人教版八年级数学上册14《等边三角形》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案)

1、PAGE 等边三角形（基础） 【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30角的直角三角形的一个主要性质3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】【高清课堂：389303 等边三角形，知识要点】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三

2、角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形要点四、含30的直角三角形含30的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、（秋崇州市期末）如图，已知ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分ACD，CE=BD，求证：ADE为等边三角形【思路点拨】由条件可以容易证明ABDACE，进一步得出AD=AE，BAD=CAE，加上DAE=60，即可证明ADE为等边三角形

3、【答案与解析】证明：ABC为等边三角形，B=ACB=60，AB=AC，即ACD=120，CE平分ACD，1=2=60，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，又BAC=60，DAE=60，ADE为等边三角形【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件举一反三：【变式】等边ABC，P为BC上一点，含30、60的直角三角板60角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转如图，当P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状.【答案】解： PEAB，B60，因此直角三角形PEB中，BEBPBCPC，BPE30，EPF60，FPBC

4、，BC60，BEPC，PEBFPC90，BEPCPF，PEPF，EPF60，EPF是等边三角形2、已知：如图，ABC中，ABAC，ABC60，ADCE，求BPD的度数.【答案与解析】证明：在中，ABAC，ABC60为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形） ACBC，AECB60在和中（SAS）（全等三角形对应角相等）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）DPB60.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.举一反三：【变式】（秋黔西南州期末）ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点

5、，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，AQN等于多少度？【答案】解：证法一ABC为正三角形ABC=C=BAC=60，AB=BC在AMB和BNC中，AMBBNC（SAS），ANB=C+NBC=60+NBC，MAN=BACMAB=60MAB，又NBC=MAB（全等三角形对应角相等），ANB+MAN=120，又ANQ+MAN+AQN=180，AQN=180ANBMAN，AQN=180（ANB+MAN），=180120=60，BOM=AQN=60（全等三角形对应角相等）证法二ABC为正三角形ABC=C=BAC=60，AB=BC在AMB和BNC中AMBBNC（SAS）ANB=C+NBC=60+NBCMA

6、N=BACMAB又NBC=MAB（全等三角形对应角相等）ANB+MAN=120又ANQ+MAN+AQN=180AQN=180ANBMABAQN=180（ANB+MAN）=180120=603、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求AEB的大小；（2）如图，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小【思路点拨】（1）由于OCD和OAB都是等边三角形，可得ODOCOBOA，进而求出BDA与CAD的大小及关系，则可求解AEB（2

7、）旋转后，BOD与AOC仍然保持全等，ACOBDO，AEDACODCOCDBBDO60CDB60CDO120，从而得到AEB的值.【答案与解析】证明：（1）O是AD的中点，AODO又等边AOB和等边CODAODOCOBO，DOCBOCAOB60CAOACOBDODBO30AEBBDO CAO 60（2）BODDOCBOC，AOCAOBBOC BODAOC 在BOD与AOC中， BODAOC（SAS） ACOBDOAEDACODCOCDBBDO60CDB60CDO6060120 AEB180AED60.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问

8、题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知ABC和CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求AFB 的度数.【答案】解：ABC和CDE都是等边三角形，ACBC，CECD，又ACBBCDECDBCD，即ACDBCE，ACDBCE，CADCBE，设AD与BC相交于P点，在ACP和BFP中，有一对对顶角，AFBACB60类型二、含30的直角三角形4、（2016春龙口市期末）如图，E是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若AOB=60 （1）求证：OCD是等边三角形； （2）若EF=5，求线段OE的长.【答案与解析】解：（1）点E是AOB的平分线上一点，ECO

9、B，EDOA，C、D是垂足， DE=CE，在RtODE和RtOCE中， RtODERtOCE（LH）OD=OC，AOB=60，OCD是等边三角形； （2）OCD是等边三角形，OF是角平分线，OEDC，AOB=60，AOE=BOE=30，ODF=60，EDOA，EDF=30，DE=2EF=10，OE=2DE=20.【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。举一反三：【高清课堂：389303 等边三角形：例5】【变式】如图, ABC中, ACB90, ABC60, AB的中垂线交BC的延长线于D，交

