点几何与向量方法的相互转化

1、点几何与向量方法的相互转化点的加减法和向量加减法基本一致，设0为原点（记为0 = 0）, AB = OB-OA,简 记为B-A；向量的内积在省略原点后，方简记为48,甚至省写为A8 （请根据上 下文理解，切莫与线段混淆）.看似简单的一些省写，好像并没有新的东西，但实践发现, 有意想不到的功效.点几何表达式几何意义(A-B)2=(C-D)2线段相等：AB二CD(A - 8)2 =(A 一。尸,或(从 一- C) = 02线段相等：AB二ACC = fA + (l)8C是线段AB上的点，BC = tBAAR 隐性表示2C4 8 = 0,显性表示。=.2C是AB中点(A-B)(C-D) = OAB1

2、CDC-D = t(A-B)作点D,使得CD/7ABA-i-ROA2 = OB2 (等价于(。一 )(4 8) = 0 ) 2OB2 = OC2 Of =OC)三个等式至少用两次.0是AABC的外心(4一)(8 。) = 0,(8 4)(C A) = 0,(C ”)(A 8) = 0中三个等式用两次.H是AABC的垂心H=A+B+C若设aABC外心0为原点，H是AABC的垂心A + B + C K2若设AABC外心0为原点，K是aABC的九点圆心A + B + CG =3G是AABC的重心3-A=C-。及其等价式A+C=8+。等平行四边形ABCD缶一0)2(8 0)(0 。) = 0或(A_3

3、)2_(A_8)(A_C) = 0直角三角形射影定理：ABC 中，ABJ_AC, AD_LBC(P-A)(P-8)-(P-C)(P-Q) = 0 或(P-A)(P-B) = (P-O)2-R2圆甯定理：四边形ABCD内 接圆0,直线AB交CD于P,其 中R为圆半径以上性质请熟记，会经常用到，有助于解题的简化.上一章建立恒等式，用的是分析法.就是看结论中有哪些项,想办法消去.在此过程中, 也许又生成新的项，又要想办法消去.直到最后生成恒等式.这种方法对于一些简单的问题 是可行的，一旦条件很多，就会遇到困难.这一章会介绍一种“很笨”的方法，就是把结论 和已知条件尽可能多的以点几何的形式写出来，然后

4、用待定系数法，看能否生成恒等式.当 然，最好的方式是两种方法的结合.既思考项与项之间的相互消去，又用暴力计算来配平系 数.要想解题过程简洁，首先要找到一种比较简洁的方式表示几何关系，譬如中点关系、垂 直关系、线段相等关系、共圆关系等.然后再用一种比较简洁的方式将题目的条件、结论（也 就是各种几何关系）串起来.我们发现使用点几何的表示是简洁的，使用线性相关的思想将 条件串起来是可能的.例1如图在AABC中，AD、BE是高，F、G是AB、DE的中点，求证：FGED.图 4-1-1证明传统解答思路：ADBCRtADB产是AB中点AF = DF = EF = DFEB 工 AC = R，aAEB 产是

5、48中点ED1FG传统解法有几个难点.一是辅助线难以想到，例1中的EF （DF类似）既是直角AEAB 斜边上的中线，又是等腰4FDE的腰，起到很重要的桥梁作用：二是已知条件如何应用，包 括什么时候用，如何结合其他条件以及允许使用的推理规则，变化繁多，例1中的F和G 虽都是中点，但应用规则却不同.传统推理采用层层递进的演绎推理模式，中间环行只要一 步没有理顺，则整个推理失败.辅助线的添加虽有一定规律，但多数情况下还是需要人的灵机一动，因此我们希望提出 一种新的证明模式，能避开辅助线的添加；同时希望能缩短推理过程，采用冲算来代替逻辑演绎.分析（1）题中共涉及7点：A, B, C, D, E, F,

6、 G,根据几何关系得F =2士0 , G =,22这样做减少了变量.（2）例1实质是如何用条件多项式（A E）（8 E） = 0, （4 。）（8。） = 0来推出结论多项式(F G)(0 E) = O.（3）将结论表达式表示为条件表达式的线性组合凡a d r) + f 一)(0 E) + K(A-E)(3 - E) + &(A-O)(8 - O) = 0；（4）将尸展开为以基本点A, B, C,D, E为变量的方程式：C + kE2+-k2）BD + （- + k2）D2+（-k2）AD +（仁 +k2）AB =0；（5）解系数方程组 TOC o 1-5 h z + = k. = L-k、=

7、 一 ! + %、=-! K = L-k, = k+k、= 0 222-2-22-A+B D+E得人=,=,得到恒等式 2 - 2)(D-E)-1(A-E)(B-E) + 1(A-D)(B-D) = O.22由恒等式以及(A E)(B - E) = 0和(A 0)(8 。) = 0,可得（一一与）（。一石）=0, 22即FG_LED.从恒等式发现，对于结论的成立，点C并未起到任何作用，纯属多余，而A, B,D, E四点也未必共而.这样的发现，让我们对问题认识更加深刻，突出了的本质，并推广到高维.n个多项式相加等于0,其中n-l项都为0,剩余那一项自然为0.这看似平凡的道理，却有妙用.可以将例1

8、由一变成五（这里需要用到同一法的思想）.1）空间四边形ABDE, F是AB中点，G是DE中点，EA1EB, DA_LDB,则FG_LED.2）空间四边形ABDE, F是AB中点，G是DE中点，EA1EB, FG1ED,则DA_LDB.3）空间四边形ABDE, F是AB中点，G是DE中点，FG_LED, DADB则EA_LEB.4）空间四边形ABDE, F是AB中点，G是DE上的点，FG_LED, EAEB DADB,则G是DE中点.5）空间四边形ABDE, G是DE中点，F是AB上的点，FGLED, EAEB DALDB,则F是AB中点.例2如图4-1-2,在AABC中，延长BC到D,使得CD

