Asurveyonnetworkcodesfordistributedstorage

1、当使用编码时，修复的问题出现了：如果一个节点存储编码信息失败，为了保持我们需要相同的可靠性水平在一个新节点创建编码信息。这相当于一个部分代码的 复苏，而传统的消除编码的重点是信息的完全恢复从编码包的一个子集。的考虑 修复网络流量产生新的设计挑战。最近，网络编码技术发挥了推动作用在应对这 些挑战，建立,维护带宽相比可以减少数量级标准擦除码。本文概述了关于这一主题的研究成果。关键字|分布式存储，擦除编码；干扰对齐；多播网络编码 介绍近年来，大规模数据存储的需求显著增加，与应用程序像社交网络，文件，视频分 享要求无缝存储，大量数据的访问和安全。当部署存储节点分别是不可靠的，在现 代数据中心和对等网络

2、中，冗余必须引入系统提高可靠性对节点故障。最简单、 最常用的冗余形式很简单在多个存储节点复制的数据。然而，消除可能编码技术 达到数量级更多的可靠性相同的冗余与复制相比（见,例如2）。然而，实现增加编码的可靠性必须解决的挑战，维护一个擦除编码表示。鉴于两个正整数k和氮 钾,en,kT最大距离可分可用于（MDS）弋码可靠性：最初要存储的数据被分成k数 据包信息。随后,使用MDS弋码,这些编码成n数据包（相同的大小）这些n k的足 以恢复原始数据一个例子（见图1）。MDS3最优的冗余可靠性权衡因为 k数 据包含有最低恢复原来的所需的信息量数据在分布式存储系统中,n编码包存储在不同的存储节点（如。、磁

3、盘、服务器或同行）通过网络传播，系统可以容忍任何 在kT节点故障不会造成数据丢失。请注意，在这篇文章中，我们将假定n的存储 系统存储节点，可以容忍失败和en kT节点使用subpacketization 的想法：每个 存储节点手稿图1。e4;2 t MDS二进制代码（evenodd代码10）擦除。每个存储节点（箱）是线 性二进制存储两个街区组合的原始数据块 A1,A2,B1,B2。在这个例子中,isM的总 存储大小吗？4块。观察到k吗？2 了 n ?4存储节点包含足够的信息来恢复所有数 据。存储多个subpackets将称为块（本质上是使用数组编码10,11）。编码存储的好处是众所周知的有大量

4、的工 作在该地区。Reed-Solomon代码6可能是最受欢迎的MDS3和一起非常相似的 信息传播算法（IDA）7进行了调查（如分布式存储应用程序。3和5）。喷泉码 8和低密度奇偶校验（LDPCY弋码9最近的代码设计，提供近似MDS1性和快速编码和解码的复杂性。最后，有大量的相关工作代码 RAID系统和磁记录（如。， 请参阅10-13的气息，在其中引用）。在本教程中，我们关注的是一个新问题出 现当存储节点分布和网络连接。修复的问题时就会出现一个代码存储节点系统的 失败。问题是最好的说明通过图 2的例子。假设一个文件的总大小米?4块存储 使用e4;2 t evenodd 代码前面的例子，第一个节

5、点失败。一个新节点（被称为新 来的）需要构建和存储两个新的块，这样三个现有节点的总和新人仍然形成一个 e4;2 t MDS的代码。我们称之为这个修复问题，专注于所需的修复带宽。显然， 修复一个失败是容易得多重建所有数据：因为任何两个假设节点包含足够的信息 来恢复所有的数据，新来的可以从任何两个下载四个街区（幸存的节点）,重建所 有四个街区，商店A1,A20然而，随着示例所示，它是可能的修复失败的交流只有 三个街区B2;A2 t B2;A1 t A2 t B2, 可以用来解决A1,A2。图3显示了第四个存 储节点的修复。这可以通过只使用三个街区14但有钥匙吗不同的是，第二个节 点需要计算存储数据

