分离变量法-数学物理定解问题课件

1、第二章 分离变量法第1页，共87页。2.0 预备知识常微分方程第2页，共87页。二阶常系数线性方程的标准形式2.0 预备知识常微分方程第3页，共87页。特征根(1) 有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程特征方程2.0 预备知识常微分方程第4页，共87页。(2) 有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3) 有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0 预备知识常微分方程第5页，共87页。2.0 预备知识常微分方程第6页，共87页。二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0 预备知识常微分方程第7页，共87页。2.1 有界弦的自由振

2、动 第8页，共87页。分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解2. 1 有界弦的自由振动第9页，共87页。2.1 有界弦的自由振动 研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：特点: 方程齐次, 边界齐次.第10页，共87页。 (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ; (2) 各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 表示。 驻波的特点： 端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向

3、行进的同频率的波形成驻波。2.1 有界弦的自由振动第11页，共87页。2. 1 有界弦的自由振动 设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得 由 不恒为零，有： 取参数这个式子的左端是x的函数,右端是t的函数，何时恒等？第12页，共87页。 . 利用边界条件2.1 有界弦的自由振动第13页，共87页。则 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1 有界弦的自由振动第14页，共87页。2. 1 有界弦的自由振动由边值条件 (i) 方程通解为 (ii) 时，通解 由边值条件得C1 =C 2=0 从而 ， 无意义. 无意义第15页，共87页。2.1 有界弦

4、的自由振动 由边值条件从而 即(iii） 时，通解 故而得第16页，共87页。2.1 有界弦的自由振动再求解T： 其解为 所以 两端固定弦本的征振动叠加 . 第17页，共87页。2. 1 有界弦的自由振动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得： 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 第18页，共87页。再求解T： 其解为 所以 两端固定弦本的征振动叠加 . 2.1 有界弦的自由振动第19页，共87页。将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得： 2. 1 有界弦的自由振动 定解问题的解是Fourier正弦

5、级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 第20页，共87页。（特征值问题）齐次边界条件（特征函数） 分离变量法图解 2.1 有界弦的自由振动第21页，共87页。则无穷级数解为如下混合问题的解上， ，且 定理：若在区间2.1 有界弦的自由振动第22页，共87页。弦上各点的频率 和初位相 都相同，因而没有波形的传播现象。 弦上各点振幅 因点而异 在 处，振幅永远为0 二、解的物理意义 节点腹点特点最大振幅频率初位相在 处，振幅最大,为 nNu(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n1的驻波称为基波, n1的驻波叫做n次谐波. 2.1 有界弦的自

6、由振动第23页，共87页。例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关 .解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题2.1 有界弦的自由振动第24页，共87页。因此，所求的解为： = 2.1 有界弦的自由振动第25页，共87页。解：令 , 得 化简: 例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件引入参数 得 2.1 有界弦的自由振动第26页，共87页。2.1 有界弦的自由振动得C1 =C 2=0 从而 ，无意义 分离变量： 时， 由边值条件第27页，共87页。(ii) 时, , (iii) 时, 则 而 由边值

7、条件由边值条件从而2.1 有界弦的自由振动第28页，共87页。本征值 本征函数 2.1 有界弦的自由振动T 的方程其解为 第29页，共87页。所以 故代入初始条件: 将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件决定.2.1 有界弦的自由振动第30页，共87页。2. 2 有限长杆的热传导问题第31页，共87页。例1细杆的热传导问题 长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 2.2 有限长杆的热传导问题第32页，共

8、87页。得本征问题 由 及齐次边界条件，有 设 且 并引入参数分离变量代入方程2.2 有限长杆的热传导问题第33页，共87页。当 或 时, 当 时, 由 得 由 得 故 即 令有函数方程2.2 有限长杆的热传导问题第34页，共87页。由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为： ry图 12.2 有限长杆的热传导问题第35页，共87页。2.2 有限长杆的热传导问题对应的本征函数 的方程： 解为故 由初始条件得可以证明函数系 在 上正交，在（*）式两端乘以 并在 0, l 上积分, 得 且模值第36页，共87页。（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程，

9、 得到 （四）将 叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离变量法解题步骤（边界条件齐次）2.2 有限长杆的热传导问题第37页，共87页。分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注2.2 有限长杆的热传导问题第38页，共87页。左端点右端点特征值特征函数取值范围 一 一一 二 二 二二一课堂练习总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系2.2 有限长杆的热传导问题第39页，共87页。练习： 求下列定解问题的解 其中2.2 有限长杆的热传导问题第40页，共87页。2.3 二维拉普拉斯方程的边

10、值问题第41页，共87页。2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题例1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布。 定解问题为： 解第42页，共87页。再利用 x = 0 和 x = a 处的齐次边界条件得 设 且 代入方程故 本征问题当 时， ， 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第43页，共87页。2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题当 时， 将 代入 有解： 考虑边界条件（y方向上），有 解得比较系数第44页，共87页。所以解为 作为例子取 ， ，可求得 于是 2.3 二维拉普拉

