高中数学选修第一册：选择性必修第一册第三章 章末检测试卷(三)卷

1、章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1双曲线3x2y29的焦距为()A.eq r(6) B2eq r(6) C2eq r(3) D4eq r(3)答案D解析方程化为标准方程为eq f(x2,3)eq f(y2,9)1，a23，b29.c2a2b212，c2eq r(3)，2c4eq r(3).2设椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1 B.eq f(x2,3)y21C.e

2、q f(x2,2)y21 D.eq f(x2,4)y21答案A解析因为|BF2|F1F2|2，所以a2c2，所以a2，c1，所以beq r(3).所以椭圆的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.3抛物线y24x的焦点到双曲线x2eq f(y2,3)1的渐近线的距离是()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C1 D.eq r(3)答案B解析抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x2eq f(y2,3)1的渐近线eq r(3)xy0的距离为eq f(|r(3)110|,r(r(3)212)eq f(r(3),2)，故选B.4已知F1，F2为椭圆eq f(x2,a2

3、)eq f(y2,b2)1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率为eq f(r(3),2)，则椭圆的方程是()A.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1 B.eq f(x2,16)eq f(y2,3)1C.eq f(x2,16)eq f(y2,12)1 D.eq f(x2,16)eq f(y2,4)1答案D解析由椭圆的定义知|AF1|BF1|AB|4a16，所以a4，又eeq f(c,a)eq f(r(3),2)，所以c2eq r(3)，所以b242(2eq r(3)24，所以椭圆的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,4)1.5已知双曲线e

4、q f(x2,2)eq f(y2,b2)1(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(eq r(3)，y0)在双曲线上，则eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()等于()A12 B2 C0 D4答案C解析由渐近线方程为yx，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2y22，于是两焦点分别是F1(2,0)和F2(2,0)，且P(eq r(3)，1)或P(eq r(3)，1)不妨取点P(eq r(3)，1)，则eq o(PF1,sup6()(2eq r(3)，1)，eq o(PF2,sup6()(2eq r(3)，1)所以eq o(PF1,sup6()e

5、q o(PF2,sup6()(2eq r(3)，1)(2eq r(3)，1)(2eq r(3)(2eq r(3)10.6.如图，已知F是椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PFx轴，OPAB(O为原点)，则该椭圆的离心率是()A.eq f(r(2),2) B.eq f(r(2),4) C.eq f(1,2) D.eq f(r(3),2)答案A解析因为PFx轴，所以Peq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a).又OPAB，所以eq f(b,a)eq f(f(b2,a),c)，即bc.于是b2c2，即a22c2.所以eeq f(

6、c,a)eq f(r(2),2).7已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k等于()A.eq f(1,3) B.eq f(r(2),3)C.eq f(2,3) D.eq f(2r(2),3)答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20.由eq blcrc (avs4alco1(ykx2，,y28x，)得k2x2(4k28)x4k20，(4k28)216k464k2640，所以0k0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的

7、离心率为()A2 B.eq r(15) C.eq r(13) D.eq r(3)答案C解析|AB|BF2|AF2|345，不妨令|AB|3，|BF2|4，|AF2|5，|AB|2|BF2|2|AF2|2，ABF290，又由双曲线的定义得|BF1|BF2|2a，|AF2|AF1|2a，|AF1|345|AF1|，|AF1|3，2a|AF2|AF1|2，a1，|BF1|6.在RtBF1F2中，|F1F2|2|BF1|2|BF2|2361652，又|F1F2|24c2，4c252，ceq r(13)，eeq r(13).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的

8、得3分，有选错的得0分)9已知方程mx2ny21(m，nR)，则()A当mn0时，方程表示椭圆B当mn0时，方程表示双曲线C当m0时，方程表示两条直线D方程表示的曲线不可能为抛物线答案BD解析A项，取mn1，此时表示圆，错误；B项，当mn0，b0)的一个焦点与抛物线xeq f(1,4)y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于eq r(5)，则该双曲线的方程为_，渐近线方程为_(本题第一空3分，第二空2分)答案5x2eq f(5,4)y21y2x解析抛物线xeq f(1,4)y2的方程化为标准形式为y24x，焦点坐标为(1,0)，则得a2b21，又eeq f(c,a)eq r(5)，易求得a2eq

9、f(1,5)，b2eq f(4,5)，所以该双曲线的方程为5x2eq f(5,4)y21，渐近线方程为y2x.15过点Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)的直线与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|3，则p_.答案4解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，|AF|x1eq f(p,2)，又|AF|3，所以x13eq f(p,2)，由中点坐标公式，得eq blcrc (avs4alco1(x1f(x2f(p,2),2)，,y1f(y20,2)，)所以x26eq f(p,2)，y22y1，所以yeq

