2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第10章第3节二项式定理

1、第三节二项式定理考纲 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项 展开式有关的简单问题.抓基础自主学习|理教材.双基自主测评知识植理.二项式定理二项式定理：(a+b)n=Cnan+&anTb+3+ 0一rbr + CV(n N*)；(2)二项式通项：Tr+i=Can rbr,它表示第r+1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cn(r=0,1,2,n).二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等品巨离的两个二项式系数相等，即 ck=on-k增减性二项式系数cnn+1*当k 2 (nCN )时，是递减的二叱 系数最 大值n当n为偶数时，中间的一项C2取得最大值 nn 1n

2、+1当n为奇数时，中间的两项 C 2与C 2取最大值nn3.各二项式系数和(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和：Cn+Cn+C2+-+ Cn=2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C0+ Cn+ C4+: C1+C3n + C5+-= 2n 2.学情自测.(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“，错误的打x)(1)Cnan-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a, b无关.()假设(3x1)7 = a7x7+a6X6+-+ aix+ ao,那么 a

3、7+ a6+-+ ai 的值为128.()解析(1)错误.应为第k+1项.(2)错误.当n为偶数时，为中间一项；n为奇数时，为中间的两项.(3)正确.二项式系数只与n和项数有关.(4)错误.令 x=1,可得 a7+a6+ ai+a0 = 27= 128.答案(1)X (2)X ，(4)X2.(教材改编)二项式(x+1)n(nCN*)的展开式中x2的系数为15,那么n = ()A. 7B. 6C. 5D. 4B (x+1)n= (1+x)n= 1+ Cn+C2x2+ Cnxn.依题意，得 C2=15,解得 n = 6(n= -5 舍去).x _1 n3.在23 的展开式中，只有第x5项的二项式系

4、数最大，那么展开式中常数项是()A.7 B. 7 C.28 D. 28由题意知2+1 = 5,解得n=8,3x的展开式的通项Tk+18 kc8 21=(1)k2k 8c8x8 4k. 3令8豆=0得卜=6,那么展开式中的常数项为(一1)626一8C6=7. 3(2021北京高考)在(1 2x)6的展开式中，x2的系数为.(用数字 作答)60 依二项式定理，含x2的项为展开式的第3项.展开式中T3=C2( 2x)2=60 x2,那么x2的系数为60.(2021济南模拟)(1 + ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,那么a=1 (1 +x)5=1 + c5x + c5x2+c5x3+c4x

5、4 + c5x5(1 + ax)(1 + x)5 的展开式中 x2 的项为(C5+ C1a)x2, 依题意得10+5a=5,解得a=1.明考向题型突破|I考向1I |通项公式及其应用例0 (1)(2021全国卷I)(x2+x+ y)5的展开式中，x5y2的系数为()A. 10B. 20C. 30D. 60(2021山东高考)假设ax2+x5的展开式中x5的系数是一80,那么实数a(1)C (2)-2 (1)法一：(x2 + x+y)5=(x2 + x) + y5,含 y2 的项为 T3= C5(x2+ x)3 y2.其中(x2 + x)3中含x5的项为C1x4 x=c3x5所以x5y2的系数为

6、C5C1=30.应选C.法二：(x2+x+ y)5为5个x2+x+ y之积，其中有两个取y,两个取x2, 一个 取x即可，所以x5y2的系数为C5c2C1= 30应选C.r155(2)Tr+1 = C5 (ax2)5 r & =C5 a5 rx10 5r.令 105r = 5,解得 rx5 的系数为 80,那么有 C5a3= 80,解得 a= 2.规律方法1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完 成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时 要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n, r均为非负整数，且nr,如常 数项指数为零、有理项指数为整数等)

7、；第二步是根据所求的指数，再求所求解 的项.2.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.n变式训练1 (1)(2021东北四校联考)假设x6+x1x的展开式中含有常数项，那么正整数n的最小值等于()A. 3B. 4C. 5D. 6(2)(2021全国卷I )(2x+5)5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)(1)C (2)10 (1)二项展开式的通项Tr+I = cn(x6)n r 市 =cnx6n 号,15r 一 5假设Tr+i是常数项，那么6n -2-=0，即n=4.又n C N*,故n的最小值为5.(2)(勿+6)5 展开式的通项为 Tr+i = C5(

