五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版

1、知识结构一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有

2、排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做Pm.n根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2:从剩下的(n-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n-1)种方法；步骤m:从剩下的n-(m-1)个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n-(m-1)，n-m+1(种)方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n(n-1)(n-2)(n-m+1)，即Pm，n(n-1).(n-2)(n-m+1)，这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，n共有m个因数相乘.hi

3、二、排列数一般地，对于m，n的情况，排列数公式变为P”，n(n-1)(n-2)321.n表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列.式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积,MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排列组合(ABC级)学生版Page1of10记为n!，读做n的阶乘，则Pn还可以写为：Pnn!，其中n!=n（n1）（n2）-3-2-1.nn在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.汕|）三、组合问

4、题日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题.一般地，从n个不同元素中取出m个（mn）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（mn）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组

5、合数.记作Cm.n一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pm可分成以下两步:n第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cm种方法；n第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pm种排法.m根据乘法原理，得到Pm=CmPm.n（n一1）（n一2）-（n一m+1）m（m一1）（m一2）-321nnm因此，组合数Cm=聖=nPmm这个公式就是组合数公式.四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：Cm=Cn-m（mn）nn这个公式的直观意义是：Cm表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法.Cn-m表示从nnn个元素中取出（n-m）个元素组成一组的所有分组方

6、法.显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的（n-m）个元素的分组方法.例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C3=C.规定Cn=1，C0=1.nn五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：所要分解的物体一般是相同的：所要分解的物体必须全部分完：参与分物体的组至少都分到1MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排列组合（ABC级）学生版Page2of10个物体，不能有没分到物体的组出现.在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形

7、，使得它与一般的要求相符，再适用插板法.六使用插板法一般有如下三种类型：m个人分n个东西，要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(n1)个空隙中放上(m1)个插板，所以分法的数目为.m个人分n个东西，要求每个人至少有a个.这个时候，我们先发给每个人(a-1)个，还剩下n-m(a-1)个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型来处理就可以了.所以分法的数目为CmT.n-m(a-1)-1m个人分n个东西，允许有人没有分到.这个时候，我们不妨先借来东西，每个人多发个，这样就和类型一样了，不过这时候物品总数变成了m)个，因此分法的数目为m-1.n+m-1例题精讲【例1】

8、4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？【巩固】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法?【例2】将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻.请问共有多少种不同的排列方法？MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排列组合(ABC级)学生版Page3of10【巩固】6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A,B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？【例3】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全

9、部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？【例4】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法?【巩固】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法?MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排列组合（ABC级）学生版Page4of10【例5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求:当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节

10、目的顺序？当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序?【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【例6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法?【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法?【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法.【例7】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法?MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排

11、列组合（ABC级）学生版Page5of10【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。【例8】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法?【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【例9】（1）小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法？（2）小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法?【例10】马路上有编号为1，2，3，苹，10的十只路灯，

12、为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排列组合（ABC级）学生版【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种?【例11】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少?【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?【例12】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个?【巩固】从1到2004这2004个正整数中

13、，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位?MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排列组合（ABC级）学生版Page7of10课堂检测【随练1】某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？【随练2】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法?【随练3】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个?家庭作业【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。【作业2】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法?【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数计数综合.排列组合（ABC级）学生版Page8of10【作业4】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相，请问:如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？【作业5】由0，1，2,3,4,5