高中数学选修第一册：1.1.1 空间向量及其线性运算-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

1、 空间向量及其线性运算【学习目标】课程标准学科素养1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点)1、逻辑推理2、数学运算【自主学习】1、空间向量的概念及几类特殊向量名称定义空间向量在空间中，具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_单位向量长度或模为_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量空间向量的表示空间向量可以用a,b,c表示，也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作eq o(AB,sup6()，其模记为 .3、空间向量的

2、加、减法运算、数乘运算ab=eq o(OA,sup7()eq o(AB,sup7()_；a- beq o(OA,sup7()eq o(OC,sup7()_.当0时，a=eq o(OA,sup7()= ；当0时，a=eq o(OA,sup7()= ；0时，a0运算律：交换律 ab _；结合律(ab)c .分配律(ab) ， ()a 。4、共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫做_或平行向量.(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使_.5、方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的 成为直线l的方向向量。也就是说直

3、线可以由其一点和它的方向向量确定。共面向量定义：平行于_的向量叫做共面向量. = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I、证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若axbyc，则向量a，b，c共面；(2)寻找平面，证明这些向量与平面平行. = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II、对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)eq o(MP,sup7()xeq o(MA,sup7()yeq o(MB,sup7()；(2)对空间任一点O，eq o(OP,sup7()eq o(OM,sup7(

4、)xeq o(MA,sup7()yeq o(MB,sup7()；(3)对空间任一点O，eq o(OP,sup7()xeq o(OA,sup7()yeq o(OB,sup7()zeq o(OC,sup7()(xyz1)；(4)eq o(PM,sup7()eq o(AB,sup7()(或eq o(PA,sup7()eq o(MB,sup7()，或eq o(PB,sup7()eq o(AM,sup7().【小试牛刀】1、判断正错(1)零向量没有方向( )(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示( )(3)平面内所有的单位向量是相等的( )(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成

5、的图形是球( )(5)任何两个向量均不可以比较大小( )2、在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量eq o(AD,sup7()相等的向量共有()A.1个 B.2个C.3个D.4个3.已知空间四边形ABCD中，eq o(AB,sup7()a，eq o(CB,sup7()b，eq o(AD,sup7()c，则eq o(CD,sup7()等于()A.abc B.abcC.abcD.abc【经典例题】题型一 空间向量概念注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致例1给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCDA1B1C1D1中，eq

6、o(AC,sup7()eq o(A1C1,sup7()；若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；在四边形ABCD中，必有eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AC,sup7().其中正确命题的序号是_.跟踪训练 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C若向量eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()满足|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，则eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()D相等向量其方向必相

7、同(2)如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，顶点连接的向量中，与向量eq o(AA,sup7()相等的向量有_ _；与向量eq o(AB,sup7()相反的向量有_ _.(要求写出所有适合条件的向量)题型二 空间向量的线性运算注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；2.要注意数形结合思想的运用.例2 在如图所示的平行六面体中，求证：eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6(-)eq o(AD,sup6(-)2eq o(AC,sup6(-).跟踪训练 2如图，已知正方体ABCDABCD，点E是上底面ABCD的中心，求下列各式中x，y，z的值.(1)eq o(BD,sup

8、7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7()；(2)eq o(AE,sup7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7().题型三 向量的共线及判定例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq o(A1E,sup7()2eq o(ED1,sup7()，F在对角线A1C上，且eq o(A1F,sup7()eq f(2,3)eq o(FC,sup7()，求证：E，F，B三点共线. 注意：要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：(1)eq o(EB,sup6

9、()meq o(EF,sup6()；(2)eq o(AB,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(EF,sup6()；(3)eq o(AB,sup6()neq o(AE,sup6()(1n)eq o(AF,sup6().跟踪训练 3在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断eq o(EF,sup16()与eq o(AD,sup16()eq o(BC,sup16()是否共线题型四 向量共面例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心.试用向量方法证明

10、E，F，G，H四点共面.跟踪训练 4如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMeq f(1,3)BD，ANeq f(1,3)AE.求证：向量eq o(MN,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(DE,sup7()共面.【当堂达标】1.下列说法：若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；若向量eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()满足|eq o(AB,sup7()|eq o(CD,sup7()|，且eq o(AB,sup7()与eq o(CD,sup7()同向，则eq o(AB,su

11、p7()eq o(CD,sup7()；若两个非零向量eq o(AB,sup7()与eq o(CD,sup7()满足eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()0，则eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()为相反向量；eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为() A.1 B.2C.3D.42向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()Aab Bab为实数0 Ca与b方向相同 D|a|33已知正方体ABCDA1B1C1D1中，eq o(A1E,sup6()eq f(1,4)eq o(A

