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文档简介

1、一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换将F(z) 作傅里叶展开 f (x) 的傅里叶展开式 牛牛文库文档分享设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在 f (x) 的连续点处)其中定理. 牛牛文库文档分享证明: 令, 则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:( 在 F(z) 的连续点处 )变成是以 2 为周期的周期函数 , 牛牛文库文档分享其中令( 在 f (x) 的 连续点处 )证毕 牛牛文库文档分享说明:其中(在 f (x) 的连续点处)如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f

2、 (x) 的连续点处)其中注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于如果 f (x) 为奇函数, 则有 牛牛文库文档分享二、例题解 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享例2解 牛牛文库文档分享因 f (x) 周期延拓后在 牛牛文库文档分享由上式得 牛牛文库文档分享例3. 把展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 牛牛文库文档分享(2) 将 作偶周期延拓,则有 牛牛文库文档分享 习题课例1解 牛牛文库文档分享根据级数收敛的必要条件，原级数发散 牛牛文库文档分享解根据比较判别法，原级数收敛 牛牛文库文档分享例解即原级数非绝对收敛 牛牛文库文档分享由莱布尼茨定理： 牛牛文库文档分享所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛 牛牛文库文档分享例3 将函数展开成 x 的幂级数.解: 牛牛文库文档分享例4. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为 牛牛文库文档分享法2先求出收敛域则设和函数为 牛牛文库文档分享例5 求下列幂级数的和函数： 牛牛文库文档分享易求出级数的收敛域为 -1,1 牛牛文库文档分享显然 x = 0 时, 和为 0 ; 故即得 牛牛文库文档分享例6 求极限其中解: 令作幂级数设其和为易知其收敛

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