6、包的线性组合B1,B2和实际的交流块B1 t B2 0这说明清楚网络编码的必要性，建立线性组合在修复过 程中中间节点。如果网络带宽相比是更为重要的资源磁盘访问，这是常有的事，一个重要的考虑是找到所需的最小带宽是什么和代码可以实现它。和相应的再生修复问题介绍了编码24,收到了一些关注在最近的文献25-27,31-38。令人惊讶的是这些新代码结构达到一个相当显著减少修复网络带宽，较简单的应用程序Reed-Solomon或其他现有的代码。在本文中，我们概述这最近的研究和讨 论几个保持开放的相关研究问题。A:各种修复模型在修复无花果。2和3所示，例子新构造完全在两个街区失败的节点。但是请注 意,我们维

7、修的定义只需要新节点形成一个en,kT MDS的代码任何k节点的属性（n足以恢复原始数据）,加上现有的节点。换句话说，新节点可能会形成新的线性 组合不同的的丢失节点；要求严格容易满足。三个版本的修复被认为是文学：确切的修复、功能修复、确切的修复系统的部分。 在确切的修复，失败的块完全再生，从而恢复完全失去了编码块的精确副本。 在功 能修复，要求是放松：新生成的块从失败的节点包含不同的数据那么长修复系统维护 MDS-code属性。确切的修复 系统的部分是一个混合的修复模型躺之间确切的修复和功能修复。 在这种混合模 型，存储代码总是一个系统图2。的例子（精确）修复。假设第一个节点在前面的存储系统失

8、败。修复的问题 失败通过创建一个新节点（新人）仍然形成一个e4;2 t MDS的代码。在这个例子 中，可以获得准确的修复通过沟通三个街区，这是信息理论最小割集。图3。修复 最后一个节点：在某些情况下，它是必要的存储节点计算函数之前存储的数据沟 通，如第二个节点所示。Dimakis et al 。调查网络编码的分布式存储代码（这意 味着存在于未编码的数据的一个副本形式）。系统的部分是完全修复失败和 nonsystematic部分遵循功能性修复可能不同于模型的修复版本原件。说明见图4。有一个重要的好处中的代码一致系统形式：如图1所示，如果包含的代码原始 数据的一个子集，可以阅读部分的数据很快通过访

9、问相应的执行存储节点，无需解码。有趣的是，我们会看到，确切的修复，这是最有趣的问题吗在实践中，也最具 挑战性的一个决定实现地区的很大一部分仍然开放。功能修复的问题是完全理解 因为，见24,它可以减少到一个在一个适当的构造多播问题图称为信息流图。的先驱Ahlswede et al 。15描述了多播利率表明割集范围内是可以实现的。进 一步研究表明，线性网络编码就足够了 16,18和随机线性组合构造好网络编 码具有高概率19。也看见了调查21和引用。因为功能修复降低多播，我们可以完全描述通过评估min-cut 最低修复带宽范围和网络编码提供了有效的和建设性的解决方案。在第二部分中，我们目前的结果描述

10、可以实现的功能修复区域并显示存储和修复带宽之间的权衡。确切的修复问题是严格比功能修复。在确切的修复，新节点访问一些现有的存储节点和确 切地再现了失去的编码块。作为将描述随后，修复代码有吗基本存储成本之间的 权衡和修复带宽。两个重要的特殊情况涉及操作点对应于最大存储和最小带宽和 最小的存储与最大带宽点。确切的修复theminimal带宽操作点II-B节中描述）， 描述了最近的工作的33,它发展最佳精确修复代码的最优操作点没有任何损失 只有功能修复。相对应的操作点的特殊情况最小的存储，也对应减少修复带宽， 同时保持相同的存储成本 MDS3，原来是更具挑战性。事实证明，在这种情况下，新节点需要恢复数

11、据干扰其他的一部分数据包。当在信息接收器接收到一组线性 对一些变量方程和试图破解，我们电话干扰变量，混合到这些方程式，干扰。它是 需要仔细处理干扰使得这个问题困难。建设性的技术执行代数对齐，这样有效的维度减少不需要的信息，从而减少维修车辆。这些建设性的技术实现完美的校准 和描述修复带宽low-rateMDS码ek = n 1 = 2 t 。实现割集绑定的采气 MD剂 是唯一已知的当我们实现了渐近 nonpractical技术随后讨论。确切的修复系统 的部件模型是一种放松确切的修复模型。在确切的修复模型，干扰对齐和建设性 的技术核心网络编码。第四节里，我们将会看到，这种放松 地址有些问题空间未被

