(整理)可交换矩阵成立的条件和性质

1、精品文档内蒙古财经大学本科学年论文作系专年学可交换矩阵成立的条件与性质者：别：业：级：号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB主BA但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交

2、换律可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrixisanimportantcontentinaltitude-mathematics,ithasagreattheoreticsignificanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsati

3、sfytheexchangeruleunderthenormalcondition,thatistosay,normally,AB主BA.Whereas,insomecertainconditions,themultiplicationofmatrixcouldsatisfytheexchangerule.Theexchangeablematrixhasmanyspecialpropertiesandimportanteffections.Thispaperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyofthee

4、xchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrix.Allofthesearediscussedfromtheconceptofexchangeablematrixandrelativeinformation.KeyWords：matrixinterchangeableconditionspropertyuppertriangularmatrix目录引言1一可交换矩阵及相关定义1（一）矩阵1（二）可交换矩阵3可交换矩阵成立的条件与性质3（一）可交换矩阵成立的条件3（二）相关结论5（三）可交换矩阵

5、的性质7几类常用的可交换矩阵7可交换矩阵的应用8总结10参考文献10致谢10可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的

6、实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义矩阵1、矩阵的定义由mxn个数aC=1,2,m,j=1,2,n）排成的m行n列的数表ija11a21a12a22a1na2nG)an1an2ann个整体，总是加一个括弧，并用大称为m行

7、n列矩阵，简称mxn矩阵，为表示它是写黑体字母表示它，也可以记为A=a）或A.这里的a表示位于A的第i行第j列的ijmxnij元素mxn称为矩阵的阶数.精品文档精品文档矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O.两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算G）加减法ijmxn设A=Ca),B=Cb)为同型矩阵，则ijmxnA+B=Cz+b）ijij这里若设-B为B的负矩阵，即-B=（b），则可以定义减法运算mxnijmxnA一B=Cz一b)ijijmxn（2）数与矩阵的乘积设

8、A=Ca）,keR为实数,ijmxn则kA称为矩阵A的数乘，且kA=Cka)ijmxn即给A的每个元素均乘以数k.（3）矩阵的乘积设A=C),B=b)，则ijmx5ij5xnC2)C3)C4)C5)ijmxn称c为矩阵A与矩阵B的乘积.其中c二ab+abhfabC二1,2,m;j二1,2,n)iji11ji22ji55j即C的第i行第j列元素为A的第i行各元素与B的第j列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A的行数与B的列数相等时，A与B才能相乘.（4）对称矩阵在一个n阶方阵A中，若元素满足如下性质：TOC o 1-5 h zA=A,0i,jn-1（6）ijji则称A为对称矩阵.（5）反对称矩阵

9、设A是一个n阶方阵，如果AT=一AC7）则称A为反对称矩阵.精品文档可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：1.AB有意义时，BA不一定有意义.AB与BA均有意义时，可能它们的阶数不相等.AB与BA均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现AB丰BA.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵A,B满足AB二BA(8)则称矩阵A和B是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若AB二BA成立，则称方阵A与B为可交换矩阵设f(xaxm+aixm-1+aix1+aom一1(9)系数a,a,a均为数域P中的交换数,01mA为P上的一个n阶方阵，记f(a)=aAm+am

10、m-1Am-ihfaA+aE10容易看出：任何方阵A都与其伴随矩阵A*是可交换的，且二者的乘积为|Al|n;对于任何方阵A，f(x)=aAp+aAp-1ffaI01p与g(A)=bAq+bAq-1+-01(一)可交换矩阵成立的条件定理11设n阶方阵A,B满足条件A+B=AB.则A,B可交换.证明由条件A+B=AB,diagle,e=I,变形可得1nA-1+B-AB=(A-1)+B(I-A)=-(A-1)(B-1)即(A-1)(B-1)=I,所以A-1为可逆矩阵，其逆矩阵为B-1,有(A-1)(B-1)=(B-1)(A-1)=I即AB一A一B+1=BA一B一A+1,从而可得AB=BA.定理2刃设

