电磁场与电磁波5答案

1、第5章时变电磁场5.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 B = ez5cos s tmT之中，如题6.1图所示。滑片的位置由了 = 0-35(1 - cos s t)m确定，轨 道终端接有电阻R =。史。，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为中=BdS = e Be ad x ab = 5cos st x 0.2(0.7 - x)=cos st0.7 - 0.35(1-cos st) = 0.35cos st(1+cos st) 故感应电流为E.1 d中黄一 Rdt=-0.35s sin st(1+ 2cos st) - 1.75s sin st(1+ 2

2、cos st)mA R5.2 一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场B =七气中与z轴平行。设棒以角 速度们绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为E = v x B = e rsx e B = e rs B 故介质棒内的极化强度为 r 0P = X 8 E = e(8 -1)8 rsB = e(88 )rsB e 0r r 00 r00极化电荷体密度为p =VP = - (rP) = - (- )r2BPr drr dr00= -2(8-8 知B极化电荷面密度为=(8 -8 )aBb = P - n = e (8-8 )r

3、sB - e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为r=aiia题6.3图Q =兀 a 2 x 1xp =-2 兀 a 2(8-8 )s BQ = 2 兀 a x 1xb = 2兀 a 2(8-8 )s B5.3平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。 设a = 0.2m、b = c = d = 0.1m、LOcosQ兀 xSt)A，求 回路中的感应电动势。解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是 垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为E =- i BdS = -g8 dS +8 dsin dfdr L 左右式中故则左 2nr 右 2n(

4、b + c + d - r)dS =B dS =右“，虹讪= Eln(处) b 2k r 2k b5 虹adr = ln() d 2Ti(b + c + d - r)2兀bu ai, ,b + cineln(2n b=-ln(+-) 1 .0cos(2k x1071)Jq2 +加7i b dt4兀 x 10-7 x0.21 c .小 小、c ”=In 2sm(2ti x 107)x271 xlOvV71= 3.484sin(27ixl07)V有一个环形线圈，导线的长度为/,分别通过以直流电源供应电压u和时变电源 供应电压U (t)。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。解 设导线材料的电导率为y

5、,横截面积为s,则导线的电阻为R = yS而环形线圈的电感为L,故电压方程为diU = Ri + L dr四=0当u=u时，电流i也为直流，dr o故U =Ri = JS =-J =IE o yS y此时导线内的切向电场为当U=U (t)时，由 ，故U (0 = Ri0) + L =刖 E(t)S + L (y E(t)S) dtdt=二丫印)S + 0S ysd(QdtdE (t) IE (t) U (t) +=dtl S l S求解此微分方程就可得到E (t)。5.5 一圆柱形电容器，内导体半径为a,外导体内半径为b,长为1。设外加电压为U0Sin山，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它

6、等于电容器的传导电流。解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压 时的电场分布可视为相同(准静态电场)，即E _ e U sin t r r In (b a)故电容器两极板间的位移电流密度为j _ dD _ U cos t ddtrr In (b a)则i =J - dS =2汀1 飒oCOS e e rddzd d 0 0 r In (b a) r rs2双1_U cos t _ CU cos tln(b a)002双1C _式中，ln(b a)是长为1的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为.-dU i _ C- _ CU cos t可见6.6由麦克斯

7、韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程Vx E _ 0 和 V D _p由由D _p得J V Ddi =J pdi11据散度定理，上式即为6 D dS _ qs 利用球对称性，得D J W故得点电荷的电场表示式E _ e r 4双 r 2由于Vx E _ 0，可取E = -V中，则得Vx D _ V E _ VW _ -V卸 _ p即得泊松方程5.7坐标中;解试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中;：3）在球坐标中。（1）在直角坐标中dH在圆柱(2)dH dT = Jx *dH dH _IT F = Jy +dH dHx

8、= J +dEdEdHdyydz=_Ux- dtdEdEdHdzdx=_Uy dtdEdEdHy dxx dy=_U云dBdBdB-=0 x +y+ z:dxdydzdD * dD * dD =dxdydz在圆柱坐标中1 dH _ _（ r d dzdHdD = J FdH dHdD云一云=J+寸1 d 1 dH r d(rH) _r 布=JdD甘1 两 6EdHz = Ur r d dzdtdEdEdHr z = U -dzdrdt1 d ,1 dE (rE ) _-r = _p r dr r ddH云1 (rB ) +1+ 笠=0r dr r r ddz1 (rD ) +14 + 邑=P

9、r dr r r ddz（3）在球坐标系中dB 4 = 062Ey6z 2故得则由Vx E =6H-0 6t TOC o 1-5 h z 16 , E、泌 I 76DE 而（Sln 6 气）一才=Jr +云1 1 6H66Dr 和诙否（叫）=J+6t166H 6Dr 6（rH。）=匕+*1 6 , 八厂、6H（sin。E ）-=_日37r sin。 6。46t11 6E66Hr so前一耳（吃）=或21 66E6H-（rE ） -r-=或一4 r 6r。6。6t1 6161元旬（r2B）+rsin。布（sin。B。）+志。641 616 .八 1 6D（r2D ） + -（sin。D ） +