8、2x)5r(，x)r = 25-r C5x5 1， r 一令 52= 3,得 r = 4.故 x3 的系数为 25 4 C5= 2c5= 10.!芍 呵2_1h项式笼数与各婴整团例因(1)(2021武汉调研)(1 +x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么奇数项的二项式系数和为()A. 212B. 211C. 210D. 29【导学号：57962456】(2021 福州质检)假设(1 2x)4 = ao+ a1x+ a2x2 + a3x3+ a4x4,那么 a1 + a2+ a3+ a4 =.(1)D (2)0 (1)：(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， .C3

9、=C7,解得 n=10.从而 C00+ C1o+ C20+ + c1E= 210,奇数项的二项式系数和为C1o+ C20+ - + c10= 29.(2)令 x = 1,得 ao+ a1 + a2 + a3+ a4= (1 2)4 = 1.又令 x= 0,得 a0=(10)4 = 1.因此 a1 + a2+a3 + a4= 0.迁移探究1假设本例(2)中条件不变，问题变为“求 a0+a2 + a4的值，那么结果如何?解 在(1 2x)4= a0 + aix+a2x2+a3x3+a4x4 中，令 x= 1,得 a0 + ai + a2+ a3+a4=1.4 分令 x= 1,得 ao ai + a

10、2 a3 + a4= 3t 8 分由 十 ，可得 a0+a2+a4=2(34+1) = 41. 12分迁移探究2假设将本例(2)变为“假设(12x)2 016=a0+a1x+ a2x2+- +a2 016x2 016(xC R),那么 21+段+ 2器的值为. -1 令x=0,得 a0=(1 0)2 016=1.人 1a1 a2 a2 016令 x= 2, 那么 a0 + 2 + 22+ 22 016= 0,a1 a2a2 0162- + 方+ + 22016= -1.规律方法1.第(1)小题求解的关键在于求n,此题常因把“n的等量关系表 示为C4=cn，错求n=12;第(2)小题主要是“赋值

11、求出a0与各项系数的和.求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或 目标式的值为1, 1.变式训练2 (2021全国卷H)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次事项的 系数之和为32,那么a=.设(a+x)(1 + x)4 = a0+ a1x+ a2x2 + a3x3+a4x4+a5x5令 x= 1,得(a + 1) x 24=ao+ a1 + 02 + a3+ a4 + a5.令 x= - 1,得 0 = a。一 a1 + a2a3+a4a5.，得 16(a+ 1) = 2(a

12、 + a3+a5)=2X32, .a=3.肯巴5-二项式定理的应用A. 0B. 1C. 11D. 12C (2)D (1)x=g=-1 + i,c2 017x+ c2 017X2 + C3 017x3+ , + c2 017x2 017= (1 + x)2 0171 = i2 017 1 = 1+i.(2)512 012+ a= (52 1)2 012+ a =C0 012 522 012-C2 012 522 011+- + C2 012 52 (- 1)2 011 +C2 812 ( 1)2 012+a,vC0 012 522 012-C2 012 522 011+ C2 012 52 (

13、- 1)2 011 能被 13 整除.且512 012+a能被13整除,.C2012 ( 1)2 012+a= 1 + a也能被 13整除.因此a可取值12.规律方法1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图像点的坐标交汇渗 透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数， 表达数形结合和方程思想的应用.2,第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52 1)2 012,使得展开式中的每 一项与除数13建立联系.3.运用二项式定理要注意两点：余数的范围，a=cr+b,其中余数bC0, r), r是除数；二项式定理的逆用.变式训练3设aw0, n是大于1的自然数，1

14、+：的展开式为a0+a1x+ a2X2 + anxn.假设点 Ai(i, a)(i = 0,1,2)的位置如图10-3-1所示，那么 a =图 10-3-13 由题意知 A0(0,1), A1(1,3), A2(2,4).故 ao = 1, ai = 3, a2= 4. TOC o 1-5 h z nr又 1 + x 的通项公式 Tr+i=Cnx （r = 0,1,2,，n）. aa 12故财=3, Cn=4,解得 a = 3. a a名蜥微博。思想与方法1,二项式定理（a+ b）n=C0an+ Cnan1b+ - + Gan rbr+ + Cnbn（n N*）提醒 二项展开式的规律，一定要牢记通项 Tr+1 = cnan-rbr是展开式的第r+1项，不是 第r项.通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等（常用待定系数法）.展开式的应用：（1）可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法.（2） 可证明整除问题（或求余数）.（3）有关组合式的求值证明，常采用构造法.易错与防范.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k+1项.（a+ b）n与（b+a）n虽然一样，但具体到它们展开式的某一项时是不一样的， 所以公式中白第一个量a与第二个