函数的数值微分计算

1、函数的数值微分计算实验描述数值微分根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数(如多项式或样条函数等)的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近

2、似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。实验内容计算余弦函数f(x)=cos(x)的数值微分实验要求：1.一阶导数O(hA2),O(hM)中心差分法的误差分析P252；二阶导数O(hA2),O(hA4)中心差分法的误差分析P263；对上面4种微分计算其0n上不同步长h的微分曲线分布;在两端点0，n采用对应精度的Lagrange多项式微分P264。实验结果及分析一阶精度为O(hH)的中心差分法的误差分析：1一阶精度为O(hM)的中心差分：设f6C3a,b，且x-h,x,x+h6a,b，则fx+hfxh2hfxu而且存在数c=c(x)6a,b，满足fx

3、+hfxh2h+Etf,htrunc其中h2f3cf,h=0h26项Ef,h称为截断误差。丿、trunc2误差分析和步长优化：(1)设函数f满足1中的假设，并利用计算公式y1-y1 HYPERLINK l bookmark30 fxu1/02h则误差分析可通过如下方程进行解释 HYPERLINK l bookmark10 fx=儿y-1J02h其中歼傀巾炖严,f(x0+h)=y1+e1)Ef,h=E“roundEtrunc+Ef,h几h+Etrunc几h=el-e_l_h2f3c=2h_6这里的Ef,h为舍入误差和截断误差的和。(2)设函数f满足1中的假设，并进行数值计算。如果e_6,勺6,M

4、=max,(/3x，贝Uaxb26Mh2Ef,hh+一6一上式右边最小时的h值为361/3h=M当h较小时，(1)中包含匕斗的部分相对较大。2h分析：一阶精度为o(h2)的关于cos(x)的中心差分的误差项为E=0.5*10A-9/h+hA2/6;E在h为0.001,0.005的图形分析：步长为h,精度为o(h2)的cos(x)的一阶中心差分公式f1f1=(cos(x+h)-cos(x-h)/(2*h);xh=0.O1,f1在O,pi的曲线一阶精度为O(hM)的中心差分法的误差分析:12h1一阶精度为O(hA2)的中心差分：设f6C5a,b，且x-h,x,x+h6a,b，则fx+2h+8fx+

5、hf8x-h+f(x2h)而且存在数c=c(x)6a,b，满足12hfx+2h+8fx+hf8xh+f(x2h)fx=其中h4f5cEf,h=0h4trunc30项E.f,h称为截断误差。trunc2.误差分析和步长优化：(1)设函数f满足1中的假设，并利用计算公式fX-y2+8181+y2丿012h则误差分析可通过如下方程进行解释r,_y2+818y+y2丄口f%fxo=缶一+Ef,h其中(fx+h=y1+e1，fxh=y1+e1，fx+2h=y2+勺，fx2h=y2+e2)Ef,h=E“f,h+Etf,hroundtrunce+8e8e+eh2f3c2112_2h6这里的Ef,h为舍入误差

6、和截断误差的和。(2)设函数f满足1中的假设，并进行数值计算。如果乞Se且M=max,T5x，则axbLLy3eMh4Ef，h-2h+丽上式右边最小时的h值为4561/5h=4M分析：一阶精度为o(h4)的关于cos(x)的中心差分的误差项为E在h为0.001,0.05的图形E=3*0.5*10A-9/(2*h)+hA4/30;分析：步长为h,精度为o(h4)的cos(x)的一阶中心差分公式f1f1=(-cos(x+2*h)+8*cos(x+h)-8*cos(x-h)+cos(x-2*h)/(12*h);h=0.01,f1在0,pi的曲线二阶导数0(h八2)中心差分法的误差分析:1二阶导数0(

7、22)中心差分法:fX的近似值公式为1-2厶+f-1h2fxf,hI+人一2fx+fx-h+已2h其中Etrunc几h=2：，在4阶导数处截断。贝U在区间x-h,X+h内有一个值C,满足r2.误差分析和步长优化广%=vi一rh212设丘=儿+气其中是计算f叫叫=儿_色+儿1+Ef,h产生的误差,贝h2误差项Ef,h包含舍入误差和截断误差:Ef,h=勺-2eQ+j_h2f4ch2-12-如果设每个误差项乞的量级为e,同时误差是积累的，而且(f(4)xM则可以得到如下差界：4eMh2已仁h%+p如果h较小，则舍入误差带来的如就会较大。当h较大时，泄也会较大。可h212通过下式得到最佳步长。h=48

8、61/4w分析：二阶精度为o(h2)的关于cos(x)的中心差分的误差项E=4*0.5*10A-9/(hA2)+hA2/12;E在h为0.001,0.05的图形分析：步长为h，精度为o(h2)的cos(x)的二阶中心差分公式f2f2=(cos(x+h)-2*cos(x)+cos(x-h)/(hA2);h=0.01,f2在O,pi的曲线二阶导数O(hM)中心差分法的误差分析：1二阶导数O(hM)中心差分法:fx的近似值公式为fXuJ012h2fx+2h+16fx+h30fx+16fxhfx2hfx12h2/2+16去3%+16匚1广2+Ef,htruncJ其中Etmncf，h=巴汁，在4阶导数处

