3.2立体几何中的向量方法(三)课件

1、第三章 空间向量与立体几何3.2 立体几何中的向量方法（三）第1页，共22页。一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）第2页，共22页。向量的有关知识：两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b两向量夹角公式：cos a,b =直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量第3页

2、，共22页。练习 如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长. BACD第4页，共22页。 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3第5页，共22页。所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为第6页，共22页。 例1

3、：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析： 可算出 AB 的长。第7页，共22页。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCD第8页，共22页。 （3）如果

4、已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CFAB 于 F。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。第9页，共22页。空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线 所成的角为 , 则第10页，共22页。例2第11页，共22页。解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以：所以 与 所成角的余弦值为第12页，共22页。练习：在长方体 中，第13

5、页，共22页。二面角的平面角方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为其中AB DCLBA第14页，共22页。注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，则二面角 的大小 若二面角 的大小为 , 则法向量法二面角的平面角第15页，共22页。例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。CADBC1B1A1第16页，共22页。 解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为

6、a，侧棱长为b,则 C(0,0,0)故则可设 =1， ，则B(0,1,0) yxzCADBC1B1A1FE作 于E, 于F，则 即为二面角 的大小在 中， 即E分有向线段 的比为第17页，共22页。由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos = 即二面角 的余弦值为 yxzCADBC1B1A1FE第18页，共22页。解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0)可取 (1,0,0)为面 的法向量 yxzCADBC1B1A1由 得解得 所以，可取 二面角 的大小等于 cos = 即二面角 的余弦值为 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第19页，共22页。ABn2. 线面角设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成