12、完全修复。二、模型我：功能性修复24所示，功能修复的问题流图表示为多播了一个信息。信息流图代表的进化信 息流存储网络节点加入和离开（参见23类似的建设）。图5给出了信息流图的例 子。在这个图中，每个存储节点是由一对节点习近平表示在和习近平出连接的边 容量的存储容量的节点。有一个虚拟源节点对应数据对象的起源。假设最初我们商店sizeM的文件吗？在四个节点4块，每个节点 存储?2块和文件可以重建任何两个节点。虚拟水槽节点称为数据收藏家连接到 任彳5r k节点子集和确保代码的MDSH性（k n就足够了恢复）。假设存储节点4失 败了，那么我们的目标是创建一个新的存储节点，节点5,沟通最少的信息，然后

13、商店吗？2块。这是代表机组容量在图 5边缘x1outx5,x2outx5,x3outx5 在这输 入节点x5在。对分布式存储功能修复的问题可以解释为一个多播通信问题信息 流图，定义的来源年代想多点传送文件的所有可能的数据收藏家。多播，众所周知,最大多播速率等于最小割的容量图 4。各种修复模型和建设性的关键技术。Dimakis et al。调查网络编码的分布式存储分离源从一个接收器，它可以通过使用线性网络编码16。由于目前的问题可以视为一个多播问题，可以min-cuts 特征的基本限制流图和网络编码提供的信息有效的建设性的解决方案。一个并发症是因为失败/维修的数量是无限的，产生的 信息流图可以无

14、限增长大小。因此，我们必须处理削减，流，和网络码图中潜在的 无限。apple ii节，我们提出减少分析的信息流图24,25 。II-B节中，我们讨 论了两个极端点对应于最小维修带宽和最小的存储成本。A:减少信息流图的分析通过分析流的连接信息图，我们可以得到基本的性能界限 关于代码。特别是，如果最低减少之间的年代和一个数据收集器小于原始文件的 大小,然后我们可以得出的数据是不可能的收集器来重建原始文件。在本节中，我们审查减少分析24和25。的设置是：总有n活跃存储节点。每个节点可以 存储碎片。一个信息流图(如由图5)对应于一个特定的发展存储统后一定数量的 失败/维修。我们把每个失败/修复Bsta

15、ge;在每一个阶段，一个存储节点失败和 被修复的代码下载位分别来自任何d幸存的节点。因此，总修复带宽？ do参见图5为例。在初始阶段，系统由节点1、2、3和4,在第二阶段，系统包括节点2、3、 4、5。为每个组参数en;d;?dT,家庭有限的或无限的信息流图，每个对应到一个 特定的节点故障/维修的演变。我们的有向无环图表示这个家庭创;d;t .我们限 制注意对称设置，要求任何k存储节点都可以恢复原始文件，和一个新人收到相 同的从每个现有的节点数量的信息。一个en;k d;T 元组将是可行的，如果一个代码与存储和修复带宽的存在。对于图2中的示例，总文件sizeM吗?4块和点(n ? 4,k ?2

16、、d ?3、？2块,？3块)是可行的。在相反，一个标准的擦除通信的代码整个 数据对象对应吗?4块来代替。请注意,n,k,d必须是整数。如果有一个失败，新来 的最多可以连接到所有的n - 1幸存的节点，所以d n 1;?d 是修复过程的非负 实值参数。定理1:对于任何en;k d,T,点en;k;d;T 是可行的和线性网络编码足以实现它 们。信息在理论上是不可能的实现与 G点en;k d,t .阈值函数en;k;d T如下:en;k d,T ?米(1)在哪里f eiT 吗？医学博士2e2k我1 ti t 2 或1 k t t (2)geiT 吗？e2d 2 k t 我 t 1 ti 二维(3)在

17、d n 1 0鉴于en,k,dT,最低维修带宽是分钟吗?f ek 1 t ?医学博士 22 kdk2 t k(4): 一个重要的观察是，最低维修带宽？d是人数的递减函数d的节点参与修复。 虽然新来的与更多的节点，每一个的大小包沟通变得较小的速度不够快图 5。插图的信息流 图G对应e4;2 t代码的图1。分布式存储方案使用e4;2 t消除代码中任何两个节点足以恢复原来的数据。如果节点x4变得不可用和newnode加入系统,我们需 要构建新的编码块x5o为此，节点x5在是连接到d ?3积极存储节点。假设部分沟通从每个活动存储节点，感兴趣的是最低 要求。min-cut分离源和数据收集器必须大than

