概率论与数理统计概率统计课件

1、量X 的概率密度函数为四、设随求(1) a 的值;1x 0 ,2 122 F ( x) sin x 12 x , 22x 1,(3) P(0 X ) 1111F ( 4 ) F (0) (sin) (sin 0 ) 2 .42422242( x) 1 e | x |量X 的概率密度为 f,五、设随求Y X 2解:X2fY ( y). (10分)1 的概率密度3四、已知连续型随量X 的密度函数为求(1) A ;41 26 .(3)P(1 X 5) F (5) F (1) 1 2727(4) 在(0,3)内, y g( x ) x2单调增可导, 且其导数 y 2x 0,其值域为 y (0, 9),

2、1且 h( y) 其反函数为x h( y) y ,2yyfh( y) | h( y) | f ( y) 当0 y 9时,YX18y ,0 y 9其他 f ( y) Y180,Y5四、已知连续型随量X 的密度函数为678( y) f解:f ( x, y) dx当0 y 1时,Yy1x2y x1y 4 y 4 y3 8 y 8xydx2x 1y1xfY ( y) 0 ,0当y 0 或 y 1时, 4 y 4 y 3, 0 y 1故fY ( y ) 0 ,其他1112323412121 1) 2 f X (2) fY (2) (3) 当x , y 时,f (,2 2从而X ,Y 不是相互独立的.9(

3、2012-2013学年概率论与数理统计B期终试题)七、设二维随机向量(X,Y ) 服从区域D ( x, y) | 0 x 1, 0 y 2 x 上的均匀分布,(1)求( X ,Y )分别关于 X 和Y 的边缘概率密度f X ( x),fY ( y);(2) 判断 X ,Y 是否独立, 并说明理由;(3)求P ( X 1 , Y 1 ). (10分)22解:101112( y) ff ( x, y) dx当0 y 1时,Yyx2y 4 y3 8 y 8xydx020fY ( y) 0 ,当y 0 或 y 1时,3x y 1y xy 11, 0 y 1f( y ) 4 y故Y 0 ,其他1 1(,

4、)2 2fX (1) fY (1) 0 4 0f (1,1) 8(2)从而X ,Y 不是相互独立的.1 11 xx(3) P ( X Y 1) f ( x, y)dxdy 2 dx8 xydy60 x y1(Y )dy 2 ,(Y )dy 4 , y2 f yfE(Y 2) (4) E(Y ) YY352D(Y ) E(Y 2 ) E(Y ) .7513(2014-2015学年概率论与数理统计B期终试题)五、设二维随机向量(X,Y ) 的联合概率密度为:0 x y 1其它f ( x, y) A x ,0 ,(1) 求常数A,(2) 求( X ,Y )分别关于 X ,Y 的边缘概率密度 f X

5、( x),fY ( y),(10分)(3)求 P ( X Y 1).解:1415163.2 二维随机向量的数字特征3.2.13.2.23.2.33.2.4二维随机向量函数的数学期望数学期望与方差的运算性质随量的协方差与相关系数随机向量的协方差矩阵与相关矩阵173.2.1二维随机向量函数的数学期望计算(2个)随量函数的数学期望:定理: 设 g( X ,Y )为随量X ,Y 的函数, 且Eg( X ,Y )存在,(1) 若( X ,Y )为离散型随机向量, 且联合分布律为:P( X xi ,Y y j ) pi j , (i, j 1,2,)则(2) 若(X ,Y ) 为连续型随机向量, 且( X

6、 ,Y ) f ( x, y),则 xipi j ,( X ,Y )为离散型: EX 由上定理ijx f ( x, y) dxdy, ( X ,Y )为连续型从而由( X ,Y ) 的联合分布可求出EX, EY , EX 2, EY 2,并进而求出 X ,Y 的期望与方差.18E g( X ,Y ) g( x, y) f ( x, y) dxdyE g( X ,Y ) g ( xi , y j ) pi jijy例题与讲解( x, y) D其他例1: 设( X ,Y ) f ( x, y) 1 , 0 ,y 1x 2D求EX, DX, E( XY ).xODEX 1解:x dxdyx f (

7、x, y) dxdyx(2 2 x ) dx 1 ,2 2 x122 x01dxx dyx ydx3000022f ( x, y) dxdy EX 2 xx dxdyD12 2 xdx22 x111,x (2 2 x) dx222dxx yxdy6000001 1 ( 1 )2DX EX 2 ( EX )2,6318E( XY ) x y f ( x, y) dxdyx ydxdyD2 y 2 1 .2 2 x22 x111dxx y dyxdx60000019D : 0 x 10 y 2 2 x3.2.2数学期望与方差的运算性质性质1: 设随则 E(n的期望都存在,n ) EX1 EX 2

