生医高数6二、积分上限的函数及其导数

1、第二节微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数三、公式一、引例在变速直线运动中, 已知位置函数之间有关系:与速度函数st内经过的路程为物体在时间间隔T2v(t)ts)(T )T1这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .二、积分上限的函数及其导数则变上限函数定理1.若y fxyxa(t) d t(x)oxabx证:xxx (, b , 则有) 1 xf (d)f (d)hhaa 1 f (t) d t fx h)(xhx (x) x lim fh0 f (x) limh0h说明:定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.变限积分求导:da

2、x x ffdx)dxddat d t axxxfdftddx dxx f (x)x)f(例1.求ecos21x(in x解:原式limx02 e2x确定常数 a , b , c 的值, 使例2. b .0解:原式=a .1c 1 .c 0 , 故又由, 得200证明例3.内为单调递增函数.在xx00 t ft) d t f (xx f (t) d t证:x0 2ffdxf ( )0(t) d tx ( ) x 0 x0 x0 2( 2fdfdx设 f ( x)在0,1上连续，且 f ( x) 1.证明x例 42x f (t )dt 1在0,1上只有一个解.0 xF ( x) 2 x f (t

3、 )dt 1,证令0 f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,F ( x)在0,1上为单调增加函数. F (0) 1 0,1010F (1) 1 f (t )dt 1 f (t )dt0,所以F ( x) 0即原方程在0,1上只有一个解.三、公式定理2.函数, 则bax F) f (x)(a)(-公式)故根据定理 1,证:x ax) dx CF (xafxdxF(a)因此得记作例5. 计算3 arctandx31 arctan x解:3arctan(1)1 x21 ) 7 (3412例6.计算正弦曲线的面积.y sinA 0 sin x dx解: 0 xo 1 2cos x到某

4、处需要减刹车, 问从开始刹例7. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车, 设汽车以等加速度 a 5 m s2车到停车走了多少距离?解: 设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度361000360010mmss行驶, 其速度为刹车后汽车当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为 22210 10(m)252td t(10 )5d0001. 微积分基本公式设 f ( x) Ca, b, 且F(x) f (x),则有baf (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F (b) F (a)积分中值定理微分中值定理公式2. 变限积分求导公式备用题1. 设求f ( x).解：定积分

5、为常数 , 故应用积分法定此常数 .12f (x)d x a , 设, 则f (x)d x b00f (x)d x x bx 2ax b 2aa b 03232f (x)d x x bx 2ax 2 8 2b 4a320 4 x 23 a 1 ,b 4 f (x)3333I 2 sin 2nx d x 的递推公式(n为正整数) .2.nsin x0sin 22)0解：由于 Ix因此n1sin xcos(221)sin x dx0 2nn1sin x)n102 1)2cos 2dxn 2(1)n1(n 2, 3,)所以nn12n 1其中2 2 cos x d x 2I10思考题xa设 f ( x)在a, bf (t )dt 与上连续，则bf (u)du是x的函数还是 t 与 u的函数？x它们的导数存在吗