高中总复习理科数学配人教A版(老高考旧教材)配套PPT课件8.7　立体几何中的向量方法

1、8.7立体几何中的向量方法-2-知识梳理双基自测234151.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫做直线l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线平面,那么称向量n垂直于平面,记作.此时把叫做平面的法向量.e共线 垂直于 n 向量n -3-知识梳理双基自测234152.线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1l2,那么e1e2 .(2)如果l1l2,那么e1e2.(3)若l1,

2、则e1n1e1n1=0.(4)若l1,则e1n1e1=n1.(5)若,则n1n2n1=kn2.(6)若,则n1n2n1n2=0.e2=e1 a2=a1,b2=b1,c2=c1 e1e2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 a1x1+b1y1+c1z1=0 a1=x1,b1=y1,c1=z1 x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2 x1x2+y1y2+z1z2=0 -4-知识梳理双基自测234153.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角范围:两条异面直线所成的角的取值范围是.向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为,a与b的夹角为,则有cos =.(2)直线

3、与平面所成的角范围:直线和平面所成的角的取值范围是.向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin =或cos =sin .|cos | |cos | -5-知识梳理双基自测23415(3)二面角范围:二面角的取值范围是.向量求法:若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则设n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则图中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的大小;而图中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的大小.0, -6-知识梳理双基自测23415-7-知识梳理双基自测234152-8-知识梳理双基

4、自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ()(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ()(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ()(4)若空间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行. ()(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. () -9-知识梳理双基自测234152.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为 () 答案解析解析关闭 答案解析关闭-10-知识梳理双基自测234153.已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空间直角坐标系中,如图所示,且CA=CC1=2C

5、B,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为() 答案解析解析关闭 答案解析关闭-11-知识梳理双基自测234154.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.-12-知识梳理双基自测23415-13-知识梳理双基自测234155.已知P是二面角-AB-棱上的一点,分别在平面,上引射线PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小为.90 -14-知识梳理双基自测23415-15-考点1考点2考点3例1如图所示,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E

6、,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB平面EFG.思考用向量法证明平行和垂直的常用方法有哪些?-16-考点1考点2考点3证明 平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD是直角三角形,AB,AP,AD两两垂直.以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3解题心得1.用向量法证明平行类问题的常用方法 -19-考点1考点2考点32.用向量法证明垂直类问题的常用方法 -

7、20-考点1考点2考点3对点训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:APBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.-21-考点1考点2考点3证明 (1)如图所示,以点O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).-22-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1

8、=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.思考立体几何开放性问题的求解方法有哪些?-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3-26-考点1考点2考点3解题心得立体几何开放性问题的求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判定关于z0的

9、方程是否有解.-27-考点1考点2考点3对点训练2如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:ACSD.(2)若SD平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.-28-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点3-30-考点1考点2考点3考向一利用空间向量求异面直线所成的角例3如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成

10、角的余弦值.思考如何利用向量法求异面直线所成的角?-31-考点1考点2考点3-32-考点1考点2考点3从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.-33-考点1考点2考点3-34-考点1考点2考点3考向二利用空间向量求直线与平面所成的角例4(2020全国,理20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的

11、中心,若AO平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.思考如何利用向量法求线面角?-35-考点1考点2考点3(1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.-36-考点1考点2考点3-37-考点1考点2考点3-38-考点1考点2考点3考向三利用空间向量求二面角的大小例5(2020全国,理19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=E

12、D1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.思考如何利用向量法求二面角?-39-考点1考点2考点3-40-考点1考点2考点3(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0), -41-考点1考点2考点3考向四利用空间向量求点到平面的距离例6如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2 ,求点A到平面MBC的距离.思考如何利用向量法求点到平面的距离?-42-考点1考点2考点3解：如图,取CD的中点O,连接OB,OM,则OBCD,O

13、MCD.又平面MCD平面BCD,所以MO平面BCD.以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形,设平面MBC的法向量为n=(x,y,z), -43-考点1考点2考点3-44-考点1考点2考点32.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.-45-考点1考点2考点33.利用向量法求二面角的方法:(1)分别在二面角的两个半平面内找

14、到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小;(2)通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或-).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.-46-考点1考点2考点34.利用向量法求点到平面的距离的方法: -47-考点1考点2考点3对点训练3(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2 ,PA=2.求:PCD的面积;异面直线BC与AE所成的角的大小.-48-考点1考点2考点3-49-考点1考点2考点3-50-考点1考点2考点3-51-考点1考点2

15、考点3(2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,BAD=120.求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;求二面角B -A1D -A的正弦值.-52-考点1考点2考点3(2)解:在平面ABCD内,过点A作AEAD,交BC于点E.因为AA1平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.-53-考点1考点2考点3-54-考点1考点2考点3(3)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD平面MAC,PA=PD= ,AB=4.求证:M为PB的中点;求二面角B-PD-A的大小;求直线MC与平面

16、BDP所成角的正弦值.-55-考点1考点2考点3证明:设AC,BD交点为E,连接ME.因为PD平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.解:取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD,所以OPOE.因为ABCD是正方形,所以OEAD.-56-考点1考点2考点3如图,建立空间直角坐标系O-xyz, -57-考点1考点2考点3-58-考点1考点2考点3(4)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,ACB=90,D,E,F分别为AC,AA1,AB的中点.求证:B1C1平面DEF;求EF与AC1所成角的