8、EXn量E( X Y ) EX EY特别:n相互独立, 且EXi (i 1,2, n) 都存在,性质2: 设则 E(n ) EX1 EX 2 EXn()特别: X ,Y 相互独立, 且 EX , EY 都存在,则 E( XY ) EX EYn相互独立, 且DX i ( i 1,2, n) 都存在,性质3: 设则 D(n ) DX1 DX2 DXn ()特别: X ,Y 相互独立, 且DX , DY 都存在,则D( X Y ) DX DY20例题与讲解例2:已知二维随机向量( X ,Y )的概率分布由下表确定,判断 (1) X 与Y 是否独立,(2) E( XY ) (EX )(EY ) 成立吗

9、?解: (1) 求出X 和Y 的边缘分布:即P ( X 1,Y 1) 0.3 P( X 1) P(Y 1) 0.24故 X 和Y 不独立.(2) E( XY ) xi y j pi jij (1) (1) 0.3 (1) 1 0.3 1(1) 0.1 11 0.1 0,EX 0.2 EX EY 0 , E( XY ) EX EY .EY 0注：此题表明了性质2的逆命题不成立！21Y-101P0.40.20.4X-11P0.60.4YX-101pi.-10.300.30.610.10.20.10.4p. j0.40.20.43.2.3随量的协方差与相关系数量 X ,Y 的期望和方差都存在, 称定

10、义:设两个随为X 和Y 的协方差. E( X EX )(Y EY ) E( XY X EY Y EX EX EY ) E( XY ) EX EY EX EY EX EY若( X ,Y ) 是离散型的, 且其联合概率分布为P( X xi ,Y y j ) pi j , (i, j 1,2,)则cov( X ,Y ) ( xiEX )( y j EY ) pi jij若( X ,Y )是连续型的, 且( X ,Y ) f ( x, y),则cov( X ,Y ) (x EX)( y EY ) f ( x, y) dxdy22E( XY ) EX EYcov( X ,Y )cov(X ,Y ) E(

11、 X EX )(Y EY )cov( X , X ) DX推论1:则cov( X ,Y ) 推论3:协方差的性质:cov( X ,Y ) cov(Y , X ) cov(aX , bY ) cov( X1 X2, Y ) D ( X Y ) DX DY 2cov( X ,Y )(1)(2)(3)(4)例3: 设DX 25, DY 36, cov(X ,Y ) 18, 求D ( X 2Y ).D ( X 2Y ) DX D(2Y ) 2cov( X , 2Y ) DX 4DY 4cov( X ,Y ) 25 4 36 4 18 97.解:23定义: 设( X ,Y )为二维随机向量,DX 0,

12、DY 0, 称为为X 和Y 的相关系数, 有时记 XY.又有 cov( X , X )DXDXDX DX特别 XX 1 . XY0, 称X与Y 正相关 0,称X与Y 相关 定义: 若XY若 XY 0,称X与Y 负相关XY 0,称X与Y 不相关结论: 若X与Y 相互独立, 则 XY 0, 即X与Y 是不相关.X与Y不相关X与Y相互独立注意:2425例题与讲解 e ( x y ) ,x 0, y 0其他f ( x, y) 例4:设( X ,Y ) 0 ,判断 X与Y是否独立, 是否相关 .0f X ( x) e ( x y ) dyf ( x, y) dy 当x 0 时,解: e( x y ) e

13、x,0f ( x, y) dy 0 ,( x) 当x 0 时,fX e y , e xx 0其他y 0其他,fY ( y) f X ( x) 同理0 ,有 f (x, y) 0 ,fX (x) fY ( y) ,( x, y) R2从而X与Y 相互独立, 故X与Y 不相关, 即XY 0 .26例题与讲解例5: 设( X ,Y ) f ( x, y) 2 x y ,0 x 1, 0 y 1其他0 ,求 .XY1解: EXy) dyx f ( x, y) dxdyd012111022(2) dx (2x x ) y dxxy 00 5 , 5 ,32 ( 3 x 2 1 x 3 )1102EYx

14、(x ) dx12431120EX 22y) dydxf ( x, y) dxdy0 (2x x 3 ) y 1 x2 y2 1112 ) dx2dx(20200EY 2 1 , 1 ,(x x 3 ) dx ( 1 x 3 1 x4 )31102442 ( EX )2420 11 , DX DY EX 214427接上页例5: 设( X ,Y ) f ( x, y) 2 x y ,0 x, y 1其他0 ,求 .XY11EX EY 5 ,DX DY 解:,12144E ( XY ) x y f ( x, y) dxdy11xy (2 x y) dydx0102y 1 xy3 10 (2 x

