高中数学选修第一册：2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

1、2.1.2 两条直线平行和垂直的判定【学习目标】课程标准学科素养理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点).能根据已知条件判断两直线的平行与垂直(重点).3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用(重、难点)1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】1.两条不重合直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件12901290对应关系l1l2 l1l2两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直的判定图示对应关系l1l2(两直线斜率都存在) l1的斜率不存在，l2的斜率为0 【小试牛刀】如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？2如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于1吗？3

2、.判断对错（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.( )（2）若l1l2，则k1k2.( )（3）若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( )（4）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.( )【经典例题】题型一两条直线平行的判定判断两条不重合的直线是否平行的方法注意：区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等例1下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有_.(填序号)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)

3、，B(2,2)；l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，eq r(3)，N(2，2eq r(3)；l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(3，3)，Q(3，6).跟踪训练 1 已知ABC中，A(0，3)，B(2，1)，E，F分别为AC，BC的中点，求直线EF的斜率题型二两条直线垂直的判定判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.例2判断下列各题中l1与l2是否垂直.(1)l1经过点A(3，4)，B(1,3)，l2经过点M(4，3)，N(3，1)；(2)l

4、1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(10,40)，N(10,40).跟踪训练 2 已知定点A(1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_题型三平行与垂直的综合应用(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.(3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查

5、.例3 已知A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状跟踪训练 3 已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.(A，B，C，D按逆时针方向排列)【当堂达标】1.过点A(2,5)和点B(4,5)的直线与直线y3的位置关系是()A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对2若直线l1，l2的倾斜角分别为1，2，且l1l2，则有()A1290 B2190C|21|90 D121803.已知两条直线l1,l2的斜率是方程3x2mx30(mR)的两个根,则l1与l2的位

6、置关系是()A.平行 B.垂直C.可能重合 D.无法确定4.已知直线l1的斜率为a，l2l1，则l2的斜率为()A.eq f(1,a) B.eq f(1,a)C.a D.eq f(1,a)或不存在5.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_.6已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标已知ABC的顶点为A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，求m的值.【参考答案】【自主学习】1.k1k22.k1k21 l1l2 【小试牛刀】1.在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一

7、定相等2.不一定它们的斜率也可能一个是0，另一个不存在3. 【经典例题】例1 解析kABeq f(51,32)eq f(4,5)，kCDeq f(73,83)eq f(4,5)，kABkCD，l1l2.eq f(21,21)12，l1不平行于l2.tan 60eq r(3)，eq f(r(3)2r(3),12)eq r(3)，l1l2.l1，l2的斜率均不存在，l1l2.跟踪训练 1 解E，F分别为AC，BC的中点，EFAB，kEFkABeq f(13,20)2.故直线EF的斜率为2.例2 解(1)k1eq f(34,13)eq f(7,4)，k2eq f(13,34)eq f(4,7)，k1

8、k21，l1与l2不垂直.(2)k110，k2eq f(32,2010)eq f(1,10)，k1k21，l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴；k2eq f(4040,1010)0，则l2x轴，l1l2.跟踪训练 2 (1,0)或(2,0) 解析 设以A、B为直径的圆与x轴的交点为P(x,0)，kPB0，kPA0，kPAkPB1，即eq f(03,x1)eq f(02,x4)1，(x1)(x4)6，而x23x20.x1或x2，P点坐标为(1,0)或(2,0)例3 解A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：由斜率公式可得kABeq f(53,2（4）)eq f(1,3)，kCDeq

9、f(03,36)eq f(1,3)，kADeq f(03,3（4）)3，kBCeq f(35,62)eq f(1,2)，kABkCD，由图可知AB与CD不重合，ABCD.由kADkBC，AD与BC不平行又kABkADeq f(1,3)(3)1，ABAD.故四边形ABCD为直角梯形跟踪训练 3 解若AD90，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1).若AB90，如图(2).设A(a，b)，则kBC3，kADeq f(b2,a1)，kABeq f(b1,a6).由ADBC，得kADkBC，即eq f(b2,a1)3；由ABBC，得kABkBC1，即eq f(b1,a6)(3

10、)1.由得eq blcrc (avs4alco1(af(12,5)，,bf(11,5)，)故Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(12,5)，f(11,5).综上所述，A点坐标为(1，1)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(12,5)，f(11,5).【当堂达标】1. B 解析斜率都为0且不重合，所以平行.2. C 解析两直线垂直，则它们的倾斜角的绝对值相差90.3.B 解析由方程3x2mx30，知m243(3)m2360恒成立.故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2x1x21，所以l1l2.4.D 解析当a0时，由k1k21知，k2eq f(1,a)，当a0时，l2的斜率不存在.5.1 解析由kPQeq f(3ab,3ba)1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为1.6.解设D(m，n)，由题意，得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC.eq blc(avs4alco1(f(01,10)f(3n,4m)，,f(n1,m0)f(30,41)，)解得eq blc(avs4alco1(m3，,n4.)顶点D的坐标为(3，4