无限长圆柱瞬态导热温度场的推导

1、无限长圆柱瞬态导热温度场的推导III张卓 1102610126市政学院建筑环境与设备工程摘要：对于无限长圆柱体，用分析推导无限大平壁在对流换热边界条件下的方法，来求得它 们的温度分布的分析解，以前所讨论的无限大平壁，无限长圆柱体和球体的加热和冷却问题 都属于一维瞬态导热问题。利用这些一维问题的解，可以进一步确定一些二维或三维瞬态导 热问题的温度场，像有限长圆柱体，它可以看成是无限长圆柱体与无限大平壁垂直相交形成。 Abstract : For an infinite long cylinder, with analysis of the Pacific Ocean is infinite wa

2、ll in the convective heat transfer boundary conditions method, to get their temperature distribution analysis solution, discussed before the infinite wall of the Pacific Ocean, an infinite long cylinder and spheres of heating and cooling problem all belong to one dimensional transient heat conductio

3、n problem. Use these a d of the solution of the problem, can determine some of 2-d or 3-d transient heat conduction problem of temperature field, like limited long cylinder, it can be regarded as an infinite long cylinder and infinite Pacific vertical wall intersection formation.关键字：无限长圆柱体 有限长圆柱体瞬态导

4、热Key words： Infinite long cylinder Limited long cylinder Transient thermal引言：利用这些一维问题的解，可以进一步确定一些二维或三维瞬态导热问题的温度场，像 有限长圆柱体，它可以看成是无限长圆柱体与无限大平壁垂直相交形成。我们对无限大平壁 在对流换热的边界条件下温度的变化情况已十分熟悉，本文将以类似的方法对无限长圆柱， 有限长圆柱的瞬态导热进行推导，也可以加深我们队瞬态导热的理解程度，及对毕渥准则， 傅里叶准则的理解。加热或冷却分析解法1无限长圆柱设有一半径为8的无限长圆柱，圆柱的导热系数A和热扩散率a均为已知常数， 初始

5、时圆柱各处与两侧介质温度均匀一致并等于t0,若突然把周围介质温度降 全，并保持不变，使圆柱处于冷却状态。设此过程中圆柱表面与周围介质之间 /的表面传热系数均为h。圆柱的温度分布是中心对称的，分析中把坐标轴x放在 圆柱的中心轴，采用柱坐标推导。如图所示，这是一维稳态导热问题，其导热微分方程式为合 t1 aa ta(r )r a ra rt0, 0r8(1)相应的初始条件为T = 0 , t =t 0 r 8（2）边界条件为a t=0 , T0a rr =,8(3)_ X 6 ta r r = 8=h ( tr = 8-t f ), T0(4)引用新的变量R （ r具）=t （r具）-tf，称为过

6、余温度，这样式（1）（4） 可以改写为a r1-= a ra a r-(ra r ) a r（3-1）a tt = 0, R = R。,。 r 8aR= 0,T0 dr（3-2）（3-3）r=o.a0人ar=hOtr =8,0（3-4）r =8应用分离变量法，假定R（r 具）=X （r ）”）将式（5）带入式（3-1），进过整理得到(5)对式（7）X、a 1 a (r .。. d)dTr drdrX d a ,dXd 2 X、= (+ r ) dT r drdr 21 d1 1 dX d 2 X、=(+)a dTX r dr dr2(6)1 d1 ,dx 1 d 2 X、展 A(7)和 X(

7、drr 7（8）积分 = ex pz（i t ）上式中cl是积分常数。分析式（9）可知，常数若为正值，将随着的增大而（9）急剧增大，当的值很大时，趋于无限大，实际上这是不可能的；常数若为零，将等于常数，这意味着。3具）将不随着时间发生变化，这也是不符合实际的。因此只能是负值，表为日=Y2。于是，式（9）和式（8）可以改写为（10）1 dX 1 d 2 X、 (+) = -e 2X dr r dr 2（11）d 2 XdXr 2+ rdr 2dr+ s 2 Xr 2 =0该方程为零阶贝塞尔方程，其一般解为:X = C 2 J 0（新）+ C 3y （r）其中J 0（r ）和丫 0（r）分别是第一

8、类与第二类的零阶贝赛尔方程R = A1J0（r） e x p-（z8 瓦）+e x p-（z8 瓦）其中，根据零阶贝塞尔函数的性质：0, 丫0（） 函数的值不可能无限增大A2 = 0R(r,T) = A】(次)e x p-s 21)i dRAdr对于边界条件（4）得：等式左边为:=XA1J0(r) e x p(Q 2t )根据被塞尔函数性质有：J o&）=-礼（新）:.X_h = 8 = 人sA(p r) n=1其中J 0(er )和丫 0(er)分别是第一类与第二类的零阶贝赛尔方程即f (r) 是一个贝塞尔级数的和。以rJ 0( Pm )而乘式的两边同时在(0,5 )区域 (00 )区域内对

9、j进行积分，若级数逐项可积则有f rf ( r ) J 0( Pm 5)dr = E An5 rJ 0( Pn 5J 0( Pm 5)0n=10根据贝塞尔函数带全正交的性质：f5 rJ0( Pn 5) J0(Pm 5)dr = 002( p n ) + J12( p n) I(m n)f5 rJ (p r) J (p r)dr = 52 00 n 50 m 52(m = n)-r一 0 - n 5，12(p ) + J 2(p U0 n 1 n则A为I5 rf (r) J (p :)dr2f*rf (r) J (p : )dr(13)A广 f5 rJ 2； ；dr =52 0 0 n 5将(1

10、3)式带入(12)式得aT57)R S)= R E52n=125rf (r) J (p r)drr-5J (p -)exp(-p 22(p ) + J 2(p ) 0 n 5 n2有限长圆柱类似的对长度为21和半径为8的有限长圆柱体，把他看成是半径为8的无线 长圆柱体和厚度为21的无限大平壁垂直相交得到。F =其温度分布可以表述 为：R(r,尤其)=R(r,T) R(尤其)R RRaT、 2)5 2)R(X,T)文 2sin A a cos(P X)exp(邛R P + sin P cos P n 50n=1 nnnR(r ,tR0)=2 切!exp(-Pn=1 nJ (P r/5)J (p )J2(p ) + J 2(pn)0 n 1 n.R(r,x,T) =2工. R0