高中数学选修第一册：选择性必修第一册第二章 2.2.3 直线的一般式方程

1、22.3直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化知识点一直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线我们把关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式思考平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？答案都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在直线可表示成ykxb，可转化为kx(1)yb0，这是关于x，y的二元一次方程(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成xa0，它可以认为是关于x，

2、y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.知识点二直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式yy0k(xx0)不能表示斜率不存在的直线斜截式ykxb不能表示斜率不存在的直线两点式eq f(yy1,y2y1)eq f(xx1,x2x1)x1x2，y1y2截距式eq f(x,a)eq f(y,b)1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式AxByC0无思考当A0或B0时，方程AxByC0分别表示什么样的直线？答案(1)若A0，此时B0，方程化为yeq f(C,B)，表示与y轴垂直的一条直线(2)若B0，此时A0，方程化为xeq f(C,A)，表示与x轴垂直的一条直线知识点三直线各种形式方程的互化1任何

3、直线方程都能表示为一般式()2任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化()3对于二元一次方程AxByC0，当A0，B0时，方程表示斜率不存在的直线()4当A，B同时为零时，方程AxByC0也可表示为一条直线()一、直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是eq r(3)，且经过点A(5,3)；(2)经过点A(1,5)，B(2，1)两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为3，1；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴解(1)由点斜式，得直线方程为y3eq r(3)(x5)，即eq r(3)xy5eq r(3)30.(2)由两点式，得直线方程为eq f(

4、y5,15)eq f(x1,21)，即2xy30.(3)由截距式，得直线方程为eq f(x,3)eq f(y,1)1，即x3y30.(4)y20.反思感悟求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式跟踪训练1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式斜率是eq f(1,2)，且经过点A(8，6)的直线方程为_；在x轴和y轴上的截距分别是eq f(3,2)和3的直线方程为_；经过点P1(3，2)，P2(5，4)的直线方程为_答案x2y402xy30 xy10(2)直线2xy20绕它与y轴的交点A按逆时针方

5、向旋转90所得的直线方程是()Ax2y40 Bx2y40Cx2y40 Dx2y40答案D解析直线2xy20与y轴的交点为A(0，2)，所求直线过点A且斜率为eq f(1,2)，所求直线的方程为y2eq f(1,2)x，即x2y40.二、直线的一般式方程的应用例2设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)已知直线l在x轴上的截距为3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值解(1)由题意知m22m30，即m3且m1，令y0，则xeq f(2m6,m22m3)，eq f(2m6,m22m3)3，得meq f(5,3)或m3(舍去)meq f(5,3).(2)由题意知，2

6、m2m10，即meq f(1,2)且m1.由直线l化为斜截式方程得yeq f(m22m3,2m2m1)xeq f(62m,2m2m1)，则eq f(m22m3,2m2m1)1，得m2或m1(舍去)m2.延伸探究对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值解直线l与y轴平行，eq blcrc (avs4alco1(m22m30，,2m2m10，,62m0，)meq f(1,2).反思感悟含参直线方程的研究策略(1)若方程AxByC0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x0可得在y轴上的截距令y0可得在x轴上的截距若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式(3)解分式方程要注意验根

7、跟踪训练2(1)若直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，则a_.答案1解析由题意知a0，当x0时，y2；当y0时，xeq f(2,a)，2eq f(2,a)，a1.(2)已知(k1)x(k1)y2k0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标解整理直线l的方程得(xy)k(xy2)0.无论k取何值，该式恒成立，所以eq blcrc (avs4alco1(xy0，,xy20，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1.)所以直线l经过定点M(1，1)一般式下直线的平行与垂直的问题典例已知直线l1：3x(m1)y60，l2：mx2y(m2)0，

8、分别求满足下列条件的m的值(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)l1l2，3m(m1)20，meq f(2,5).(2)l1l2，32m(m1)，m3或m2，当m3时，l1l2；当m2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去m3.素养提升(1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：设直线l1与l2的方程分别为A1xB1yC10(A1，B1不同时为0)，A2xB2yC20(A2，B2不同时为0)，则l1l2eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10或A1C2A2C10.)l1l2A1A2B1B20.(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确

9、定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养1直线eq f(x,3)eq f(y,4)1化成一般式方程为()Ayeq f(4,3)x4 Byeq f(4,3)(x3)C4x3y120 D4x3y12答案C2在直角坐标系中，直线xeq r(3)y30的倾斜角是()A30 B60 C150 D120答案C解析直线斜率keq f(r(3),3)，所以倾斜角为150，故选C.3若方程AxByC0表示直线，则A，B应满足的条件为()AA0 BB0CAB0 DA2B20答案D解析方程AxByC0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2B20.4已知直线kxy13k0，当k变化时，所有直线都恒过点