18、M吗？4块再生可能的。对于这个 图,min-cut值是由t 2,暗示,1块是充分必要沟通。总因此修复带宽来修复一次 失败？d ?3块。Dimakis et al 。调查网络编码的分布式存储使产品减少。因此 ， 最低当d修复带宽可以达到？n 1。正如我们提到的，如果和代码可以实现修复只 有底层信息流图已经足够大min-cuts。这种情况导致了修复在定理1利率计算， 当这些条件得到满足，简单的随机线性组合就足够了吗高概率的字段长度编码进 行生长，见何et al。19。最优权衡曲线k ?5、n ?10,和d ?9所示图6。b两 种特殊情况感兴趣的是学习上的两个极值点最优折衷曲线，对应于最好的存储效率

19、和最低修 复带宽，分别。我们调用代码，实现这些点最小储备量再生(MSR)弋码和最小带宽 再生(MBR)弋码，分别。从定理1,最低可以验证存储是实现 eMSR病患？(5):如前所述，修复带宽MSRdMSR1一个递减函数d的节点数量的参与在修复。 自从MSR弋码storeM = k位在每个节点同时确保 MDS-code&性，他们相当于标 准MDS3。观察到当d ?钾、总沟通维修isM(的大小原始文件)o因此，如果允许一个新人只接触k节 点,这是不可避免的下载修复一个新的数据对象失败，这是天真的修复方法，可以 执行任何MDS3。然而，让新人多联系k节点,MSR代码可以减少修复带宽 MSR, 这是d时

20、最小化?N 1MSR分钟MSR5?米K;(6):我们已经分开了 M =导热系数最小MS就明MS刚沟通一个在1 t = en kT 因素超过他们的商店。这是一个基本最优扩张MDSg构所必需的reliability-redundancy 权衡。例如，考虑一个 en,kT 吗？e14 灯头;7 t 代码。在这种情况下，新人需要从每个下载onlyM / 49位d ?n 1 ?13个活跃存储节点，使得修复带宽等于eM = 7吨e13 = 7吨。请注意， 我们需要只有一个扩张因素的13/7，而7倍所需的天真的修复方法。另一端的权衡是MBR代码，有最低修复带宽。它可以验证这一点最小点是通过修复带宽；电磁制动

21、技术 MBRT马?(7):注意，在最低带宽再生码，存储大小等于，的总数沟通在修复。如果我们设置 最优值d ?n 1,我们获得敏MBR分钟mbr(8):请注意，敏MBR?敏MBRMBR；码不会产生彳复带宽扩展，就像一个复制系统， 下载的确切信息存储在一个修理。然而,MBR弋码需要一个扩展因数e2n 2吨=e2n k 1吨的数量存储信息和不再是最优的他们的可靠性冗余。三、模型二：确切的修复正如我们讨论的，repair-storage权衡功能修理可以完全通过分析特征信息流图的割集。然而，随着图6。之间的最佳折衷曲线存储和修复带宽、k ?5和n ? 10。赶路吗？1 和 d ?n 1。Notethat

22、传统的消除编码对应点(?1,? 0:2) 。Dimakis et al 。调查网络编码的分布式存 储前面所提到的，功能性修复是有限的实用兴趣，因为有一个需要维护系统中的 代码的形式。此外，根据功能修复，意义重大系统开销发生为了不断更新 repairing-and-decoding规则无论何时发生故障。止匕外,random-network-coding-based解决方案功能修复可能需要一个巨大的有限域大小支持动态图大小(由于不断扩张修复)。这可以显著提高计算编码和解码的复杂性。止匕外，功能修复存储安全应用中是不可取的面对窃听者。在这种情况下，信息泄漏发生不断的动力repairing-and-d

23、ecoding可能观察到的规则通过窃听者40。这些缺点激励需要确切的修复失败的节点。这导致了以下的问题：是否有可能实现割集下界地 区，额外的约束确切的修复？最近，已取得显著进展两个极端点的家庭重新生成代码 (也可以说是 最有趣的):33和 MBRK MSRlf 31,34,35 。 Rashmiet al .33对 d ?n 1, 可以优化MBRK通过一个确定的方案需要一个小有限域的大小和修复带宽匹配割集(8)的束缚。MSRK，吴邦国委员长和Dimakis31显示的情况下可以达到k ?2和k ?N 1当d ?n 1。随后，国王等。34，埃克=nT el = 2 t t e2 = nT,割集边界

