新编高等数学3(3)隐函数与参数方程的导数教学课件

1、第三节 隐函数的导数和参数式求导第二章 导数与微分隐函数的导数参数式求导极坐标式求导相关变化率小结 思考题 作业1导数与微分定义1. 隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率称为隐函数(implicit function).的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化.22. 隐函数求导法隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率隐函数求导法则 用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数

2、不易显化或不能显化？如何求导3例1解则得恒等式代入方程,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率将此恒等式两边同时对x求导,得因为y是x的函数, 是x的复合函数,所以求导时要用复合函数求导法,4 虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在 的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,5例2 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.例3 证明星形线上任意一点(星形线与坐标轴

3、交点除外)的切线介于两坐标轴之间的一段为定长.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率6隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线.称这两条曲线是正交的.如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族中的所有与它相交的曲线均正交,称这是正交的两个曲线族或互为正交曲线族在很多物理现象中出现,例如,静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的等温线与热流线正交,等等.7练习证即证.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率两条曲线在该点的现只须证明切线斜率互为负倒数.83. 对数求导法作为隐函数求

4、导法的一个简单应用, 介绍(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 适用于方 法先在方程两边取对数, -对数求导法 然后利用隐函数的求导法求出导数.9例4解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率等式两边取对数得 隐函数10两边对x求导得隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率等式两边取对数得11隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率例5 求的导数.12注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

5、相关变化率13例6解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率14练习求下列函数的导数.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率15二、参数式求导如?隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 称此为由参数方程所确定的函数. 消参数困难或无法消参数如何求导.消去参数16所以,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得17例7 求由所确定的函数的导数.例8 求旋轮线(摆线,速降线) 上斜率为1的切线方程.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率并求18进一步,假设在参数方程中,二阶可导,则隐函数及由参数方程所确定的函

6、数的导数 相关变化率19如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率20练习隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率21三、极坐标式求导1. 极坐标系oPr2. 曲线的极坐标方程如,223. 极坐标式求导设曲线:化为参数式为则23设切线的倾角为则,从而为向径沿逆时针方向转到切线位置的夹角.24例9解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率故法线方程为即参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多

7、次遇到.25为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对t 求导相关变化率求出未知的相关变化率隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率四、相关变化率相关变化率之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)26例13解(1)(2)隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率仰角增加率(3)27练习1. 设由确定了y是x的函数,求2. 求曲线3. 求曲线处的切线与法线方程.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率284. 设5. 设6. 设隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率29隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率五、小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.相关变化率通过函数关系确定两个变化率之间的解法: 三个步骤.关系,从其中一个变化率(已知)求出一个变化率;30思考题 (是非题)隐函数及由参