15、x )2dx230 1 , ( 1 x 2 1 x 3 )23121012(x x )dx6360 E(XY ) EX EY1 XY .11DXDY283.2.4随机向量的协方差矩阵与相关矩阵2 , Xn ), DX i (i 1,2,)存在,定义:设n 维随机向量 v11v1n v12 v22vn2称n 阶方阵V v21v2n 为随机向量X 的协方差矩阵, vn1vnn cov ( X i , Xj ), (i , j 1,2, , n),其中vi j(i 1,2, n), DXi当i j 时, vi i v j i (i, j 1,2, n),且vi jV 是对称矩阵且主对角元是各随量的方

16、差.特别当n 2时, 二维随机向量( X ,Y )的协方差矩阵为:.29V v11v12 DXcov( X ,Y ) v21v22 cov(Y , X )DY2 , Xn ),定义: 设n 维随机向量X Xij i j(i, j 1,2, n)都存在, 11121n2n 为随机向量 X 的相关矩阵,称n 阶方阵R 2122 n1n 2nn 当i j 时, i i 1 (i 1,2, n), j i (i, j 1,2, n),且i j R 是对称矩阵且主对角元都是1.特别当n 2时,二维随机向量( X ,Y )的相关矩阵为:.30 1112 1 XYR 1 2122 YX协差矩阵和相关矩阵可相

17、互转换:当n = 2时, cX ,Y )ov(XYDXDY即v1212v11v22例题与讲解例6: 设EX ,DX 2( 0), 且Y 3 4 X ,求( X ,Y )的协方差矩阵和相关矩阵.DX 2 ,DY D(3 4 X ) 16DX 16 2 ,解: XY 1,Y 3 4X ,cov( X ,Y ) cov(Y , X ) XYDXDY 4 2 , (1) 4 4 2 2cov( X ,Y )DX从而协差矩阵V = 216 2 4cov( X ,Y )DY XY1 1相关矩阵R = 11 1 .1YX31例题与讲解例7: 已知 ( X ,Y )的联合分布如表, 求( X ,Y ) 的相关

18、矩阵.EX (1) 0.6 1 0.4 0.2,解: (1)2 0.6 12 0.4 1,EX 2 0.96, DX EX 2 (EX )2EY (2) 0.4 0 0.3 1 0.3 0.5,EY 2 (2)2 0.4 02 0.3 12 0.3 1.9, DY EY 2 (EY )2 1.65,E( XY ) (1)(2) 0.3 (1) 1 0.18 1(2) 0.1 11 0.12 0.34, 0.34 ( 0.2)( 0.5) 2 ,E( XY ) EX EYXY0.961.65110DXDY212110110 XY1( X ,Y )的相关矩阵R 1 . YX132XY-201pi

19、.-10.30.120.180.610.10.180.120.4p. j0.40.30.3例题与讲解 122x y 1其他例8: 设( X ,Y ) f ( x, y) ,求( X ,Y )的相关矩阵. 0,y1 x2y x 1 dxdy解:EX x f ( x, y) dxdy D:x y 1221 x1O2 111 x21 x 211 0 ,dxxdy1y 1 x 2( X ,Y )ovE( XY ) EX EY E( XY )cxy f ( x, y) dxdy xy 1 dxdyDxy 1 dy 1 x 21 x2111dx 10 dx 0 , XY 0,(由前知X与Y 不独立) 10

20、 XY1从而( X ,Y ) 的相关矩阵为R 1 0 .1 YX33例题与讲解例9: 已知随机向量( X ,Y ) 的协方差矩阵V 12 , 25 1的协方差矩阵与相关矩阵.求随机解: D( X 2Y ) DX 4DY 4 cov( X ,Y ) 1 4 5 4 2 29,D(2 X Y ) 4DX DY 4 cov( X ,Y ) 4 1 5 4 2 1,cov( X 2Y , 2 X Y ) 2 cov(,Y ) 4cov(Y , X ) 2cov(Y ,Y ) 2DX 2DY 3cov(X ,Y ) 2 1 2 5 3 2 2,cov( X 2Y ,2 X Y ) 22 ,X 2Y ,2

21、 X YD (X 2Y )D(2 X Y )29291 2 ,( X 2Y , 2 X Y )的协方差矩阵V = 29 21 2 1 229相关矩阵R = 29 .134向量( X 2Y , 2 X Y )二维正态分布定义: 若二维随机向量( X ,Y )的联合概率密度为 x 1 22 x 1 y 2 y 21 2 1 1 1 2 22 (1 2 )f ( x, y) e2 1 21 2也可记为exp ( x, y) R2其中1 , 2 , 1 , 2 , 均为常数, 1 0, 2 0, | | 1 ,称( X ,Y )服从参数为1 , 2 , 2 , 2 , 的二维正态分布,12记为( X ,Y ) N (1 , 2 , 2 , 2 , ) ,12z可以证明:f ( x, y) 0 , ( x, y) R2f ( x, y) dxdy 1.Oxy35定理: 设( X ,Y ) N (1