10、()A(0,0) B(0,1) C(3,1) D(2,1)答案C解析kxy13k0可化为y1k(x3)，所以直线过定点(3,1)5若直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角是45，则实数m的值是_答案3解析由已知得eq blcrc (avs4alco1(f(2m25m2,m24)1，,m240，)m3.1知识清单：(1)直线的一般式方程(2)直线五种形式方程的互化(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直2方法归纳：分类讨论法、化归转化3常见误区：忽视直线斜率不存在情况；忽视两直线重合情况1过点(2,1)，斜率k2的直线方程为()Ax12(y2) B2xy10Cy22(x1) D2xy50

11、答案D解析根据直线方程的点斜式可得，y12(x2)，即2xy50.2过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的直线方程为()Ax2y40 B2xy70Cx2y30 Dx2y50答案A解析过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的直线的斜率为eq f(1,2)，由点斜式求得直线的方程为y3eq f(1,2)(x2)，化简可得x2y40，故选A.3直线3x2y40的截距式方程是()A.eq f(3x,4)eq f(y,2)1 B.eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1C.eq f(x,f(1,3)eq f(y,f(1,2)4 D.eq f(3,4)xeq f(y,2)1答案B解析由3x2y40

12、，得3x2y4，即eq f(3,4)xeq f(2,4)y1 , 即eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1，所以直线的截距式方程为eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1.4已知直线l1：ax(a2)y20与l2：xay10平行，则实数a的值为()A1或2 B0或2C2 D1答案D解析由l1l2知，aa1(a2)，即a2a20，a2或a1.当a2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a1时，l1l2.a1.5已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线eq r(3)xyeq r(3)0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()Aeq r(3)，1 B.eq r(3)，

13、1 Ceq r(3)，1 D.eq r(3)，1答案A解析原方程化为eq f(x,f(1,a)eq f(y,f(1,b)1，eq f(1,b)1，b1.又axby10的斜率keq f(a,b)a，且eq r(3)xyeq r(3)0的倾斜角为60，ktan 120eq r(3)，aeq r(3)，故选A.6斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为_答案2xy10解析由y32(x1)得2xy10.7已知直线(a2)x(a22a3)y2a0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为_答案eq f(4,15)解析把(3,0)代入已知方程，得(a2)32a0，a6，直线方程为4x45y12

14、0，令x0，得yeq f(4,15).8若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k_.答案1或3 解析直线l经过原点时，可得斜率k3.直线不经过原点时，直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，经过点(a，0)，(0，a)(a0)k1.综上可得，直线l的斜率k1或3.9已知直线l的方程为3x4y120，求直线l的一般式方程，l满足：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直解方法一由题意l的方程可化为yeq f(3,4)x3，l的斜率为eq f(3,4).(1)由l与l平行，l的斜率为eq f(3,4).又l过(1,3)，由点斜式知方程为y

15、3eq f(3,4)(x1)，即3x4y90.(2)由l与l垂直，l的斜率为eq f(4,3)，又过(1,3)，由点斜式可得方程为y3eq f(4,3)(x1)，即4x3y130.方法二(1)由l与l平行，可设l方程为3x4ym0.将点(1,3)代入上式得m9.所求直线方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设其方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线方程为4x3y130.10已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30.(1)若这两条直线垂直，求k的值；(2)若这两条直线平行，求k的值解(1)根据题意，得(k3)2(k3)(4k)(2)0，解得keq

16、 f(5r(5),2).若这两条直线垂直，则keq f(5r(5),2).(2)根据题意，得(k3)(2)2(k3)(4k)0，解得k3或k5.经检验，均符合题意若这两条直线平行，则k3或k5.11直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4) B.eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)答案D解析keq f(1,a21)，1k0.所以倾斜角的取值范

17、围是eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，).12两条直线mxyn0和xmy10互相平行的条件是()Am1 Bm1C.eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1) D.eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1)或eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1)答案D解析令mm11，得m1.当m1时，要使xyn0与xy10平行，需n1.当m1时，要使xyn0与xy10平行，需n1.13直线ymx3m2(mR)必过定点()A(3,2) B(3,2)C(3，2) D(3，2)答案A解析由ymx3m2，得y2m(x3)，所以直线必过点(3,2)14垂直于直线

18、3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为_答案4x3y120或4x3y120解析由题意可设与直线3x4y70垂直的直线的方程为4x3yc0(c0)，令y0，得xeq f(c,4)，令x0，得yeq f(c,3)，则Seq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(c,4)eq blc|rc|(avs4alco1(f(c,3)6，得c2122，c12，直线l的方程为4x3y120或4x3y120.15(多选)若直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为()A1 B1C2 D. 2答案BD解析当直线axy2a0过原点时，可得a2.当直线axy2a0不过原点时，由题意知，当a0时，直线l与x轴无交点，当a0时，直线l在x轴上的截距为eq f(2a,a)，与在y轴上的截距2a相等，可得eq f(2a,a)2a，解得a1或a2(舍)综上知，a2或1.所以直线l的斜率为1或2.16