24、不能实现精确修复下标量线性编码（即,? 1）符号是不允许被分成任意小 subsymbols与向量线性codes.1对于大型n,这种 情况下可以归结为埃克=nT el = 2 t。书钉和Ramchandran35表明,exact-MSR 代码匹配的割集绑定的情况下（5）埃克=nT e1 = 2 t1.2 和2 d k中间政权ek = nT 2e1 = 2;e1 = 2 t t e2 = nT,Cullina et al .（32）和书钉 Ramchandran35表明，割集范围内是可以实现的k的情况吗？ 3。一个建筑可以匹配MBR勺割集绑 定点所有n,k,d 和MSR弋码如果ek率=nT e1

25、= 2 t提出了 Rashmi et al .（46）。 最后，它最近成立，MSR代码可以匹配的修复?割集绑定所有 n,k存在渐近。这 个令人惊讶的结果独立获得35和45使用突破技术引入的符号扩展 Cadambe 和魔幻29。令人惊讶的象征扩展，技术开发利用独立衰落的无线频道，完全映射 到具体的问题修复在 MSR点。最近的工作 Papailiopoulos et al 。43,44 进 一步探讨了这种联系。我们注意到虽然这项工作表明，高效精确的MSR弋码存在,35和45的结构并不实用，因为 他们需要指数大小和subpacketization 领域。除了 MS序口有关的中间点MBR找 到储存和修

26、复的基本限制沟通仍然是一个挑战性的开放问题。我们现在简要总结其中的一些最近的调查结 果。A:Exact-MBR代码定理2（Exact-MBR代码33）:d ?n 1,割集下界（8）可以实现的确定性计划，需要一个有限域字母的大小在大多数 en 1万亿=2。图7展示了一个通过 的例子en;k;d,T ?e5;3 、4、4、4 t最大文件大小的地方胶卷暗盒吗？9（割集匹 配的绑定）可以存储。让一个是nine-dimensional数据文件。每个节点存储四个 第六块形式的人数方面，可以解释作为一个一维子空间的数据文件。我们只简单写子空间向量来表示一个实际存储 块。注意程度d等于存储的数量块修复，即。，

27、可用方程的数量匹配所需的变量的 确切的数量单个节点的修复。因此，对于确切的修复，必须的之间至少有一个复制 块节点1和节点我为所有6吗？ 1。这个观察激发以下的想法。这个想法我是有 其他节点ei 6吗？1 t存储每个节点1块,分别为：节点2、3、4和5存储atv1 atv2,atv3,分别和atv4在自己的地方。注意，对确保修理，它可以只有一个复制 阻止任何两个存储节点之间。因此，节点2商店的另一个新的atv5三个街 区,atv6,atv71这相当于在古典大块长度设置。在非线性和向量线性编码，紧张的割集范围内仍然存在开放。2这一想法的灵感来自于代码结构在34完全修复保证系统的一部分。事 实上，它

28、35所示34中介绍的代码只有系统的节点可以完全修复也被用来修复 nonsystematic（奇偶校验）节点故障提供适当的修复施工方案设计。图 7。修复 e5节点1;3 t-mbr代码。注意的数量想要块（需要修理）等于的数量可用方程（可 下载）。因此，代码应该这样设计（干扰）是完全不受欢迎的块避免的。Dimakis et al o调查网络编码的分布式存储剩下的其他地方。按照以上过程中，节点3、4、5然后复制三个街区分别在自己的空间。我们重复这个过程，直到10 e ?4吨3 t2 t 1吨块存储。一个人可以看到这建设保证精确修复的失败的节点，因为至少一块之间的复制任何两个存储节点和重复的块截然不同