10、一A = P r 2 6rrr sin。6。r sin。 64E = e 0.1sin10K x cos(伽 x1091 - B z)5.8 已知在空气中y，求H和p。提示：将E代入直角坐标中的波方程，可求得B。解 电场E应满足波动方程 将已知的E = eyEy代入方程，得62E +62E 62E06x 26z 2。0 6t 2式中6 2 Ey = -0.1（15 ）2 sin10兀 x cos（6兀 x1091 - p z）6x 2=0.1sin10兀x-p2cos（6兀 x1091-pz）62E 6y = 0.1 sin10兀x-（6兀 x109）2cos（6兀 x1091-Pz）-（10

11、K ）2 - P 2 + （6兀 x 109）2 = 0 p = 300 = 54.41rad/mdH11dE两云=* E = 一汇1 W + ，奇 00=一一!- -e 0.1。sin10兀 x sin(6兀 x1091 - P z)*0+ e 0.1x 10k cos10兀xcos(6兀 x1091-pz)z将上式对时间t积分，得e 0.1。sin10兀 x cos(6k x 1091 - P z* x 6k X109 x 0+ e k cos10k x sin(6K x1091 - P z)=-e 2.3 x 10-4 sin10k xcos(6k x 1091 - 54.41z)x-e

12、 .1.33 x 10-4 cos10K x sin(6K x1091 - 54.41z)A/m5.9已知自由空间中球面波的电场为EE = % 了 sm。cos伽-kr)求H和k。解 可以和前题一样将E代入波动方程来确定k，也可以直接由麦克斯韦方程求与E 相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场 比较，即可确定k的值。两种方法本质上是一样的。Vx E =dH一* -0 dtdHVx E =-e (rE )* r dro E sin 0 cos(t - kr)r 。 dr 0k=e E sin 0 sin(t - kr)将上式对时间t积分，得0dtkH =

13、 e E sin 0 cos(t - kr)0（1）将式（1）代入Vx H =dE 0 dtdE 1 v=Vx H dt o=e01r 2 sin 0 d0d ,八1 d ,八(r sin0H ) - e 0 亳(r sin0H )e cost- kr) -e 知E0sin0 sin(t - kr) r* r20 * r将上式对时间t积分，得1 E = - e80 1-2kEk2 E sin伽 一 kr) + e a 2 |u, r 20 2 |u, rsin 0 cos伽一kr)(2)将已知的E = e 0与式(2)比较，可得1含r2项的Er分量应略去，且k2 =叩080，即k =将k =%

14、不代入式(2,得H = e、4z E sin 0 cos(t - kr)日r o8 E .eo sin 0 cos(t 一 kr)A日 r=e45.10试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克斯韦方程。 解 注意到非均匀媒质的参数此8是空间坐标的函数，因此Vx H = Vx (B) = VG1) x B + - Vx B旦 旦 旦 TOC o 1-5 h z Vx B + - Vx B 旦2旦dDd (8 E)dEJ + =J + _- = J + 8 dtdtdt因此，麦克斯韦第一方程Vx H = J + 竺dt变为Vx B = |LXJ + |LX8+ V|LX x B

15、dt日V- D = V- (8E) = E -V8+8V- E = p故麦克斯韦第四方程V- D = p变为V- E = P-1V8-E 88则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为dE 1 _Vx B JAJ + |H + Vja x B dt AVxE-主 dtV-B 05.11写出在空气和日=8的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解空气和理想导体分界面的边界条 件为n x E 0n x H Js _ .根据电磁对偶原理，米用以下对偶形式E H, H t-E , J J 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界 条件n x H 0n x E J-ms 式中，Jms为表面磁流密度。5.

16、12提出推导nxHi = J5的详细步骤。解 Ja题6.12图所示，三第2区为理想导体(2= 8)。在分界面上取闭合路径 abcda, ab = Cd = Albc = da = Ah T 0。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得i H - dl = b H - dl + H - dl +Jd H - dl + H - dlabcd（1）就 H -A l H 2 -A l = limj J - dS + D - dS)dD因为dt为有限值，Aht0 s故上式中lim- dS 0Ah t0 dt而（1）式中的另一项Slim j J - dSAhT0 S为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所

17、围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有lim j J - dS = J - NAAh t0sSAZ (N x n)Al故式（1）可表示为(2)(H H2) - (N xn)Al J - NAl应用矢量运算公式A (B x C) = (C x A) B,式(2)变为 nx(H1 H ) N = J N 故得12(3)由于理想导体的电导率率 2=8，故必有E2 =0，H 2 = 0，故式(3)变为n x H = J15.13在由理想导电壁(=8)限定的区域0 x a内存在一个由以下各式表示的电 磁场：a 冗xE = H 呻(一)sin()sin( kz -t)H = H

18、 k(a)sin(一)sin(kz一t)x 0 一 aw* ,一 x、，、H = H cos()cos(kz 一t)xI1ao题6.13图这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度 的值如何？解如题6.13图所示，应用理想导体的边界条件可以得 出在 x=0 处，Ey=，HX = 0H = H cos(kz e t)在 x=a 处，EZH0H = H cos(kz et) 上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向 分量E和磁场的法向分量H。另外卜，在x=0的表面上：电流密度为J = n x HI = e x (e H + e H )1 sx=0 x x x z z x=0=e x

