三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示与性质

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用10是AABC的重心oOA+OB+OC=0.SAAOCSAAOB若0是AABC的重心，则SABOCuuuruuuruuuruuurPG=L（pa+PB+PC）oG为AABC的重心.1S一3Saabc故OA+OB+OC=020是AABC的垂心oOA-OB=OB-OC=OC-OA.若0是AABC（非直角三角形）的垂心，则SABOC:SAAOC:SAAOB=A：B匚hh故tanAOA+tanBOB+tanCOC=03.0是AABC的外心oIOA1=1OB1=1OC|（或OA2=OB2=OC2）若0是AABC的外心则Saboc：Saaoc：S=sinZBOCsinZ

2、AOCsinZAOB=sin2A:sin2B:sin2CAAOB故sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0TOC o 1-5 h zABACBABCCACB40是内心AABC的充要条件是OA-（苟-AT=OB-（茴-茴）=OC-（苛-苟）=0卜F-亠引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB，BGCA的单位向量为e严2，e3，则刚才0是*AABC内心的充要条件可以写成OA（ei+e3）=OB（ei+e2）=OC-（e2+e3）=0，0是AABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC=0。若0是AABC的内心,则S：S：S=a：b：cABOCAAOCAAOB故aOA+bOB+cO

3、C=0或sinAOA+sinBOB+sinCOC=0.uuuruuuruuuruuuruuuruuurruuur-AC-）（2）所在直线过AABC的内心（是ZBAC的角平IACIIABIPC+IBCIPA+ICAIPB=0oP是AABC的内心;uuur向量九（_Ar+分线所在直线）；IABI（一）将平面向量与三角形内心结合考查例10是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+x（-AB+ABAC），九70,+8）则P点的轨迹一定通过AABC的（(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析：因为如是向量AB的单位向量设AB与方向上的单位向量分别为e和e,又原式ab|

4、12OP-OA=AP，则原式可化为AP=九(e+e)，由菱形的基本性质知AP平分ABAC，那么在12AABC中，AP平分ABAC，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2H是ABC所在平面内任一点,HA-HB=HB-HC=HC-HAo点HSABC的垂心.IfeIibfcIIi由HA-HB=HB-HCoHB-（HC-HA）=0oHB-AC=0oHB丄ACf同理HC丄AB,hA丄bC故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3（湖南）P是ABC所在平面上一点,若PAPB=PBPC=PCPA，则P是ABC的（D）A外心B内心C心D垂心解析:由PAPB=PBPC得PAPB-PBPC

5、=0即PB-（PA-PC）=0,即PB-CA=0则PB丄CA,同理PA丄BC,PC丄AB所以P为AABC的垂心.故选D.将平面向与三角形重心结合考查“重心定理”例4G是ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0o点G是ABC的重心.证明作图如右，图中GB+GC=GE连结BE和CE，则CE=GB,BE=GC。BGCE为平行四边形=D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GB+GC=GE代入gA+GB+gC=0，得gA+EG=0=gA=-GE=-2GD，故G是ABC的重心.（反之亦然（证略）例5P是aABC所在平面内任一点G是aABC的重心oPG=1（PA+PB+pC）3证明pg=PA+AG=PB

6、+BG=PC+CG=3PG=（AG+BG+CG）+（PA+PB+PC）-G是ABC的重心GA+GB+GC=0=AG+BG+CG=0，即3PG=PA+PB+PCQd)SJ专Moorr工芙工莹ogyvo柳卜dssnnwHEiiS7&萸詁詆d)eogyvKOR*yH+s+ssgll!ogyvo柳9E(s署4)底说+嗟吃器JHramz6d-sWHH6d畠4o8vttl6KEZIEZIis30o-tot-t。Z&_DII0do+&+d。Ts&umgz-rub怎廉ftBFsE、怯L怯+冷屋IDasnL存曹)能w川zwmvEZIEZImZI怡-Lb-L0怎+怡+怯笙$攫电bss8Emsrleogw0WBWH