29、的。见图7中的例子。现在剩下的问题是设计这十子空间向量vi,我吗？1;。，10。详细的施工来自MDS-codeH性，任何三个节点的五个需要恢复整个数据文件。观察在图7中,9个不同的向量可以下载从任何三个节点。因此，任彳sTe10汽油;9 t MDS代码这些六世的构造。在这个示例中，使用paritycheck 在GFe2T代码定义，我们可以设计 vi的第六:？ei,8 吗？1;。，9和v10 ? ?1;。1 t。它有33所示，这个想法可以扩 展到一个任意en,kT的情况。这个建筑可以解释为最优避免干扰技术。看到这 ， 观察的图的块的数量准确修复可用方程的数量，可以匹配被下载。因此，参与任何不受欢

30、迎的块（干扰）排除了确切的修复。一个自然问题出现了 ：这interference-avoidance技术提供解决方案的另一个极端 MSR点吗？它结果表明，一个新的想法需要弥补这一点。b . Exact-MSR代码新的想法是干扰对齐28,29。的干扰对齐的想法是使多 个干扰信号在信号子空间的维数小于陷的数量。具体来说，考虑以下设置一个解码器解码一个期望信号是由两个线性干扰的独立的不受欢迎的信号。有多少线性方程组（涉及频道使用的数量）译码器需要恢复其期望的输入信号？随着聚合信号 维度跨越到想要的和不想要的信号最多三个，解码器可以天真地恢复信号感兴趣 的访问三个线性无关的方程的三个未知信号。然而，随

31、着译码器只有一个感兴趣 的三个信号，它可以吗解码其所需的未知信号即使访问权只有两个方程，提供了 两个不受欢迎的信号明智而审慎地对齐一维子空间。 28-30细节。这个概念 关系密切，我们的维修问题涉及到经济复苏的一个子集（相关的子空间跨越的一个失败的节点）的总信号整 个用户空间（相关数据维度）。这在31属性首次观察到，这是显示干扰对齐可以 利用精确-MSR弋码。图8说明了确切的干扰对齐在修复失败的节点1；k;d;T ?e4;2;3;2;2 t最大文件大小胶卷暗盒在哪里？4可以存储。我们介绍矩阵表示法用于演示目的。让一个吗？ea1;a2Tt和b ?eb1;b2Tt二维信息单元向 量。让Ai和Bi

32、2-by-2编码矩阵我奇偶校验节点ei吗？1;2 t,它包含编码系数 的线性组合ea1;a2T eb1;b2T,分别。例如，奇偶校验节点1存储块atA1 t btB1 的形式，如图8所示。的编码矩阵系统的节点不明确定义因为这些都是平凡地推 断。最后，我们定义二维投影向量vi的ei吗？1,2,3 t因为？ 1。让我们解释 interference-alignment 方案。首先，在每个存储节点预计两个街区与投影向量 六世的标量。通过连接三个节点，我们得到：第二个条件可以通过设置v2 ? B11 V1和v3 ? B12 v1。这个选择力量的干扰空间坍塌成一个一维线性子空间，从而实现干扰对齐。另一方

33、面，我们也可以满足第一个条件通过仔细选择Ai和Bi。节点2的确切的修复，我们可以应用同样的想法。奇偶校验节点的修复，我们可以重新映射平价节 点信息，然后使用相同的技术。事实证明，这个想法不能通用任意en,kT的例子：它提供了最佳的代码只对于k ? 2。最近，重大的进展的情况： 埃克=nT e1 = 2 t,它已被证明没有价格获得确切的修复（5）的割集下界。定理3（Exact-MSR代码35）:假设MDS弋码率最多1/2,即。，埃克=nT e1 = 2 t 和程度d 2 k 1。然后，割集的（5）干扰对齐。可实现的方案确定性和需要一个有限域字 母的大小大多数2 kT0更复杂的想法出现覆盖这种情况

34、下：同时干扰对齐。图9 展示了 interference-alignment 技术的例子 en;k;d,T ?e6;3、5、3、3 t M? 9。 信息单元向量。让Ai、Bi和Ci 3 x3的我奇偶校验节点的编码矩阵ei吗？1,2,3 t 。我们定义三维投影向量vi的ei 吗？1;。；5 to通过连接到五节点，我们五个方程图所示。为了成功地恢复期望信号组件的相关矩阵3的应该满秩，而另一个矩阵对应于b和c应该等级1,分别。按照e4;2 t代码示例在图8中，如果一个人是集v3 B11 v1,v4 ? B12 v2,v5吗？B13 v1,那么就有可能实现干扰对齐对 b。然而，这种选择也指定c的干扰空