11、A,B均为对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵.证明设A,B均为对称矩阵，由于AB=BA，故(AB=BtAt=BA=AB所以AB是对称的.反之，由于CAB)t=AB，所以AB=(AB)t=BtAt=BA，因此，A,B可交换.精品文档精品文档推论设A为n阶对称矩阵，则A,At都可交换.定理33设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证明设At二A，Bt=_B，由于AB二BA，所以(AB=BtAt=BA二(AB)(10)所以AB为反对称矩阵.反之，若AB为反对称矩阵，则-(AB)=(AB=BtAt=一6a)G)从而AB=BA.定理43设A,B均为反

12、对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵.证明因A,B均为反对称矩阵，故有At=A，Bt=B，又因为A,B可交换，故有AB=BA成立.从而TOC o 1-5 h z(AB)T=BtAt=(B)一A)=AB=BA(12)反之，若AB为对称矩阵，则AB=(AB)T=BTAT=(B)(A)=BA=AB(13)所以A,B是可交换矩阵.定理5若A,B为同阶可逆矩阵，则A,B可交换的充要条件是A-1,B-1可交换.证明因AB=BA，故有B1A1=(AB)1=(BA)1=A1B1(14)即A-1与B-1是可交换的.反之，因A-i，B-1可交换，故有(BA)1=A1B1=B1A1=(AB)1(15)

13、两边求逆得到AB=BA.推论可逆矩阵A,B可交换的充要条件是(AB)-1=B-1A-1.定理613若A,B为n阶方阵，则AB可交换的条件是(AB=ATBT证明如果AB=BA，那么(AB=(BA=ATBT反之，若Cab=BtAt，则(AB=BtAt=(BA，即AB=BA.精品文档精品文档定理75矩阵A能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵.证明若A与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A必为一对角线矩阵设d1d2A=.dn取矩阵11.00.0B=.000.0代入条件AB=BA，得d二d二二d，所以A是一个数量矩阵.12n反之，设A二al,B为任意n

14、阶矩阵，则AB=(aI)B=aB=Ba=(BI=B(Ia)=BA(16)弓理1A=0时(即A为零矩阵时)，与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵.A的幂矩阵总是与A可交换.定理&7与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n-1次的多项式矩阵.定理97一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可交换的矩阵其充要条件为B可化为A的n-1次多项式.定理107下列均是A,B可交换的充要条件：(1)A-B=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)(2)(AB)=AB定理115可逆矩阵A,B可交换的充要条件是：(AB)=AxB.定理127(1)设A,B均为(反)对称矩阵，则

15、A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵设A,B有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.(二)相关结论定理137设A,B是可交换矩阵，则以下结论成立：A2-B2=(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)(A+B=A2+2AB+B2(A-B)2=A2-2AB+B2精品文档(4)(AB)K二BkAk,ABm二BmA，其中k,m分别为正整数AmBmm1+Am2B+Bm1(5)(a+B)m=CkAm-kBkmk=0证明(1)因为(A+B)(AB)=A2+ABBAB2(A+B)(AB)=A2AB+BAB2由已知ab=ba，可得a2B2=(AB)(A+B)=(A+B)

16、(AB)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2由已知AB=BA，可得(A+B)2=A2+2AB+B2同理可得：(AB)2=A22AB+B2由已知AB=BA,可得(AB)k=ABABAB=AABBAB=AAABB=AkBk,ABm=ABBB=BABB=BBBA=BmA运用数学归纳法当m=2时，由(1)等式成立，即A2B2=(AB)(A+B)假设m=k1时，等式成立，即有k2+Ak3BFFBk2)Ak1Bk1=(A当m=k时，由已知AB=BA，有AkBk=(Ak1Bk1(AFB)Ak1BFBk1A)k2+Ak3BHFBk2=(AAk-2B+Bk-1A=Ak+Ak1B+A2Bk-

17、2B2Ak-2B3Ak3一B3Ak1B+Bk1A由性质有Bk1A=ABk1，Ak1B=BAk1因此，上式可转化为：AkBk=Ak+Ak1B+A2Bk2B2Ak2BkAk1B+Bk1A=Ak+Ak1B+A2Bk2+ABk1BAk1-B2Ak2B3Ak3Bk精品文档精品文档k-1+Ak-2B+Bk-1=Ak-i(AB)+Ak-2B(AB)+Bk-i(AB)m-1+Am-2B+Bm-1即证得同理可证得AmBm=(Am-1+Am-2B+Bm-1B)Am-Bm对m用数学归纳法同(4)即可得证.(三)可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.性质12设A,B可交换，则有：AB=BA,BA=A

