人教版八年级数学上册12《等边三角形》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）

1、PAGE 等边三角形（提高）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30角的直角三角形的一个主要性质3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】【高清课堂：389303 等边三角形，知识要点】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角

2、形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形要点四、含30的直角三角形含30的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、（2015秋黄冈期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.（1）求证：BCEACD；（2）求证：FHBD.【答案与解析】（1）证明：和都是等边三角形BCAC，CECD，BCAECD60BCA+ACE

3、=ECD+ACE，即BCE=ACD在BCE和ACD中 BCEACD（SAS）（2）由（1）知BCEACD则CBF=CAH，BC=AC又和都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，ACH=180-ACB-HCD=60=BCF，在BCF和ACH中 BCFACH（ASA）CF=CH，又FCH60CHF是等边三角形FHCHCD=60，FHBD【总结升华】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键。举一反三：【变式】（秋利通区校级期末）如图，ABD，ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则BOC= 度【答案】120解：ABD，ACE都是正三角形

4、AD=AB，DAB=EAC=60，AC=AE，DAC=EABDACBAE（SAS）DC=BE，ADC=ABE，AEB=ACD，BOC=CDB+DBE=CDB+DBA+ABE=ADC+CDB+DBA=120【高清课堂：389303 等边三角形：例8】2、如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AEBD，连接CE、DE. 求证：CEDE.【思路点拨】此题如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便证ECDEDC，联想的全等三角形的性质，把原等边ABC扩展成大等边BEF后，易证EBCEFD.【答案与解析】证明：延长BD至F，使DFAB，连接EFABC为等边三角形ABBC, B60

5、AEBD，DFABAEABBDDF即BEBFBEF为等边三角形BEEF, F60在EBC与EFD中EBCEFDECED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法 证明：如图所示，

6、延长AC至M1，使CM1BM，连接DM1 ABC是正三角形， ABCACB60 BDC120，且BDCD， DBCDCB30 ABDACD90 又 BDCD，BMCM1， RtBDMRtCDM1(SAS) DMDM1，BDMCDM1， MDM1MDCCDM1MDCBDMBDC120 又 MDN60 M1DNMDN60 又 DMDM1，DNDN， MDNM1DN(SAS) MNM1NNCM1CCNBM3、（春宜宾校级期末）如图所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北

7、偏西30方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间【答案与解析】解：在A处观测海岛B在北偏东60方向，BAC=30，C点观测海岛B在北偏东30方向，BCD=60，BAC=CBA=30，AC=BCD点观测海岛B在北偏西30方向，BDC=60，BCD=60，CBD=60，BCD为等边三角形，BC=BD，BC=20，BC=AC=CD=20，船以每小时10海里的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处，船从A点到达C点所用的时间为：2010=2（小时），船从C点到达D点所用的时间为：2010=2（小时），船上午11时30分在A处出发，D点观测海岛B在北偏

8、西30方向到达D点的时间为13时30分+2小时=15时30分，答：轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间15时30分【总结升华】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算类型二、含30的直角三角形4、如图所示，A60，CEAB于E，BDAC于D，BD与CE相交于点H，HD1，HE2，试求BD和CE的长【答案与解析】解：BDAC于D，A60，ABD906030，在RtBEH中，HEB90，EBH30BH2EH4同理可得，CH2HD2，BDBHHD415CECHHE22

9、4【总结升华】已知条件中出现60角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题举一反三：【变式】如图所示，在ABC中，ABAC，D是BC边上的点，DEAB，DFAC，垂足分别为点E、F，BAC120 求证：【答案】证明： 在ABC中，ABAC，BAC120， BC DEAB，DFAC， ， 【高清课堂：389303 等边三角形：例2】5、如图所示，在等边ABC中，AECD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q，求证：BP2PQ【思路点拨】(1)从结论入手，从要证

10、BP2PQ联想到要求PBQ30(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP2PQPBQ30，另一方面从已知条件找结论，即由条件ACDBAEBPQ60PBQ30，分析时要注意联想与题目有关的性质定理【答案与解析】证明： ABC为等边三角形， ACBCAB，CBAC60在ACD和BAE中， ACDBAE(SAS) CADABE CADBAPBAC60， ABEBAP60， BPQ60 BQAD， BQP90， PBQ906030， BP2PQ 【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30直角三角形的性质及全等三角