9、=BC,延长CA到E,使得AE=2CA.若ZBAC=90 ,求证：AD = BE. (2013年欧洲女子数学奥林匹克试题)证明(A (2C 8)22c)尸 +8(A-B)(A-C) = 0.分析(1)题中共涉及5点：A,B,C,D,E,根据几何关系得(即C = 2 2的等价式)，七= 3A - 2C；这样做减少了变量.(2)根据垂直关系AB_LAC,列出条件多项式(A 8)(A C)=0；根据相等关系AD = BE,结论多项式(A-(2C- B)22c)了=0 ；(3)将结论表达式表示为条件表达式的线性组合尸：(A -(2C - 8)尸 _(8 _ (3A - 2C)2 +(A-B)(A-C)

10、 = 0；(4)将尸展开为以基本点A, B, C为变量的方程式：(-8 + /cl)A2+(8-kl)AB + (8-kl)AC + (-8 + k1)BC = Oi(5)解系数方程组8 +4=8 占=8 占=-8 +占=0得占=8,得到恒等式(A-(2C-8)2 _ (8 _ (3 A - 2C)2 + 8( A - B)(A-C) = 0.若设A=0,E = -2C,恒等式更简单，(2C-8尸 -(B-(-2。)2 + 8BC = 0.此题条件比较简单，也可以通过观察*的系数直接得出占=8,无需待定系数法.当求得恒等式F=0后，将已知条件代入恒等式，于是若干项为0,立刻可得结论.由恒 等式

11、以及(A 8)(A C)=0，可得(A-(2C-B)f -(B-(3A-2c)f = 0,即|人。|=怛研数学中常常要研究逆命题，在此题中，由恒等式容易得到AD = BEABAC = 90 .n项相加为0,其中n-1项为0,则可知第n项也为0.这一简单的道理大大提升了恒等式的 价值.生成恒等式之后，从原来的一个命题可得到若干新命题.这一点对于几何问题的变式 研究极有价值，限于篇幅不再一一指出.一行证明几何竞赛题所说的一行，是指最后用一行来表示，准确说，是用一个恒等式来 表示.而得到这一行，却也要花费一些功夫.就好比看到某些人用S0S 一行证明不等式，却 不知人家背后的心血.考虑到在教学或考试中

12、，未必能接受点向量这种形式，那么在得到恒等式之后，可改写 成一般的向量形式.注意设A=0,化成向量形式之后所有向量都要改写成以A为起点的向 量.改写思路：AB_LAC,即(A 8)(A C) = 0,改写为AB . AC = 0(DAD = BE,即(A (2C B)2-(B (3A 2C)2=0,改写为(AA -(2 AC - AB)2 -(AB-(3AA - 2 AC)2 = 0，即AD - BE = (2AC- AB)2 -(AB-(-2AC)2 = -8AB AC = 0易得8xe0,命题得证.容易发现，恒等式方法就是一般向量法的简洁表示和综合处理，两者可以相互改写，只 是忽视每一项表

13、达式的结果，重点关注结论多项式能否由条件多项式表示.例3如图4-1-3,在平行四边形ABCD中，M是BC中点，P是任意点(不一定在平而ABC 上)，求证：PA=PD、CPAB. MA1MP,这三个条件任意知道两个，可得第三个.图 4-1-3证明(p_A)2_(p_(A+c_B)2+4(c_p)(A_B)+4(l,A)(zp) = 0 22注意设尸=0,化成向量形式之后所有向量都要改写成以P为起点的向量，A2-(A + C-B)2 + 4C(71-B) + 4(i-A) = 0. 22改写：4 =尸。等价于方一(而+无一方)2=0,即-PC2-PB-2PAPC + 2PAPB + 2PBPC =

14、 0CP_LAB等价于定丽=0,即尸号(24-尸历=0,即PCPAPCPB = Q.MA_LMP等价于丽? 厢 =0,即（丝上上一尸小（丝土上）= 0,即 22PB2+PC2+2raPC-2PAPB-2PAPC 小 3、4易得+4x+4xU。，于是一举证明三个命题.例10在AABC中，AOAB,在CA上取D, M是AD中点，N是BC中点，延长NM交BA延长线于 E,求证：AE = AM CD = AB.图 2-3-7证法 1 设A = 0, )= 4C, m=2,=22l D8 + C 1 门 1 t dtE = f + (1-/)- = k(1T)8 + (+ ?)C,222227. 1 f

15、 dt 八 3解1= 0 得/ =22l d 2(-1 +J)E2-M2(B2-(l-f/)2C2)f/24(1 - 4 尸B2-(C-D)2=B2-(1-)2C2,命题得证.注意这里 W1隐含着D和C不重合，否则ABMN, E在无穷远处.证法 2 设 AD = dAC , AM =, AN =2AB + AC2AZ)AB + AC 1、T7i /I - i dfA = r + (l-r)- = -(l-r)AB + (- + )ACt 22222&力 1 f dt 八31 d AB解 + = 0得1=,AE =.22l d 2(-1+ f/)ae2-am2 =(AB2 -(-d)2 AC2 )d24(一)2AB -(AC-AD)2 =AB2-(-dAC .命题得证.很显然，这两种证法只是表述形式有差别，一种是点几何表述，一种是向量几何表述, 对比发现点几何表述要简洁.向量表述要带着原点A和箭头符号，很是麻烦.试想一个思如 泉涌的写作者打字很慢，是不是很影响写作？因为他在负重前行.此处要特别强调，由于点几何的表述，目前还没有得到广泛流行，考试时