18、B，其中m,k都是正整数Af(B)=f(B,其中f(B)是B的多项式，即A与B的多项式可交换(3)A-B=(A-B)(A+AB？+B)=(A+AB?+B)(A-B)(4)(A+B)m=CkAm-1Bkmk=0，性质2(矩阵二项式定理)设A,B可交换，则有：若A,B均为对合矩阵，则AB也为对合矩阵若A,B均为幂等矩阵，则AB,A+B-AB也为幂等矩阵若A,B均为幂幺矩阵，则AB也为幂幺矩阵若A,B均为幂零矩阵，则AB,A+B均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n阶实方阵，定理147(1)设A,B至少有一个为零矩阵，则A,B可交换设A,B至少有一个为单位矩阵，则A,B可交换设A,

19、B至少有一个为数量矩阵，则A,B可交换设A,B均为对角矩阵，则A,B可交换设A,B均为准对角矩阵，则A,B可交换设A*是A的伴随矩阵，则A*与A可交换设A可逆，则A与A可交换设AB二E，则A,B可交换.定理1517设AB=aA+卩B,其中a,卩为非零实数，则A,B可交换设Am+aAB=E,其中m为正整数，a为非零实数，则A,B可交换.定理1617设A可逆，若AB二O或A二AB或A二BA，则A,B可交换(2)设A,B均可逆，若对任意实数k,均有A=(A-kE)B，则A,B可交换.四、可交换矩阵的应用例1设A与所有的n阶矩阵均可交换，证明A一定是数量矩阵.证明记(J，用E将第i行第j列的元素表示为

20、1,而其余元素为零的nxn矩阵.ijnxn因A与任何矩阵均可交换，因此必与E可交换.ij由AEij二EA，得ijaii二ajj(i,j=1,2,n)及aij=0(i丰j,i,j=1,2,n).故A是数量矩阵.例2与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解不妨设B为可逆矩阵，由于AB=BA，所以对于任意可逆阵B都有B-1AB二A即A的任意线性变换仍是A自己，这样的矩阵只能是KI.例3如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即A二aE.TOC o 1-5 h z证明记A用E将第i行第j列的元素表示为1,而其余元素为零的矩阵因A与任ijij何矩阵均可交换，所以必与E可交换由A

21、E二EA得ijija=a(i=j=1,2,3,.n及a=0i不等于j)jiijij故A是数量矩阵例4若矩阵A,A都与B可交换，则KA+LA,AA也都与B可交换.121212解由已知AB=BA，AB=BA，那么1122(KA+LA)B=KAB+LAB=BKA+BLA=B(KA+LA)12121212(AA)B=A(AB)=ABA=(AB)A=B(AA)1212121212例5A与B可交换(即AB二BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵(即(AB=AB).解题目根本就是错的，A取单位阵，B取任意非对称阵，那么AB非对称但AB=BA.一定要加一个条件A和B本身都是对称阵才有结论若AB=BA，贝V(AB

22、=(BA=AtBt=AB反之，若(AB=AB，则AB=BTAT=BA.例6设A,B为乘积可交换的n阶矩阵，且初等因子为一次的，则存在n阶可逆矩阵P，使得都为对角矩阵.证明在V中选取一组基，存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为A,B，且A,B与对角形相似.例7所有与A可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解一般地，由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立，如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的，则乘法公式成立例如(A+B)2=A2土2AB+B2oA和B可交换.(A+B)(A-B)=A2-B2oA和B可交换.A和B可交换n(不是o!)有二项公式.例8(1)设矩阵A=diag(a,a，,

23、a)为对角矩阵，其中i丰j时，12na丰a(i,j=1,2,n),则A,B可交换的充要条件是B为对角矩阵若A,B均为对角矩阵ij则，A,B可交换.若B与A=diag(a,a，,a)可交换，i不等于j时，a丰a，12nij(i,j=1,2,n)，证明设B=(b),AB=(C),BA=(d)，因为A为对角矩阵，故jnxnjnxnjnxnc=ab,d=ab(i,j=1,2,n)ijiijijjij由AB=BA，即c=dCj=1,2,n)得ijij-a)b=0ijij而i丰j时，a-a丰0(i,j=1,2,n),ij精品文档精品文档故b.=0(i丰j,i,j=1,2,n)ij所以B为对角矩阵五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行(列)向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，