametric Form ) 第59页，共82页。04 八月 202260解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令

23、 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .例1 用对称式及参数式表示直线（补充题）第60页，共82页。04 八月 202261故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.(自学课本 例1)第61页，共82页。04 八月 202262例 2 求与两平面x4y = 3 和2xy5z = 1 的交线平行且过点(3, 2, 5)的直线的方程.解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取 因此所求直线的方程为 第62页，共82页。04 八月 202263例3 求直线

24、与平面2xyz6=0的交点. 解：所给直线的参数方程为x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)6=0. 解上列方程，得t =1. 把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2. （由课本例3改编）第63页，共82页。04 八月 202264则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为（The Angle between Two Straight Lines）三、两直线的夹角第64页，共82页。04 八月 202265特别地有:第65页，

25、共82页。04 八月 202266解: 直线直线二直线夹角 的余弦为从而的方向向量为的方向向量为例4（由课本例4改编） 求以下两直线的夹角第66页，共82页。04 八月 202267（The Angle between a Straight Lines and a Plane）当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直四、直线与平面的夹角第67页，共82页。04 八月 202268特别有:例5 求过点(1,2 , 4) 且与平面解: 取已知平面的法向量则直线的对

26、称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量. 垂 第68页，共82页。04 八月 202269五、平面束 有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 我们建立三元一次方程： ( III )其中 为任意常数. 因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成 ( II ) ( I )（Pencil of Planes）第69页，共82页。04 八月 202270比例，所以对于任何一个 值，方程(III)的系数： 不全为零，从而方程(III)表示 一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的 值，方程(III)表示通过直线L的不同的平面. 反之，通过直线L 的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内. 通过定直线的所有平面的全体称为平面