2021年高考北师版(理科)数学一轮复习：热点探究训练1导数应用中的高考热点问题

1、热点探究训练(一)导数应用中的高考热点 问题(2021 全国卷 II 节选)函数 f(x)=exex 2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设 g(x)=f(2x) 4bf(x),当 x0 时，g(x)0,求 b 的最大值.解(1)fx)=ex+e-x-20,等号仅当 x=0 时成立. TOC o 1-5 h z 所以f(x)在(8, +OO)递增.3分(2)g(x) = f(2x) 4bf(x)=e2x-e-2x- 4b(ex- e-x)+(8b-4)x,g xl= 2e2x+ e- 2x-2b(ex+ e-x)+ (4b- 2)=2(ex+ e-x- 2)(ex+ e-x- 2b + 2

2、).5 分当b02时，gx)0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(一oo, +oo) 递增.而g(0) = 0,所以对任意x0, g(x)0.8分当 b2 时，假设 x满足 2ex+ e-x2b- 2,即 0 xln(b-1+b2-2b)时， gx)0.而 g(0) = 0,因此当 0 xln(b1+lb22b)时，g(x)2 时，在区间0, 十)上，fx)0,所以f(x)是0, + 8)上的增函数，所以方程仅)=卜在0, + 8)上不可能有两个不相等的实数根.8分当一(a+2)0,即aa时，有 f(x户e a(-a)-a,又 f(0)= a.所以要使方程仅)=卜在0, +8)上有两个不相

3、等的实数根，那么 k的取值a+ 4范围是 a , 2, a .12分ca十(2021 全国卷 I )函数 f(x) = (x 2)ex+ a(x 1)2讨论f(x)的单调性；(2)假设f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)fx)=(x 1)ex + 2a(x- 1) = (x 1)(ex+ 2a).1 分(i )设20,那么当 xC(8, 1)时，fx)0.所以f(x)在(oo, 1)上递减，在(1, +OO)上递增.3分(ii)设 a e,那么ln(-2a)0;当 xC (ln(-2a), 1)时，fx)0.所以 f(x)在(oo, in(-2a), (1, +8)上递增，在(in(

4、2a), 1)上递减.5分e假设a1,故当 xC (8, 1)U (ln(-2a), +oo)时，f，x)0;当 xC (1, ln(2a)时，fx)0,那么由(1)知，f(x)在(一8, 1)上递减，在(1, +oo)上递增.又aaof(1)= e, f(2) = a,取 b 潴足 b0 且 b2(b 2)+a(b1)2=a b2 2b 0,所以f(x)有两个零点.9分(五)设2= 0,那么f(x)=(x 2)ex,所以f(x)只有一个零点.e(m)设a0,假设a一,那么由(1)知，f(x)在(1, +00)上递增.又当x 1 e时f(x)0,故f(x)不存在两个零点；假设a ，那么由知，f

5、(x)在(1, In( 2a)上递减，在(ln( 2a), +oo)上递增.又当x 1时，f(x)0,故f(x)不存在两 个零点.综上，a的取值范围为(0, +oo).12分x e(2021郑州二次质量预测)函数f(x) =；. x m讨论函数y=f(x)在xC(m, +oo)上的单调性；,、1(2)假设mC 0, 2，那么当xCm, m+1时，函数y= f(x)的图像是否总在 函数g(x) = x2 + x图像上方？请写出判断过程.【导学号:57962130】ex x m ex ex x m 1 TOC o 1-5 h z 解(1)fx)=-=-,2 分x mx m当 xC (m, m+1)

6、时，fx)0,所以函数f(x)在(m, m+1)上递减，在(m+1, +00)上递增.4分(2)由(1)知f(x)在(m, m+1)上递减,所以其最小值为f(m+1) = em+1.5分1因为 mC 0, 2 , g(x)在 xC m, m+1取大值为(m+1了+m+1.所以下面判断f(m+1)与(m+1)2+m+1的大小，即判断ex与(1+x)x的大小，一，3其中 x=m+1 1, 2 .令 m(x) = ex (1 +x)x, m x)=ex2x 1,令 h(x) = mx),那么 hx)=ex 2,3因为 x= m+1 1, 2 ,所以 h xl= e -20, m x)递增.8 分3所以 m (1)e-30,故存在 xo 1, 2 ,使得 m，x0) = ex0 2x0 1 = 0,3 所以m(x)在(1, x0)上递减，在x0, 2上递增，所以 m(x) m(xo) = exoxo xo= 2xo+ 1 xoxo= xo+ xo + 1,32