2.2离散型随机变量及其分布课件

1、 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道X 取每个值的概率.为此我们有以下定义： 如果随机变量的取值是有限个或可数个(即能与自然数的集合一一对应），则称该变量为离散型随机变量。2.2离散型随机变量及其分布律第1页，共29页。1 定义 设X是一个离散型随机变量，它可能取值为 并且取各个值的对应概率为 即 则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又称分布律。分布律也可以通过列表表示： 其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。 X P 第2页，共29页。2且则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布律。分布律的性质 非负性 规范性反过

2、来，假如有一列数 满足第3页，共29页。3 例1 如右图所示，从中任取3个球。取到的白球数X是一个随机变量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为0.1 0.6 0.3其分布律为第4页，共29页。4 例2 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数分布列.解: 显然，X 可能取的值是1,2, ， 于是设 = 第 发命中， ，第5页，共29页。5类似地，有这就是求所需射击发数X的分布列. 对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。称 服从参数为 的几何分布。第6页，共29页

3、。6例3 进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。 解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次第7页，共29页。7(1) 0 1 分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1注 其分布律可写成 常见的离散型随机变量的分布 凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.第8页，共29页。8(2) 二项分布n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发

4、生的次数 , P (A) = p ,若则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作01 分布是 n = 1 的二项分布第9页，共29页。9二项分布的取值情况设.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273由图表可见 , 当 时，分布取得最大值此时的 称为最可能成功次数xP012345678第10页，共29页。10第11页，共29页。11设.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP135

5、79024681020由图表可见 , 当 时，分布取得最大值0.22 第12页，共29页。12第13页，共29页。13二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称 为最可能出现的次数第14页，共29页。14 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值第15页，共29页。15例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001,例4

6、解 (1) k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率.第16页，共29页。16 (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001) 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件.第17页，共29页。17分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例5第18页，共29页。18解第19页，共29页。19图示概率分布第20页，共29页。20(3) Poisson 分布第21页，共29页。21例

7、6 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。解:由题意,第22页，共29页。22在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数；第23页，共29页。23 都可以看作是源源不断出现的随机质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P ( t ) 可见泊松分布的应用是相当广泛的，而且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有着密切的联系。 泊松定理 在二项分布 中，如果是常数），则成立第24页，共29页。24 例7 某种药品的过敏反应率为 ，今有20000人使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率。 解 以 表示20000人中发生过敏反应的人数，则 服从二项分布 ，所求的概率为：第25页，共29页。25如果利用近似公式计算，可以得到： ，且比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。第26页，共29页。26例8 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X , 例7 设各个虫卵是否