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文档简介

1、对应齐次方程通解结构常见类型有 难点：如何求特解？方法：待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程 和定理3第1页，共26页。设非齐方程特解为代入原方程一、 型代入原方程(2)整理得：猜想第2页，共26页。特解特解第3页，共26页。综上讨论第4页，共26页。例1求微分方程的一个特解.解：所对应的齐次方程为其特征方程为特征根为由于不是特征方程的根，第5页，共26页。设特解为代入方程得比较系数得原方程特解为一次多项式第6页，共26页。二次多项式例2 . 求微分方程的通解.对应齐次方程的通解为=0 是特征方程的单根，非齐次方程的特解为第7页，共26页。方程的通解为：代入方程得方程的特解为：第8页，共26页

2、。解：特征方程对应齐次方程通解特征根例3第9页，共26页。代入方程, 得原方程通解为原方程的特解为第10页，共26页。方程（2）的特解为：（证略）二、 型第11页，共26页。例4 .求方程 y+y=xcos2x 的通解.解: 特征方程为 r2+1=0,其根为r1,2= i, 对应齐次线性方程的通解为y = C1cosx + C2sinx.因 i=2i 不是特征方程的根, k=0，=0;y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy* = (4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2xm=max0,1=1, 故方程的特解设为：第12页，共26页。代入原方程，整理得比较两

3、端同类项的系数，得解之得：求得一个特解为方程的通解为第13页，共26页。例5. 设连续函数 f (x) 满足方程上式整理得：解：将方程写为两边对 x 求导得：再求导得：第14页，共26页。设 y = f (x), 问题可转化为求解初值问题：特征方程 r2+1=0 的根为 r1,2=i，对应齐次线性方程通解为第15页，共26页。而 i = i 是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).设非齐次方程特解为于是第16页，共26页。故原方程的通解为将初始条件代入上式，得 从而即，所求函数为：第17页，共26页。(待定系数法)三、小 结第18页，共26页。P348 习题 7-8:6第19页，共26页。 P347 习题 7-8 1. (8)；2.(3). 布 置 作 业第20页，共26页。P304-习题7-27.小船从河边0出发驶向对岸.解：设小船的航行路线C：0 xvyh水流第21页，共26页。第22页，共26页。P315-习题7-41.求下列微分方程的通解：P311公式（5）第23页，共

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