7、goaHeogwffiOIKXBeM世a:養【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(X,0)C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有:D(*,0)、E(,牛)、F(冷,牛)由题设可设0(才,y)H(x,y),x+xyuuuruurxG(，牙).AH=(x2,y),F=(tuuurBC=(x-x,y)212uuuuruuurQAH丄BCuuuuruuurAHBC=x(x2x(x-xy=-214y2uuuruuuurQQF丄ACuuuruuuurxxyQFAC=x(-2-才)+y耳-y)=0222223x(x-x)yy=22+

8、232y224-y3)-X1)+y2y4=0324QH=(x-字y-y)=(丁,-31二22432222y2x(x-x)cC1221uuurx+xxy2x-xyQG=(tii,2y)=(2,23233632x-x3x(x-x)y12x=(21,2212)=(66y6321uuuur=3QH即Quh=3Q)g，故Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2226y2N)2y22-x3x(x-x)ai_i212212222y2例10若O、H分别是ABC的外心和垂心求证FhF卜OH=OA+OB+OC证明若SBC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.-AD丄AB,CD丄BC

9、又垂心为H，AH丄BC，CH丄AB，.AHiiCD,CHiiAD,四边形ahcd为平行四边形，-AH=DC=DO+OC，故OH=OA+AH=OA+OB+OC著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11.设O、G、H分别是锐角aABC的外心、重心、垂心.求证OG-10H3证明按重心定理G是SBC的重心。OG=丄莎+O+OC3按垂心定理OH=OA+OB+O

10、C由此可得OG=1oh3一、“重心”的向量风采【命题1】G是ABC所在平面上的一点，若GA+GB+GC=0，则G是ABC的重心如图命题图.uuuruuur2】已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP二OA+X(AB+AC)，九w(0,+s)，则P的轨迹一定通过ABC的重心.uuuruuuruuuruuuruuur【解析】由题意AP=九(AB+AC)，当九w(0,+Q时，由于X(AB+AC)表示BC边上的中线所在线的向，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】P是ABC所在平面上一点，若PA-PB=PB-PC=PC-PA，则P是AB

11、C的垂心.uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【解析】由PA-PB=PB-PC，得PB-(PA-PC)二0，即PB-CA=0，所以PB丄CA同理可证uuuruuuruuuruuurPC丄AB,PA丄BCP是ABC的垂心如图.图【命题4】已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuuruuurOP=OA+九解析】uuurABuurABcosBuuur由题意AP=XuuurACuurACcosC(uurAB-uurABcosBuuuruuuruuuruuurAB-BCuur+ABcosBAC-BCuurACcosC,九e(

12、0,+g)，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.uur、AC+-uurACcosC由于uuurABuurABcosBuurAC+-uurACcosCuuur-BC=0uuuuruuuruuuruur二|BC|-|CB|二0，所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】已知I为AABC所在平面上的一点，且AB二c,AC二b,BC二a若uuruuruuraIA+bIB+cIC二0，则B是ABC的内心aI图图uuruuruuuruuruuruuuruuruuuruuuruuuruuurbAB+cAC=u

13、uruuruuir.uur二uuruurAC-AB+AB-AC=ACI-1AB-(uuruur、ABAC1H_l_11111V*lABllAClJ【解析】TIB=IA+AB,IC=IA+AC，则由题意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,(uuruur、uuuruuurABACABAC与ruuur1H佰-L1口叶.iuuarUABI|AC|JlABIlAClAr=亠a+b+c(uuruur、ABAC1H佰-LIMFABACkl11IJuuuruuurOP=OA+九uuur【解析】由题意得AP=九/uuruur、ABACinhitinnUABlAC丿,当仁(0,+)时，甥表示ABAC的平分线