35、间。如果Bi和Ci的不是明智而审慎地设计， 干扰对齐是没有保证的co因此，如何实现它不是明显干扰对齐在同一时间。为 了解决的挑战同时干扰对齐，一个共同的特向量概念调用。这个想法包括两个部 分:1)设计eAi,Bi,CiT,v1是一种常见的的特征向量 Bi和C的，但不是Ai ,s3;2)修复通过幸存者节点项目数据到一个线性子空间跨越这个共同的特征向量v1。然后我们可以实现对b和c的干扰对齐时间，通过设置六世？v1;8我。只要？ A1v1;A2v1;A3v1是可逆的，我们也可以保证decodability 的，见图9。现在的挑战是设计编 码矩阵保证公共特征向量的存在也满足 decodability

36、 所需的信号。的困难来自 这样一个事实：e6;3、5 t代码例，对所有6个，需要满足这些约束可能失败的配置。基本的结构矩阵(广义矩阵的房主和高斯矩阵)提供见解。看到这，考虑3 x3的基本矩阵一个吗？uvt t我(9)图9。修复 e6;3 t-msr代码系统节点失败时。一个共同的特征向量概念是用来实现干扰同 时对齐。3当然，五个额外的约束还需要满足的其他五个失败配置这e6;3、5 t代码示例。Dimakis et al 。调查网络编码的分布式存储在u和v三维向量。注意的尺寸的零空间2和零向量v v ?是一个的特征向量，即,Av吗？v ?。这激发了 以下结构A六、三维线性无关的向量，所以吗ui o

37、我的价值观，我的，我的可以任意非零值。 为简单起见，我们考虑简单情况vi是正交的，尽管这些不需要吗正交，但只有线 性独立。然后，我们看到 8我吗？1;2;3Aiv1 吗？iv1 t uiBiv1 ? iv1Civ1 吗？iv1:(11) 重要的是，请注意,v1是一种常见的的特征向量Bi和Ci,同时确保Aiv1的向量线 性无关。因此，设置六世吗？所有我v1,可以实现同步干扰对齐，同时保证decodability 所需的信号。另一方面，这一点结构也为b和 co我们保证精确修复使用v2的精确修复bo这是一种常见的特征向量 Ci和人 工智能，同时确保吗？B1v2;B2V2 B3V2可逆。同样,v3用于

38、c。奇偶校验节点可以通过画一个双重修复关系与系统的节点。这个过程有两个步骤。首先是重测图奇 偶校验节点a0,b0,c0,分别。系统的节点可以被重写的主要符号在哪里 ？用这个 重新映射,可以dualize关系系统之间和奇偶校验节点修复。具体来说,如果 所有的A0我的，我的,C0我的是初等矩阵和形成一个类似的代码结构(10),具体 的修复奇偶校验节点变得透明。这是显示一个特殊的关系吗？u1,u2,u3吗？v1、v2、v3通过正确的选择ei;我也可以保证(10)的二元结构35。图10显示了一 个数值例子完全修复系统节点1(无花果。10(a)和奇偶校验节点1(无花果。 10(b)在哪里？v1、v2、v

39、3 ? ?2、2、2;2;3;1;2;1;3。这个例子演示了代码结构，概括了代码中引入34。有关详细信息，请参阅35。 这通用代码结构允许一个更大的设计空间完全修复。注意，投影向量系统解决方 案节点修复很简单：六世吗？21 v1吗？e1;1;1 tt;8 我。注意，这个选择允许同时 干扰对齐，而decodability 的保证。注意,eb1;b2;b3T ec1,c2,c3T 是一致的b1 t b2 t b3和c1 t c2 t c3, 分别，而三方程与线性独立相关。平价的二元结构还保 证确切的修复节点。重要的是，我们选择代码参数35的推广代码结构，奇偶校验 节点修理很简单。如图10所示(b)