10、 oal(2,2)4yeq oal(2,1)，2peq blc(rc)(avs4alco1(6f(p,2)4yeq oal(2,1)42px142peq blc(rc)(avs4alco1(3f(p,2)，结合p0可得p4.16如图所示，已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作ABl于B，|AK|eq r(2)|AF|，则AFK的面积为_答案8解析由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x2，K(2,0)，设A(x0，y0)(y00)，过点A作ABl于B，B(2，y0)，|AF|AB|x0(2)x02，|BK|2|AK|2|AB|

11、2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面积为eq f(1,2)|KF|y0|eq f(1,2)448.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分) 已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的离心率为eq f(r(6),3)，短轴的一个端点到右焦点的距离为eq r(3)，求椭圆C的方程解设椭圆的半焦距为c，依题意，得aeq r(3)且eeq f(c,a)eq f(r(6),3)，所以aeq r(3)，ceq r(2)，从而b2a2c21，因此所求椭圆的方程为eq f(x2,3)y21.18(12分)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(

12、ab0)经过点A(2,1)，离心率为eq f(r(2),2)，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.(1)求椭圆的方程；(2)若|MN|eq f(3r(2),2)，求直线MN的方程解(1)由题意有eq f(4,a2)eq f(1,b2)1，eeq f(c,a)eq f(r(2),2)，a2b2c2，解得aeq r(6)，beq r(3)，ceq r(3)，所以椭圆方程为eq f(x2,6)eq f(y2,3)1.(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为yk(x3)，代入椭圆方程整理得(2k21)x212k2x18k260，2424k20，得k21.设M(x1，y

13、1)，N(x2，y2)，则x1x2eq f(12k2,2k21)，x1x2eq f(18k26,2k21)，|MN|eq r(x1x22y1y22)eq r(k21x1x22)eq r(k21x1x224x1x2)eq f(3r(2),2)，解得keq f(r(2),2)，满足k20)过点P(1,1)过点eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点(1)解由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p

14、eq f(1,2).所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0)，准线方程为xeq f(1,4).(2)证明由题意，设直线l的方程为ykxeq f(1,2)(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由eq blcrc (avs4alco1(ykxf(1,2)，,y2x)得4k2x2(4k4)x10.则x1x2eq f(1k,k2)，x1x2eq f(1,4k2).因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yeq f(y2,x2)x，点B的坐标为eq blc

15、(rc)(avs4alco1(x1，f(y2x1,x2).因为y1eq f(y2x1,x2)2x1eq f(y1x2y2x12x1x2,x2)eq f(blc(rc)(avs4alco1(kx1f(1,2)x2blc(rc)(avs4alco1(kx2f(1,2)x12x1x2,x2)eq f(2k2x1x2f(1,2)x2x1,x2)eq f(2k2f(1,4k2)f(1k,2k2),x2)0，所以y1eq f(y2x1,x2)2x1，即y1x1x1eq f(y2x1,x2)，即|AM|BA|，故A为线段BM的中点21(12分)已知F1，F2分别为椭圆eq f(x2,100)eq f(y2,

16、b2)1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为eq f(64r(3),3)，求b的值解 (1)|PF1|PF2|eq blc(rc)(avs4alco1(f(|PF1|PF2|,2)2100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)，|PF1|PF2|的最大值为100.(2)eq f(1,2)|PF1|PF2|sin 60eq f(64r(3),3)，|PF1|PF2|eq f(256,3).由题意知eq blcrc (avs4alco1(|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，,|PF1|2|PF2|2

17、4c22|PF1|PF2|cos 60，)3|PF1|PF2|4004c2.由得c6，b8.22(12分) 已知抛物线C：y24x，Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(m，0)，其中m0，过B的直线l交抛物线C于M，N.(1)当m5，且直线l垂直于x轴时，求证：AMN为直角三角形；(2)若eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，当点P在直线l上时，求实数m，使得AMAN.(1)证明由题意l：x5，代入y24x中，解得y2eq r(5)，不妨取M(5,2eq r(5)，N(5，2eq r(

18、5)，则eq o(AM,sup6()(4,2eq r(5)2)，eq o(AN,sup6()(4，2eq r(5)2)，所以eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()(4,2eq r(5)2)(4，2eq r(5)2)16(204)0，所以AMAN，即AMN为直角三角形得证(2)解由题意可得四边形OAPB为平行四边形，则kBPkOA2，设直线l：y2(xm)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,1),4)，y1)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,2),4)，y2)，联立eq blcrc (avs4alco1(y2xm，,y24x，)得y22y4m0，由题意，判别式416m0，y1y22，y1y24m，因为A