12、1C1,sup6()，若eq o(AE,sup6()xeq o(AA1,sup6()y(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，则()Ax1，yeq f(1,2) Bxeq f(1,2)，y1Cx1，yeq f(1,3) Dx1，yeq f(1,4)4如图所示，空间四边形OABC中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则eq o(MN,sup6()等于()Aeq f(1,2)aeq f(2,3)beq f(1,2)cBeq f(2,3)aeq f(1,2)beq f(1,2)

13、cCeq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)cDeq f(2,3)aeq f(2,3)beq f(1,2)c5、如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为eq r(5)的所有向量试写出与向量eq o(AB,sup6()相等的所有向量试写出向量eq o(AA,sup6(-)的所有相反向量6.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，设eq o(OA,sup7()a，eq o(OB,sup7()b，eq o(OC,sup7()c，试用a，b，c表

14、示向量eq o(OG,sup7().7、如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq o(CF,sup7()eq f(2,3)eq o(CB,sup7()，eq o(CG,sup7()eq f(2,3)eq o(CD,sup7().求证：四边形EFGH是梯形.8、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq o(OM,sup7()eq f(1,3)eq o(OA,sup7()eq f(1,3)eq o(OB,sup7()eq f(1,3)eq o(OC,sup7().(1)判断eq o(MA,sup7()，e

15、q o(MB,sup7()，eq o(MC,sup7()三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.【参考答案】【自主学习】1、大小方向长度或模1长度为0相同相等方向模2、长度 |a|或|eq o(AB,sup6()|3、eq o(OB,sup7() eq o(CA,sup7() ba a（bc） ab aa4、(1)互相平行或重合共线向量(2) ab5、非零向量6. 同一个平面【小试牛刀】1、 2、C 【解析】与向量eq o(AD,sup7()相等的向量有eq o(BC,sup7()，eq o(A1D1,sup7()，eq o(B1C1,sup7()共3个.3、C 【解析】eq o(

16、CD,sup7()eq o(CB,sup7()eq o(BA,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(CB,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()abc.【经典例题】例1 【解析】(1)正确；正确，因为eq o(AC,sup7()与eq o(A1C1,sup7()的大小和方向均相同；|a|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AC,sup7().综上可知，正确命题为.跟踪训练 1 (1)D解析A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或

17、重合；B中，|a|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.(2)eq o(BB,sup7()，eq o(CC,sup7()，eq o(DD,sup7()eq o(BA,sup7()，eq o(BA,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(CD,sup7() 解析 根据相等向量的定义知，与向量eq o(AA,sup7()相等的向量有eq o(BB,sup7()，eq o(CC,sup7()，eq o(DD,sup7().与向量eq o(AB,sup7()相反的向量有eq o(BA,sup7()，eq o(BA,sup7()，eq o(CD,

18、sup7()，eq o(CD,sup7().例2 证明平行六面体的六个面均为平行四边形，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(AB,sup6(-)eq o(AB,sup6()eq o(AA,sup6(-)，eq o(AD,sup6(-)eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6(-)，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6(-)eq o(AD,sup6(-)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AA,sup6(-)(eq o(AD,sup6()eq o(

19、AA,sup6(-)2(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6(-)又eq o(AA,sup6(-)eq o(CC,sup6(-)，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6(-)eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CC,sup6(-)eq o(AC,sup6()eq o(CC,sup6(-)eq o(AC,sup6(-).eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6(-)eq o(AD,sup6(-)2eq o(AC,

20、sup6(-).跟踪训练 2解：(1)因为eq o(BD,sup7()eq o(BD,sup7()eq o(DD,sup7()eq o(BA,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(DD,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AA,sup7()，又eq o(BD,sup7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7()，所以x1，y1，z1.(2)因为eq o(AE,sup7()eq o(AA,sup7()eq o(AE,sup7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)eq o(AC,su

21、p7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)eq o(AB,sup7()eq f(1,2)eq o(AD,sup7()eq f(1,2)eq o(AD,sup7()eq f(1,2)eq o(AB,sup7()eq o(AA,sup7()，又eq o(AE,sup7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7()，所以xeq f(1,2)，yeq f(1,2)，z1.例3 【证明】设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup

22、6()b，eq o(AA1,sup6()c.eq o(A1E,sup6()2eq o(ED1,sup6()，eq o(A1F,sup6()eq f(2,3)eq o(FC,sup6()，eq o(A1E,sup6()eq f(2,3)eq o(A1D1,sup6()，eq o(A1F,sup6()eq f(2,5)eq o(A1C,sup6().eq o(A1E,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()eq f(2,3)b，eq o(A1F,sup6()eq f(2,5)(eq o(AC,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(2,5)(eq o(AB,sup6(