40、,下载只有从每个幸存者节点确保第一个方程 确切的修复。注意，五下载方程ea0只包含五个未知变量和三个方程与 a0是线性 独立相关。因此,我们可以成功地恢复a0o (35)所示,该联合技术可以很容易地推广到任意 en,k,dT在哪里n 2 k和d 2 k 1。第三第四。模型：确切的修复系统的一部分在 本节中，我们审查的建设性方案36,使建筑的系统；kT-MDS代码2 k n,达到最低修理当从k t 1节点修复带宽。 该方案见图11。让F表示定义在有限域的代码。在图11中,x 2 F2k是一个向量 组成的2 k原始信息吗符号。每个节点存储两个符号 xTui和xTvi。的向量fuig 不会随着时间而

41、改变，但fvig变化Dimakis et al。调查网络编码的分布式存维修的代码。我们保持不变的性质2 nlength-2k向量优质黄麻；抽头形成一个e2n;2 kt-mds代码；也就是说，任彳SJ 2 k 向量集优质黄麻；抽头已经满了等级2 k0这当然意味着n节点形成一个 嗯,kT-MDS代码。我们初始化代码使用任何e2n;2 kt系统的MDS弋码。现在我们考虑一个修理的情况。没有损失的普遍性，假设节点n失败和修理访问节点1;。；k t 1。图11中所示替换节点下载ixTui t ixTvi从每个fl的节点；。；k t 1 g。使用这些k t1下载符号，替换节点计算两个符号xTun和xTv0

42、n如下： (15)请注意，我们n是允许不同于素食新闻；财产我们维护是修复代码仍在继续 是一个e2n;2 kt-mds代码。这里fi;我搞笑和爆破n是我们可以控制的变量。 下面的定理显示，我们可以选择这些变量，(14)和(15)感到满意和修复代码仍然 是一个e2n;2 kt-mds代码。定理4(36):让F是一个有限域的大小大于(16):图10。插图的精确修复e6;3;5 t E-MSR 代码定义在GFe4Tg电机多项式 gexT在哪里？x2 t x t 1。解决方案系统节点的修复很简单：设置所有的投影向量为e1;1;1 tt 。这使得同步干扰对齐，而保证的decodability 。为我们精心

43、挑 选的参数，奇偶校验节点修复要简单得多。修复,我们下载只有第一个方程从每个 幸存者节点来解决五个线性方程只包含五个未知数。(一)确切的修复系统节点1。(b)奇偶校验节点的精确修复1。图11。插图的计划36 。 Dimakis et al 。 调查网络编码的分布式存储假设旧代码指定的优质黄麻；抽头e2n;2 kt -MDS码定义在f .节点n失败时，存在变量的分配fi;我搞笑,(14)(15)感到满意和修复 代码仍然是一个e2n;2 kt-mds代码。推论1(系统en;kT-MDS代码)：上面方案给 出了一个系统在建设;kT-MDS代码2 k n,达到最低修理当从k t 1节点修复带宽。证明：

44、考虑n 2 k。注意， 在上面的计划，我们可以初始化代码fu1;。、联合国、v1。；vng与任何e2n;2 kt-mds代码。特别是，我们可以使用一个系统的代码，并分配向量的2 k的系统 代码fu1; o u2kg。因为fu1;。)不改变时间，代码仍然是一个系统性e2n;2 kt-mds 代码。因此,n个节点形成一个系统化的en;kT-MDS代码。的维修故障代码下载k t 1块d ?k t 1 节点，总文件sizeM ?2 k,实现在第二部分割集边界提取。H诉 讨论和开放的问题我们概述了最近的关于这个问题的结果减少维修的交通在分 布式存储系统中基于消除编码。三个版本的修复问题被认为是：精确修复

45、、功能修复、准确修复系统的部分。在确切的修复模型中，失去了内容正是再生；在功能 修复模型中，只有MDS-codeH性是相同的之前和之后修复；确切的修复系统部分 系统的完全重建，但一部分nonsystematic部分遵循功能性修复模型。功能性修 复问题本质上是一个问题多播的一个无限数量的来源接收器在一个无界的图。正如我们显示存储和修复带宽和之间的权衡两个极值点是通过MBRf口 MSR弋码。修复带宽的特点是min-cut边界，因此功能性修复问题理解。问题，需要确切的修 复与网络相对应编码与重叠子集有下沉的问题的要求。对于这样的问题，割集边界一般紧和线性码甚至可能不足够了 22。最近我们讨论了 33表明，工作MBR 代码修复带宽的割集为d的有趣的案例是可以实现的吗？n