24.1.2垂直于弦的直径-2课件

1、24.1.2 垂直于弦的直径第1页，共35页。问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题情境第2页，共35页。 实践探究用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什么结论?可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴活动一第3页，共35页。如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴

2、对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴（2） 线段： AE=BE弧：，活 动 二第4页，共35页。CAEBO.D想一想：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。CD为O的直径CDAB 条件结论AE=BEAC=BCAD=BD第5页，共35页。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧OABCDECDAB,由 CD是直径 AE=BEAC=BC,AD=BD.可推得推论：第6页，共35页。EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDABOBAED在下

3、列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.O第7页，共35页。课堂讨论根据已知条件进行推导：过圆心垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。第8页，共35页。 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。注意要点 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧第9页，共35页。1.已知AB=10c

4、m,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( )A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个C2.下列说法中正确的个数是（ ）.直径是弦 .半圆是弧 .平分弦的直径垂直于弦 .圆是轴对称图形，对称轴是直径A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B 练习 1第10页，共35页。D3.下列命题中正确的是( )A.弦的垂线平分弦所对的弧;B.平分弦的直径垂直于这条弦;C.过弦的中点的直线必过圆心;D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心;第11页，共35页。解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在RtOAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R7.2）2赵

5、州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高第12页，共35页。 8cm1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。4.在直径为20cm的O中，AOB是60那么AB的弦心距是（ ） 练习

6、 2ABOEABOEOABE第13页，共35页。5.已知P为内一点，且OP2cm，如果的半径是，则过P点的最长的弦等于.最短的弦等于_。ooOAPBNM第14页，共35页。6如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：四边形ADOE为矩形，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形.第15页，共35页。5。弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为. 第16页，共35页。例.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截面上有油部分油面高CD= 半径、

7、弦长、弓形的高、圆心到弦的距离知二求二8cmODCBA第17页，共35页。例：为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm 。若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为_ dm。若水深1dm，则水管截面半径为_dm.28.5弓形问题中：半径、弦长、弦心距、弓形高“知二求二”第18页，共35页。7。某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为.2m ，过O作OCAB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO.第19页，共35页。E小结: 解决有关

8、弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO第20页，共35页。推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。MOABNCD第21页，共35页。练习一1。如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为_.最大值为_. 35第22页，共35页。2。已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。试说明：ACBD。证明：过O作OEAB，垂足为E，则 AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，ACBDE.ACDBO第23页，共35页。 3。已知O的直径是50 c

9、m，O的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦AB与CD之间的距离。 .AEBOCD20152525247.AEBOCDFEF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm练习二第24页，共35页。4。在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. BAO600 650DCED 600CD第25页，共35页。练习三5。如图，在圆O中，已知AC=BD，试说明：（1）OC=OD （2）AE= BF第26页，共35页。 6。已知P为内一点，且OP2cm，如果的半径是，那么过P点的最短的弦等于.练习四第27页，共35页。如图，BC为O直径，A

10、DBC于D，点A为弧BF的中点，BF交AD于E，求证：AE=BE例8.已知ABC内接于O，ADBC于D，点E为弧BC的中点，求证：EAD=EAO练习五第28页，共35页。例6.如图，D、E分别为弧AB、弧AC的中点，DE分别交AB、AC于点M、N，求证(1)AM=AN(2)若DM=NE，求证：OADE练习五第29页，共35页。第30页，共35页。第31页，共35页。爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现

11、在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄

12、完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”第32页，共35页。第33页，共35页。第34页，共35页。爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。

13、精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你