14、所在直线uuuruuur分别为AB和AC方向上的单位向量，A/与ZBAC平分线共线，即AI平分ABAC同理可证：BI平分ZABC,CI平分ZACB从而I是ABC的内心，如图.【命题6】已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,九w(0,+s)，则动点P的轨迹一定通过ABC的内心.方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，如图.外心”的向量风采iiiiriiiiriiiir【命题7】已知O是ABC所在平面上一点，若OA2=OB2=OC2，则O是ABC的外心.函(7)【星】tOSEREHMOA2HO82HOC2tw一04gN3、SO0DA4BC8、BHB31EHEH垢

15、OB+OCOPH+p2(ERABmrABcosB厂tur_AC+-ulr-cosCgep+8)hs8?.lutumr【星】田4IisscselhllleFP+8)ap2(LUTAB一lur_tur_AC+-lur-一ABcosBcosCUUH3%4i8c3S-sss.3a3STBH39M、BH.1OISA尸ciaBI.t3OBHtt谎ABC3.&、瘦Ihpttfin0(0,*00+203Jylhp耶川ttJBABCs322AABBS3BbBis罟ffis川蛊()c寻取ABW的中点则OaToB2OM,由OTO+TOB+2oC)可得TOC o 1-5 h z3223OP二30M+2MC2，即点P为

16、三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过心，故选B3umuruujuuruuuuuruuuuirumuur2在同一个平面上有aabc及一点O满足关系式：oa2+BC2=ob2+CA2=OC2+uuuuurAB2,则O为AABC的(D)A外心B内心C重心D垂心2.已知SBC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA+PB+PC0，则P为AABC的(C)A外心B内心C重心D垂心3已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：0P0A存(AB+AC)，则P的轨迹一定通过“ABC的(C)A外心B内心C重心D垂心4已知ABC,P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：则P

17、点为三角形的uuruuruuruuuuuruurPAPC+PAPB+PBPC0A外心B内心C重心D垂心5.已知ABC,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a-PA+b-PB+cPC0，则P点为三角形的A外心B内心C重心D垂心6在三角形ABC中，动点P满足：CA2CB2-2ABCP，则P点轨迹一定通过/BC的：(B)A外心B内心C重心D垂心ABACfABAC17已知非零向量AB与AC满足两+两)就=。且两両=2则皿为()A三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等顒廨边三角形D等边三角形uuuruuur解析：非零向量与满足(ABr+ACr)=0，即角A的平分线垂直于BC,.AB=AC,又IAB

18、IIACIuuuruuur1cosA=ABr.AC=牙,ZA=Z，所以SBC为等边三角形，选DIABIIACI238.AABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实Rm=9点O是AABC所在平面内的一点，满足OA-OB=OB-OC二OC-OA，则点O是AABC的(B(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点10.如图1,已知点G是AABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点，且uuuuvuuuvAM=xAB,uuuvuuuv11AN=yAC，则+_=3。xy证点G是AABC的重心，知

19、uuv+GV+矍=O,uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv得-AG+(AB-AG)+(AC-AG)=O,有AG=j(AB+AC)。又M,N,G三点共线(A不在直线MN上),uuuvuuuuvuuuv于是存在九，卩，使得AG=九AM+卩AN(且九+p=1),uuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv有AG=AxAB+pyAC=(AB+AC),.1，于是得1+丄=3。尢x=py=xyx1、课前练习1.1已知O是ABC内的一点，若OA2=OB2=OC2，则o是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心12在ABC中有命题AB-AC=BCAB+BC+CA=0若C+AC儿-AC则aABC为等腰三角形；若ABAC0则SBC为锐角三角形，上述命题中正确的是CA、B、C、D、例1.B知ABC中，有(_ABac网网丿BC=0和竺竺=2，试判断叱的形状ABAC练习1、已知ABC中，AB=a,BC=b丄是SBC中的最大角，若ab0，试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2.已知O是ABC所在平面内的一点满足OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2则O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足OP=OA+九(_ABAC网+PC丿,九e（o