9、截断。贝U在区间x-h,X+h内有一个值C，满足X=+16右_3%+16/1f2+h4f6CJ012h2902误差分析和步长优化：设fk=儿+气其中是计算f叫产生的误差，则广飞=-儿+16儿-驾+16儿厂儿2+ef,h误差项Ef,h包含舍入误差和截断误差：q+16e“一30匕+16eqh4f6ch2Ef,h=21hl11+_0_如果设每个误差项仪的量级为,同时误差是积累的，而且(f(6)XM则可以得到如下差界：16eMh4E人h3h2+90如果h较小，则舍入误差带来的眶就会较大。当h较大时，沁也会较大。可3h290通过下式得到最佳步长。h=24061/6M分析：二阶精度为o(h4)的关于cos

10、(x)的中心差分的误差项EE=16*0.5*10A-9/(3*hA2)+hA4/90;E在h为0.001,0.25的图形分析：步长为h,精度为o(h4)的cos(x)的二阶中心差分公式f2f2=(-cos(x+2*h)+16*cos(x+h)-30*cos(x)+16*cos(x-h)-cos(x-2*h)/(12*hA2);h=0.01,f2在0,pi的曲线Lagrange多项式微分：一阶精度为)在x0的前向差分公式和后项差分公式分别如下I=车4口广叫二埜-4心+匸22h分析：步长为h,阶精度为o(h2)的cos(x)的拉格朗日多项式向前差分公式f1f1=(-3*cos(x)+4*cos(x

11、+h)-cos(x+2*h)/(2*h);h=O.01,f1在O,pi的曲线分析：步长为h,一阶精度为o(h2)的cos(x)的拉格朗日多项式向后差分公式f1f1=(3*cos(x)-4*cos(x-h)+cos(x-2*h)/(2*h);h=0.01,f1在0,pi的曲线结论采用中心差分法计算微分，不同精度相同步长所得到的结果可能不同。采用最佳步长时0(hA2)的最小误差要大于0(hA4)的最小误差，且步长区间相同时0(hT)误差变化速率要快于0(hA4)的误差变化速率。另外采用相同精度时，步长不同所得结果也不同，同时只有取最佳步长时的误差最小，大于或小于最佳步长误差增大。附件(代码)一阶精

12、度为0(/2)的中心差分法的误差分析：symshE=0.5*10-9/h+h2/6;%阶精度为o(h2)的关于cos(x)的中心差分的误差项ezplot(E,0.000001,0.005)%画出E在h为0.001,0.005的图形一阶精度为0(h4)的中心差分法的误差分析：symsxsymshE=3*0.5*10-9/(2*h)+h4/30;%阶精度为o(h4)的关于cos(x)的中心差分的误差项ezplot(E,0.001,0.05)%画出E在h为0.001,0.05的图形二阶精度为0(h2)的中心差分法的误差分析：symshE=4*0.5*10-9/(h2)+h2/12;%二阶精度为o(h

13、2)的关于cos(x)的中心差分的误差项ezplot(E,0.001,0.05)%画出E在h为0.001,0.05的图形二阶精度为0(24)的中心差分法的误差分析：symshE=16*0.5*10-9/(3*h2)+h4/90;%二阶精度为o(h4)的关于cos(x)的中心差分的误差项Eezplot(E,0.001,0.25)%画出E在h为0.001,0.25的图形一阶精度为0(h2)的中心差分法的不同步长的曲线：h=input(inputh=)symsxf1=(cos(x+h)-cos(x-h)/(2*h);%步长为h,精度为o(h2)的cos(x)的一阶中心差分公式flezplot(f1,

14、0,pi)%画出fl在0,pi的曲线一阶精度为0(h4)的中心差分法的不同步长的曲线：h=input(inputh=)symsxf1=(-cos(x+2*h)+8*cos(x+h)-8*cos(x-h)+cos(x-2*h)/(12*h);%步长为h,精度为o(h4)的cos(x)的一阶中心差分公式flezplot(f1,0,pi)%画出fl在0,pi的曲线二阶精度为0(!T2)的中心差分法的不同步长的曲线：h=input(inputh=)symsxf2=(cos(x+h)-2*cos(x)+cos(x-h)/(hA2);%步长为h,精度为o(h2)的cos(x)的二阶中心差分公式f2ezplot(f2,0,pi)%画出f2在0,pi的曲线二阶精度为0(24)的中心差分法的不同步长的曲线：h=input(inputh=)symsxf2=(-cos(x+2*h)+16*cos(x+h)-30*cos(x)+16*cos(x-h)-cos(x-2*h)/(12*hA2);%步长为h,精度为o(h4)的cos(x)的二阶中心差分公式f2ezplot(f2,0,pi)%画出f2在0,pi的曲线Lagrange多项式微分向前差分公式：h=input(inputh=)f1=(-3*cos(x)+4*cos(x