矢量分析与场论A卷答案

1、:批审矢量分析与场论期末考查A卷试题答案线订装封密出超能不题答 线 封 密 幺- - - - 4廿 5L :题审 泉思廖：题命 ：号学 ：名姓grad u = V u =grad u n 0 =n 0 d n5分一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分）1.通量定义：矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量，即中=肥A - d S 3分S物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 5分2 .矢量的旋度定义：在矢量场A中，围绕Q点做一闭合回路，所围面积为AS，A的旋度是矢量，其 大小为AS0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方b

2、 A - d l TOC o 1-5 h z 向，即rot A = Curl A = V x A = lim -4 n o3 分AS TO ASmax物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。5分3 .标量的梯度定义：标量场u在某点的梯度是一个矢量，其方向为u增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u在该方向上的增加率，即最大增加率。3分物理意义：标量的梯度表示了标量u增加率的最大值及方向。4、保守场Vu沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。3分pi则Vu称为保守场，u称为保守位场。5分二、计算题（每小题10分，共70分）1、数量场u = X23在点M（2,1,-1）

3、处沿哪个方向的方向导数最大？这个最大值是多少？（本小题10分）解.gradU =竺了+竺顶+竺后=_4 7- 4顶+ 12 k dxdydz最大值为4tU。2、求矢量场其=4x7- 2xy 7 + z2 7在点M(1,1,3)处的散度。(本小题10分)解：7 6P 8Q 6Rdiv A =+ + =4 - 2 y + 2zdx dy dz div A = 4 - 2 1 + 2 3 = 8.M3、求矢量场A = -y7 + x7+ c7沿曲线：x2 + y2 = R2,z = 0的环量。(本小题10分) 解：= j- ydx + xdy + cdz = j- ydx + xdy = jj1-

4、(-1)dxdy = 2j dxdy = 2兀 R 2llDD方法2：令x = Rcos0，则圆周x2 + y2 = R2,z = 0的方程成为x = R cos 0, y = R sin 0, z = 0，于是环量r = f A dl = J- ydx + xdy + Cdz = J2(R2 sin20 + R2 cos0)d0 = 2冗R2.0114、求矢量场A = x3 7 + y3 7+ z3 7从内穿出闭曲面S : x2 + y2 + z2 = a2的通量。(本小题10分)解：=JJ A - dS = JJJ div AdV = JJJ 3( x 2 + y 2 + z 2)dV其中

5、Q 为 S 所围之球域x 2 + y 2 + z 2 a 2今用极坐标x=r sin0 cos, y = r sin0 sin,z=r co必计 算=3fJJr 2 - r 2sin0dro o5、求矢量场A = yz2 了 + zx2了 + xy2 k的散度和旋度。（本小题10分）解：0z22 yz2 xz0 x2y22 xy0D A =div A = 0 + 0 + 0 = 0 rot A = (2xy - x2) 了 + (2yz - y 2) + (2心-z2) k6、已知平面调和场的力函数u = x2 - y2 + xy，求场的势函数v及场矢量。（本小题15分)解：U = 2 x +

6、 y,U =-2 y + x. V = U = 2 x + y,两边对y求不定积分得:1V = J (2x + y)dy = 2xy + -y2 + 中(x).两边对尤求导得：V = 2 y +V(x),而 V = -U = -(-2 y + x) = 2 y - x,.中(x) = - x,中(x) = - 2 x 2 + CV = 2xy + 1(y2 - x2) + C.2场矢量 A = P 了 + Q k, P = U=-2 y + x,Q = -U = -(2 x + y),.A = (x - 2 y) 了 - (2 x + y) 了.7、证明矢量场A = （2x + y） i + （4y + x + 2z） j + （2y 6z） k为调和场，并求其调和函 数。（本小题15分）2 10证明：（1）由于DA = 1 420 2 - 6.div A = 2 + 4 - 6 = 0, rot A = (2 - 2): + (0 - 0) + (1 -1)k = G.所以矢量场A为调和场.(2)调和函数为：u (x, y, z) = J * 2 xdx + f，(4 y + x)d