23、)eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(2,5)aeq f(2,5)beq f(2,5)c.eq o(EF,sup6()eq o(A1F,sup6()eq o(A1E,sup6()eq f(2,5)aeq f(4,15)beq f(2,5)ceq f(2,5)(aeq f(2,3)bc)又eq o(EB,sup6()eq o(EA1,sup6()eq o(A1A,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)bcaaeq f(2,3)bc，eq o(EF,sup6()eq f(2,5)eq o(EB,sup6()，所以E，F，B三点共线跟踪训练 3 解

24、：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，E、F分别为AB、CD的中点eq o(GF,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，eq o(EG,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6().又E、F、G三点共面，eq o(EF,sup6()eq o(EG,sup6()eq o(GF,sup6()eq f(1,2)(eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，即eq o(EF,sup6()与eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()共线例4 证明：分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，R

25、M，因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且eq o(PE,sup7()eq f(2,3)eq o(PM,sup7()，eq o(PF,sup7()eq f(2,3)eq o(PN,sup7()，eq o(PG,sup7()eq f(2,3)eq o(PQ,sup7()，eq o(PH,sup7()eq f(2,3)eq o(PR,sup7().由题意知四边形MNQR是平行四边形，所以eq o(MQ,sup7()eq o(MN,sup7()eq o(MR,sup7()(eq o(PN,sup7()eq o(PM,sup7()(eq o(PR,sup7()

26、eq o(PM,sup7()eq f(3,2)(eq o(PF,sup7()eq o(PE,sup7()eq f(3,2)(eq o(PH,sup7()eq o(PE,sup7()eq f(3,2)(eq o(EF,sup7()eq o(EH,sup7().又eq o(MQ,sup7()eq o(PQ,sup7()eq o(PM,sup7()eq f(3,2)eq o(PG,sup7()eq f(3,2)eq o(PE,sup7()eq f(3,2)eq o(EG,sup7().所以eq o(EG,sup7()eq o(EF,sup7()eq o(EH,sup7()，由共面向量定理知，E，F，

27、G，H四点共面.跟踪训练 4 因为M在BD上，且BMeq f(1,3)BD，所以eq o(MB,sup7()eq f(1,3)eq o(DB,sup7()eq f(1,3)eq o(DA,sup7()eq f(1,3)eq o(AB,sup7().同理eq o(AN,sup7()eq f(1,3)eq o(AD,sup7()eq f(1,3)eq o(DE,sup7().所以eq o(MN,sup7()eq o(MB,sup7()eq o(BA,sup7()eq o(AN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(DA,sup7()f(1,3)o(AB,sup7()

28、eq o(BA,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(AD,sup7()f(1,3)o(DE,sup7()eq f(2,3)eq o(BA,sup7()eq f(1,3)eq o(DE,sup7()eq f(2,3)eq o(CD,sup7()eq f(1,3)eq o(DE,sup7().又eq o(CD,sup7()与eq o(DE,sup7()不共线，根据向量共面的充要条件可知eq o(MN,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(DE,sup7()共面.【当堂达标】1.C【解析】错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位

29、置无关.错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.正确.eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()0，得eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()，且eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()为非零向量，所以eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()为相反向量.错误.由eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()，知|eq o(AB,sup7()|eq o(CD,sup7()|，且eq o(AB,sup7()与eq o(CD,sup7()同向，但A与C，B与D不一定重合.2、D 【解析】向量a，b互为相反向量，则a，

30、b模相等、方向相反，故选D.3D 【解析】eq o(AE,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(A1E,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,4)eq o(A1C1,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()所以x1，yeq f(1,4)4、B【解析】eq o(MN,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(OM,sup6() eq f(1,2) (eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq f(2,3)eq o(OA,sup6() eq f(2,3)aeq f

31、(1,2)beq f(1,2)c5、解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量eq o(AA,sup6(-)，eq o(AA,sup6(-)，eq o(BB,sup6(-)，eq o(BB,sup6(-)，eq o(CC,sup6(-)，eq o(CC,sup6(-)，eq o(DD,sup6(-)，eq o(DD,sup6(-)，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个由于长方体的左右两侧面的对角线长均为eq r(5)，故模为eq r(5)的向量有eq o(AD,sup6(-)，eq o(DA,sup6(-)，eq o(AD,sup6(-)，eq o(DA

32、,sup6(-)，eq o(BC,sup6(-)，eq o(CB,sup6(-)，eq o(BC,sup6(-)，eq o(CB,sup6(-).与向量eq o(AB,sup6()相等的所有向量(除它自身之外)有eq o(AB,sup6(-)，eq o(DC,sup6()及eq o(DC,sup6(-).向量eq o(AA,sup6(-)的相反向量有eq o(AA,sup6(-)，eq o(BB,sup6(-)，eq o(CC,sup6(-)，eq o(DD,sup6(-).6. 解：eq o(OG,sup7()eq o(OM,sup7()eq o(MG,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq o(MN,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)(eq o(MA,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(BN,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(OA,sup7()o(OB,sup7()o(OA,