19、e H = e H cos(kze t)在x=a的表面上，电流密度则为x=0yJ = nxHI =e x(e H + e H )I sx=ax x x z z x=a=-e x e H |=-e H cos(kz -e t)5.14海水的电导率=4S/m，在频率f=1GHz时的相对介电常数e* 81。如果把海水视为等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，s = 1,y = 5.7 x 107 S/m r，比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中 的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。解对于海水，H的微分方程为Vx H = J + j

20、ED = y E + jESE = jE(& 一 j )E eS =Sj即把海水视为等效介电常数为c E的电介质。代入给定的参数，得L L c f 10-94Vx E = j2x 109 (81 x一 j)E362x109=j (4.5 - j 4) E = (4 + j 4.5) E对于铜，传导电流的幅度为为E 之比为2兀 f x x10-936 兀=9.75 x 10-13 f位移电流的幅度eE。故位移电流与传导电流的幅度82 f 8 8T= Y5.7 x10 7可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H的微分方程 为Vx H =yE = 5.7x 107E5.

21、15计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬时能流密度矢量为S = E x H = e E x (e H + e H ) = e E H e E Hy y x x z z x y z z y x=e H2 日sin(曾)cos(禁)sin( kz 一 t)cos( kz 一 t) x 0 兀 a a一 一.兀 x、. 一一 e H2呻k(一)2 sin2()sin2(kz t) TOC o 1-5 h z z 0 兀a一 1a /兀 x、/兀 x、=e 万H2日sin()cos()sin 2(kz t)1a x一 eH 2 日 k (一 )2 sin2()1-cos 2( kz

22、一 t)z 2 0 a为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式E = H 岬(a)sin( x)ejkz+j2H = H k(a)sin(x)ejkz+御x 0 ax、, H = H cos()e-攸.故平均能流密度矢量为S = ReExH* = Ree E H一e E H*av 22 x y z z y xa . ， x、， x、产 i=Ree H2 日一 sin()cos()ej 2 x 0 a aa x、1a x、- e H2 岬k()2 sin2()=-e 万 H 岬k()2 sin2 ()5.16写出存在电荷P和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。解 存在外加源P和

23、，时，麦克斯韦方程组为Vx H = J + 8 竺dtVx E = f 竺(1)dt（2）V- H = 0(3)V- E = E(4)对式(1)两边取旋度，得d ，一 fVxVx H =Vx J + e (Vx E)而VxVx H =V(V-H)-V2H故d ，一 V(V- H) = V2H = Vx J + 8 (Vx E)(5)将式（2）和式（3）代入式（5），得a 2 hV2H - 3= -Vx Jat 2这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。同样，对式（2）两边取旋度，得aVxVx E = f （Vx H） ata V(V- E)-V2E = -|! 一(Vx H) at(6)将式（1

24、）和式（4）代入式（6），得a 2 eaJ1 勺V2E 一日8=日+ -Vpat2at e此即E满足的波动方程。对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示Vx H = J + joeEVx E = - jop HV- H = 0V- E = Pe对式（7）两边取旋度，得VxVx H = Vx J + joe Vx E利用矢量恒等式VxVx H =-V（V-H）-V2H得V （V- H ）-V 2 H = Vx J + joe Vx E将式（8）和式（9）代入式（11），得V2H + o2 peH = -Vx J此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。同样，对式（ 8）两边取旋度，得

25、VxVx E = - jopVx H(7)(8)(9)(10)(11)V(V-E)-V2H = - jop Vx H（12）将式（7）和式（10）代入式（12）,得1 -V 2 E + 2 M E =爬叮 + -Vp此即E满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。5.17在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令V，A = ， 试导出A和中所满足的微分方程。解将电磁矢量位A的关系式B = Vx A和电磁标量位中的关系式E =斗一告代入麦克斯韦第一方程dDVx H = J + - dt得利用矢量恒等式得又由得即1湖Vx H = -Vx （Vx A） = J + 8 石a=J +

26、 8 一atVxVx A = V（V A）-V2AV（V A） V2A= -J + -8 （-V中竺） atatV，D = pV，E = V，（-W-竺）=pat 8V2 + （V，A） = -Pat8（1）按库仑规范，令V，A = 0，将其代入式（1）和式（2）得V 2 A *竽= -J + -8V（岑）pV 2中=-二8式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A和中所满足的微分方程。（2）（3）（4）5.18设电场强度和磁场强度分别为E = E cos（t+W ）H = H cos（t +W ）证明其坡印廷矢量的平均值为0c 1 /、S = 2 E X H cos(v -v )解坡印廷矢量的瞬时值为S = E x H = E cos(wt +v ) x H cos(t +v )=2 E x H cos(t +v +t +v ) + coswt +v -t v =2 E x H cos(2t +v +V ) + cos(v W )故平均坡印廷矢量为S = 1 j T Sdt=1 j T-E x H cos(2t +v +V ) + cos(v V )d tT Q 200e me m=2