10、AC于E, 已知DE2.则 AC的长为_.【答案】3；提示：连接AD，证ABD为等边三角形，则DEAE2，CE1，所以AC3.【巩固练习】一.选择题1 （2016陕西一模）已知：如图，在ABC中，D为BC的中点，ADBC，E为AD上一点，ABC=60，ECD=40，则ABE=（） A10 B15 C20 D252以下叙述中不正确的是( )A等边三角形的每条高线都是角平分线和中线； B有一个内角为60的等腰三角形是等边三角形；C等腰三角形一定是锐角三角形； D在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等3.（秋荔湾区期末

11、）如图，若ABC是等边三角形，AB=6，BD是ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（ ）A7B8C9D104. ABC中三边为、，满足关系式 （）（）（）0，则这个三角形一定为 （ ）A等边三角形B等腰三角形C等腰钝角三角形D等腰直角三角形5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105 B.120 C.135 D.1506. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分ABC交AD 于E，若CDE的面积等于1，则ABC的面积等于（ ）A2 B4 C6 D12二.填空题7. （2016黔南州）如图，在ABC中，C=90，B=30，AB的垂直平分线ED交AB于点E

12、，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 8如图，ABC为等边三角形，DCAB，ADCD于D若ABC的周长为12，则CD _ 9. 下列命题是真命题的是_.有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 三个外角都相等的三角形是等边三角形10.ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则DEF为_三角形. 11如图所示，ABC为等边三角形，AQPQ，PRPS，PRAB于R，PSAC于S，则四个结论正确的是 P在A的平分线上； ASAR；QPAR；BRPQSP. 12.如

13、图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点， 于点若，则_ 三.解答题13. 已知：如图，ABD为等边三角形，ACB为等腰三角形且ACB90，DEAC交AC延长线于E，求证：DECE.14.（秋大英县校级期末）已知：等边ABC和点P，设点P到ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h（1）如图1，若点P在边BC上，证明：h1+h2=h（2）如图2，当点P在ABC内时，猜想h1、h2、h3和h有什么关系？并证明你的结论（3）如图3，当点P在ABC外时，h1、h2、h3和h有什么关系？（不需要证明）15. 如图，直角ACB中，ABC90，BAC30，而ACD和ABE都是

14、等边三角形，AC，DE交于F.求证：FDFE且CF3AF.【答案与解析】选择题1. 【答案】C； 【解析】D为BC的中点，ADBC，EB=EC，AB=AC；EBD=ECD，ABC=ACD又ABC=60，ECD=40，ABE=60400=200.2. 【答案】C；【解析】等腰三角形顶角还可能是直角或钝角.3. 【答案】C；【解析】证明：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，BD是ABC的平分线，AD=CD=AC，DBC=ABC=30，CE=CD，CE=AC=3BE=BC+CE=6+3=9故选C4. 【答案】B；【解析】由题意或或，这个三角形一定是等腰三角形.5. 【答案】B；【解析】等边AB

15、C的两条高线相交于O，OABOBA30，故AOB120.6. 【答案】C；【解析】AE2DE，ABC的面积是CDE面积的6倍.二.填空题7. 【答案】6； 【解析】 DE是AB的垂直平分线，AD=BD，DAE=B=30，ADC=60，CAD=30，AD为BAC的角平分线，C=90，DEAB，DE=CD=3，B=30，BD=2DE=6.8. 【答案】2； 【解析】在直角三角形中，30的直角边等于斜边的一半.9. 【答案】【解析】一般等腰三角形的两个底角的外角都相等；等腰三角形底边上的高就是底边的中线.10.【答案】等边；【解析】利用SAS可以判定EAFFBDDCE，从而可得，EF=FD=DE，即

16、DEF为等边三角形.11.【答案】；12.【答案】2； 【解析】BEBD；CFDC，（BDDC）2.三.解答题13.【解析】证明：连接DC，ABD为等边三角形，DABDBA60又ACB为等腰三角形且ACB90，CABCBA45，BDCADC30CBD15，DCB1803015135又ACBC，DCE45DEACDEC为等腰直角三角形DECE14.【解析】解：（1）如图1，连接AP，则 SABC=SABP+SAPCBCAM=ABPD+ACPF即 BCh=ABh1+ACh2又ABC是等边三角形BC=AB=AC，h=h1+h2（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：如图2，连接AP、BP、CP，则 SABC=SABP+SBPC+SACPBCAM=ABPD+ACPF+BCPE即BCh=ABh1+ACh2+BCh3又ABC是等边三角形，BC=AB=AC