11、斯方程的边值问题第45页，共87页。考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题, 设板的上下两面绝热, 圆周边界上的温度已知为 求稳恒状态下的温度分布规律。2. 圆域上的拉普拉斯方程的边值问题2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第46页，共87页。采用平面极坐标。令2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第47页，共87页。 分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由 可知，又圆内各点的温度有界，因而 所以应满足条件 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第48页，共87页。（二）利用条件,确定特征值问题并求解 得到两个常微分方程的定解问题 (1)(

12、2)2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题先求哪一个？先求(1)啊!可以确定特征值啊!为什么？第49页，共87页。1) 时，无非零解；特征值特征函数2) 时， 有非零解3) 时 ，通解以 为周期, 必须是整数 , 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第50页，共87页。（三）将特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 满足有界性条件的通解 将代入方程2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第51页，共87页。满足周期性条件 和有界性条件的特解为 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第52页，共87页。（四）将 叠加, 利用边界条件确定系数满足周期性和有界性条件的通解为: 利用边界条件，得由此可以确定系数

13、2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第53页，共87页。注: 经过化简, 方程的解可以表示为 称为圆域内的泊松公式. 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题第54页，共87页。2.4 非齐次方程的解法 第55页，共87页。2.4 非齐次方程的解法(I) 非齐次振动方程定解问题特征函数法第56页，共87页。令其中 (1) (2)2.4 非齐次方程的解法第57页，共87页。令 为待定函数.并将 按特征函数系展为级数 其中 (3) (4) (1)2.4 非齐次方程的解法第58页，共87页。将(3),(4) 代入 (1) 得两端比较将(3)代入初始条件2.4 非齐次方程的解法第59页，共87页。常数变易法所

14、以2.4 非齐次方程的解法第60页，共87页。例在环形区域 内求解下列定解问题解考虑极坐标变换:2.4 非齐次方程的解法第61页，共87页。定解问题可以转化为: 相应的齐次问题的特征函数系为:2.4 非齐次方程的解法第62页，共87页。于是可以设原问题的解为: 代入方程，整理得 2.4 非齐次方程的解法第63页，共87页。比较两端 和 的系数可得 2.4 非齐次方程的解法第64页，共87页。由边界条件，得 所以 2.4 非齐次方程的解法第65页，共87页。由边界条件，可知 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为2.4 非齐次方程的解法第66页，共87页。下面求 . 方程的通解为 由端点的条件

15、， 得 原问题的解为2.4 非齐次方程的解法第67页，共87页。2.5 非齐次边界条件的处理 第68页，共87页。2.5 非齐次边界条件的处理 处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取一个辅助函数 , 通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界条件为齐次的. 第69页，共87页。例1振动问题 （I） 解：取 故要求满足(I)的边界条件，即解得思路: 作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次2.5 非齐次边界条件的处理 第70页，共87页。代入(I),得 的定解问题(II) 令2.5 非齐次边界条件的处理 第71页，共87页。如果仍取 的线性函数作为 ，则有 此时除非 ，否则

16、这两式互相矛盾。当x0和x=l 满足第二类边界条件注意：应取2.5 非齐次边界条件的处理 第72页，共87页。例 定解问题其中A, B为常数. 解:令2.5 非齐次边界条件的处理 第73页，共87页。代入方程，得 选 满足 它的解为2.5 非齐次边界条件的处理 第74页，共87页。于是 满足的方程为： 2.5 非齐次边界条件的处理 第75页，共87页。利用分离变量法，求解得 其中从而，原定解问题的解为 2.5 非齐次边界条件的处理 第76页，共87页。一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单.二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三. 对于齐次边界条件、

17、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法2.5 非齐次边界条件的处理 第77页，共87页。例 求下列定解问题的解其中 为常数。解 1）边界条件齐次化，令 2.5 非齐次边界条件的处理 第78页，共87页。于是 满足如下定解问题2）将问题分解为两个定解问题。设2.5 非齐次边界条件的处理 第79页，共87页。2.5 非齐次边界条件的处理 第80页，共87页。3）求解问题 (I), (II) 。首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。特征值及相应的特

18、征函数2.5 非齐次边界条件的处理 第81页，共87页。则利用初始条件确定系数计算可得2.5 非齐次边界条件的处理 第82页，共87页。其次，利用特征函数法求解问题 (II) 将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开代入问题（II）的方程及初始条件，得2.5 非齐次边界条件的处理 第83页，共87页。问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得所以2.5 非齐次边界条件的处理 第84页，共87页。4）综合上述结果, 得到原问题的解2.5 非齐次边界条件的处理 第85页，共87页。 对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应