人教版数学九下06《相似三角形的性质及应用》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）

1、PAGE 相似三角形的性质及应用-知识讲解（基础） 【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清ID号： 394500关联的位置名称（播放点名称）：相似形的性质】1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似

2、三角形周长的比等于相似比 ，则由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清ID号：394500关联的位置名称（播放点名称）：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC

3、、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.（2015上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE（1）

4、求证：DEBE；（2）如果OECD，求证：BDCE=CDDE【答案与解析】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，BO=BD，OE=OB，OE=BD，BED=90，DEBE；（2）OECDCEO+DCE=CDE+DCE=90，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键举一反三【变式】（2015铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为（）A3：4B9：16

5、C9：1D3：1【答案】B提示：四边形ABCD为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=1=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16 故选：B2. （2016本溪）如图，ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且ACD=ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当DCE和ABC相似时，线段CE的长为 【思路点拨】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决【答案】3或【解析】解：DCEABC，ACD=ABC，AC=6，AB=4，CD=2，A=DCE，或即或解得，CE=3或CE=故答案为：3或【总结升华】本题考

6、查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200和1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2. ABCA1B1C1A2B2C2且，.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、

7、D在同一条直线上那么A、B之间的距离是多少？ ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCAOBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m 即河宽为85m【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比 相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m(1)图中ABC与ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际

8、应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)ABCADE BCAE，DEAE，ACB=AED=90 A=A，ABCADE (2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， DE=16m 即古塔的高度为16m。【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQAC,根

9、据物理学原理知BPQ=QPD,则APB=CPD，BAP=DCP=90， ABPCDP,即,DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.相似三角形的性质及应用-巩固练习（基础） 【巩固练习】一、选择题1（2015酒泉）如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DEAC，若SBDE：SCDE=1：3，则SDOE：SAOC的值为（）ABCD2. （2016临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A1：16B1：4C1：6D1：23某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为94，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）A24米 B54米 C24米或54米

10、 D36米或54米4. 图为ABC与DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB/ DE.若ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )A3 B7 C12 D155如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A6米 B8米 C18米 D24米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍. A.2 B.4 C.2 D.64

11、 二、填空题7. （2016徐州）如图，ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则ADE与ABC的面积比为 8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为_.9（2015吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m10. 梯形ABCD中，ADBC,AC，BD交于点,若=4， =9，=_.11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则_.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的_倍.三

12、、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？ 14.（2015蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）15. 在正方形中，是上一动点，(

13、与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.(1)找出与相似的三角形.(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？ 【答案与解析】一选择题1【答案】D【解析】SBDE：SCDE=1：3，BE：EC=1：3；BE：BC=1：4；DEAC，DOEAOC，=，SDOE：SAOC=，故选D2.【答案】D【解析】两个相似三角形的面积比是1：4，两个相似三角形的相似比是1：2，两个相似三角形的周长比是1：2. 3【答案】C.4【答案】B.5【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以ABPCDP6【答案】C【解析】提示：面积比等于相似比的平方二填空题7.【答案】1：4【解析】D、E

14、分别为AB、AC的中点，DE=BC，DEBC，ADEABC，=（）2=. 8【答案】45cm2.9【答案】1210【答案】25.【解析】 ADBC， AODCOB， ， AO:CO2:3，又， ，又 ， 11.【答案】4:10:25【解析】 平行四边形ABCD，DEFBAF,DE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，DEF与BEF是同高的三角形，12【答案】.三.综合题13【解析】作CEDA交AB于E，设树高是xm， 长为1m的竹竿影长0.9m 即 x4.2m14【解析】解：如图，根据反射定律知：FEB=FED，BEA=DECBAE=DCE=90BAEDCE；CE=2.5米，DC=1.6米，； AB=12.8答：大楼AB的高为12.8米15【解析】(1)与BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况： PDEBC