11、形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力.【巩固练习】一.选择题1. （2016春保定期末）如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（）A2 B3 C4 D52如图，B、C、D在一直线上，ABC、ADE是等边三角形，若CE15，CD6，则 AC（ ） A.9 B.8 C.7 D.103. 已知AOB30，点P在AOB的内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则，与O三点构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.视P点的位置而定4. 如图，木工师傅从边长为90的正三角形木板上锯出一正

12、六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A.34 B.32 C.30 D.285. 已知ABC是等边三角形，D是BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DEAB，则的值是（）A. B. C.1 D.6. 如图，A、C、B三点在同一条直线上，DAC和EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CMCN；ACDN其中，正确结论的个数是（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个二.填空题7. 如图，已知ABACBCAD,則BDC_.8如图，在ABC中，12，EDCBAC，AEAF，B60，则图中的线段: AF、BF、AE、CE、AD、BD、DC

13、、DF中与DE的长相等的线段有 条.9. 如图，已知ABC中，ABAC，BAC120，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE2，则BC_.10.（2015春鄄城县期中）如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若ABC为60度，则BE为 ，ABD= 11（2016黄冈校级自主招生）在ABC中，A=45，B=30，AD为ABC的中线，则ADC= 12如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使ADBE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则 三.解答题13.已知ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BMCN，直线BN与AM相交于

14、点Q下面给出了三种情况（如图，），先用量角器分别测量BQM的大小，然后猜测BQM是否为定值并利用其中一图证明你的结论14.（秋滨州期末）如图在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程15. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目. DABCE 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且EDEC,如图.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由. 小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与

15、DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB（填“”,“”或“”）. ABCDEFDABCE 图1图2 （2）一般情况，证明结论 如图2，过点E作EFBC，交AC于点F. （请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明） 证明：【答案与解析】1. 【答案】C； 【解析】解：作PHMN于H，如图，PM=PN，MH=NH=MN=1，在RtPOH中，POH=60，OPH=30，OH=OP=10=5，OM=OHMH=51=4故选C2. 【答案】A； 【解析】证ABDACE，ACBCBDCDCECD1569.3. 【答案】C；【解析】根据对称性，60，且.4. 【答案】C ；【解析】图中小三角形也是正

16、三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为903180，所以正六边形的边长是1806305. 【答案】C；【解析】根据题意：若DEAB，必有BDE30，而EDA60；故ADBC；即BDDC；故的值是16. 【答案】B；【解析】正确. 证ACEDCB（SAS），EMCBNC（ASA）.二.填空题7. 【答案】150； 【解析】设CBD，BCD，由题意ADB60，ADC60，BCD中，6060180,30，所以BDC150.8. 【答案】3； 【解析】由题意可得DEC60，AFDAED，易证BFD为正三角形，故BDBFFDDE.9. 【答案】12； 【

17、解析】连接AD，反复利用30所对直角边等于斜边的一半.10.【答案】2cm，75； 【解析】解：AB=AC，ABC为60度，ABC为等边三角形在ABD和ACD中，ABDACD，BAD=CAD，AE是BC边的中垂线，BE=BC=2cm；AB=AD（已知），ABD=ADB（等边对等角），ABD=（180BAD）=（18030）=7511.【答案】45； 【解析】过C作CEAB于点E，则有AEC=BEC=90，CAB=45，B=30，ACE=CAB=45，BCE=60，AE=CE，AD为三角形的中线，BD=CD=DE=BC，BED=30，CED是等边三角形，DE=CE=AE，CDE=60，ADE=D

18、AE=BED=15，ADC=CDEADE=45故答案为：4512【答案】； 【解析】证CBDACE，BCDCAE，因为ACFBCD60，CAEACFAFG60，所以FAG30，所以.三.解答题13.【解析】解：BQM为定值理由：如图ABC是等边三角形，ABCC60，ABBCBMCNABMBCN（SAS）BAMCBN（全等三角形的对应角相等），BQMBAQABQCBQABQABC60即BQM为定值图中：BQMABNBAMABMBCNBAMCBNBQMABNBAMABNCBNABC60图中：BQMNNAQABMBCN，NM，且NAQCAM，又ACBMCAMNNAQ，且BQMNNAQ，BQMACB6014.【解析】解：（1）ODE是等边三角形，其理由是：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，ODAB，OEAC，OD