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1、一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 牛牛文库文档分享解法1 牛牛文库文档分享解法2 牛牛文库文档分享二、曲面的面积设曲面 的方程为：如图， AS 牛牛文库文档分享曲面S的面积元素曲面面积公式为： 牛牛文库文档分享设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得 牛牛文库文档分享oxyz1D例2 求旋转抛物面z=x2+y2在平面z=1下面的部分曲面的面积.解:所求面积的曲面的方程为z=x2+y2x2+y21曲面在xoy面上的投影区域D为: 牛牛文库文档分享三、物体的重心设xoy平面上有n个质点,其质量分别由静力学知, 该质点系的
2、重心坐标分别位于为为 对 x 轴的 静力矩 对 y 轴的 静力矩 牛牛文库文档分享 如图，设一平面薄片占有平面区域D，面密度为应用微元法，易知其质量为oxyD在区域D上任取一小区域则有设想这部分质量集中在点于是得薄板 牛牛文库文档分享对坐标轴的静力矩微元为将上述微元在D上积分，得于是，薄板的重心坐标为若薄板均匀， 是常数，则重心坐标为（A为D的面积） 牛牛文库文档分享设物体占有空间域 ,有连续体密度函数则 推广 牛牛文库文档分享则得形心坐标： 牛牛文库文档分享 例3 设半径为1的半圆形薄板上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心。解：建立如图所示的坐标系，其面密度函数为由于薄板形状
3、关于 y 轴对称，故重心必在y轴上，即只需求 即可。oxyD1 牛牛文库文档分享所以重心坐标为所以重心坐标为 牛牛文库文档分享例4解 牛牛文库文档分享质点 A 对于轴 l 的转动惯量 J 惯量可用积分计算. 质点组的转动惯量等于各质点和 A 与转动轴 l 的距离 r 的平方的乘积, 即 四、转动惯量的转动惯量之和, 故连续体的转动等于 A 的质量 m 牛牛文库文档分享设在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元，因此该物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 其体积记为 dV(dV既表示区域又表示体积) ，质量为 把dV看作一质点，该点到 z 轴的距离为 ，为空间物体 V 的密度函数，求 V 对 z 轴的转动惯量. 牛牛文库文档分享类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量一般说来，若 V 中的点 ( x , y , z ) 到转动轴 l 的距离为则转动惯量为 牛牛文库文档分享如果物体 D 是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分.一般说来，若 D 中的点 ( x , y ) 到转动轴 l 的距离为则转动惯量为 牛牛文库文档分享解 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享解: 取球心为原点,
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