一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

1、 16.3 一维定态薛定调方程的建立和求解举例（一）一维运动自由粒子的薛定谓方程波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定渭于1926年提出的，称为薛定谓波动方程，简称波动方程或薛定渭方程，它成为量子力学的基本方程.将（16.2.14）式分别对t和x求导，然后从这两式消去E、p、和小，便可得到一维运动自由粒子的薛定谓方程：；：2,-;2-.:x二(ip/ )即优容=E=(p2/2m)V =(Zi2/2m)2-t二 x1由粒子（v c）产薛定谓方程Fl吟(16.3.3)方程（16.3.3）中不含有能量 E和动量p,表明此方程是不受 E和p的数值限制的普遍 方程.请同学们自己试一试，如果上述波函数

2、不用复数表式（16.2.14）,改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定渭方程（16.3.3）式.这薛定谓方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的.薛定谓方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谓方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明.（二）一维运动自由粒子的定态薛定谓方程上述薛定渭方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数少（x, t）.在量子力学中最重要的解，是可把波函数少（x,t）分离成空间部分 u

3、 （x）和时间部分f （t）两函数的乘积的特解，即一维运动自由粒子的定态波函数少（x,t） =u （x） f （t） （16.3.4）将此式代入（16.3.3）式得：i U（x） df =（一 /2m）f （t）d2出dx2两边除以W=uf得：此式左边是时间广那=(J/2m)1 d2uu dx2t的函数，右边是坐标x的函数.已知t与x是互相独立的自变量,左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E,即郭敦仁量子力学初步1617页，人民教育出版社1978年版.郭敦仁量子力学初步 21 22页，人民教育出版社 1978年版.周世勋编量子力学32 33页，上海科学技术出版社 1961年版.2i Idf

4、=E (- / 5/2m) 1d U =Ef dtu dx(16.3.5)因此，一个偏微分方程(16.3.3)可分解成两个常微分方程(16.3.5)以求解.如附录16C所示，(16.3.5)式的E就是粒子的能量 E.上述两个常微分方程的解分别为：iEt /时间波函数 f (t)f(t)=Ce(16.3.6)空间波函数 u(x)U(X)=AsinaX + BCOS50C X (16.3.7)5 =，2mE/0维运动自由粒卜(V c)的定态波数和几率密度,(X,t) =u(x)f(t)=将上式的待定常量 C合并到A和B中，便可得到下式：iEt/ =(Asina x Bcosa x)eIM2 = A

5、sinax +B cosa xT u |2从此式可知，特解 W=uf使得几率密度岫|2与时间t无关，这是粒子的几率分布与时间 无关的恒定状态，因此称为定态.少=uf称为定态波函数，其中空间部分u(X)可称空间波函数，时间部分 f (t)可称时间波函数.如(16.3.9)式所示，定态的几率密度仲|2决定于空间波函数u,与时间波函数 f无关.(16.3.5)式中空间波函数 u满足的方程，称为定态薛定谓方程，此方程重写如下：二维运动自由粒子 卜!定态薛定谓方程(V：?： c),2-d-2 十Qm/% Eu =0 dx(16.3.10)(16.3.7)式表明，空间波函数 u (x)的表式中有三个待定常

6、量A、B、”，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定.下面就要介绍确定常量A、B、a的一个实际例子.(三)一维矩形深势阱中，自由粒子的薛定谓方程定态解(1)金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动，假设可简化为自由粒子的一维运动.在外界条件不变的情况下，可设想自由电子的几率分布是恒定的，不随时间而变.这就是上述定态的一维运动自由粒子的一个例子.上述(16.3.3)至(16.3.10)诸式均可应用于此例子.上述待定常量A、B、%可按此例的边界条件和归一化条件确定之.(2)边界条件确定常量 B与a上述自由电子只能在金属中运动，可设定它的运动范围为0vxvb.在此范围内，设它的势能为零，即

7、Ep=0, E=Ek.在此范围外，它 的势能必须达 到无限大，即Ep一 8 , E 8.所谓Ep 8,就是用势能条 件表示自由电子不能越出金属之外，也就是说，这些自由电子被限制在矩形无限深势阱中运动，如(图16.3a)所示.(图16.3a)一维矩形深势阱按几率来说，在金属表面以外没有自由电子，就是说，在 x W0和xb的范围中，这些电子的几率密度 仲|2=0.因此，在此 范围中，波函数 少=0, u=0.这就是边界条件，或称边值条件.将此边值条件代入（16.3.7）式便可确定B与a的数值，计算如下:在 x=0 处：u (0) =Asin0 +Bcos0 =B=0(16.3.11)1. u (x

8、) =Asin ox(16.3.12)在 x=b 处：u (b) =Asin o(b=0 , o(b=n u即 oFnTt/b,n=1,2,3,(16.3.13)(x,t) =Asin (njtx/b) e(16.3.14)在（16.3.13）式中，u （b） =0不选用A=0的答案.这因为A=0 ,则u （ x） =0 ,仲|2=0 ,这 是x等于任何数值，都使岫|2=0的不合理答案.在（16.3.13）式，不选用 n=0的答案.因为 n=0则a=0、u （x） =0、惇|2=0,这也是处 处都没有电子的不合理答案.在（16.3.13）式，如果选用n=-1,-2,-3,所得少值，与选用n=1

9、,2,3,求得的 力值，绝对值相等、正负号相反.因此，在计算 漳|2时，不必要保留n的负值.（3）归一化条件确定常量 A将波函数表式（16.3.14）代入归一化条件式（16.2.11）,按上述一维情况进行积分，并 考虑到自由电子只在 0vxvb范围内运动，可得结论如下：2A sin a x dx =1二-2b 2QM dx=I。M dx =1日口1 =(A2/2 vb (1 cos2a x dx =A2b/2(A2/4a) bin 2a xb = 016.3.15)= A2b 2 - A2b 4n；：. gin(2nx b) 1b =A2b 2 , A2 = 2 /b , A = V27b二维

10、无限深矩形势阱中，自由粒子（v c）:的定态波函数中 -(x,t)= 2/bsin(n x/b)e_lEt/ , u(x) = 2/bsin(nx/b), 0 x 二 b, n =1,2,3W|2 = u 2 =(2/b)|sin(nTix/b)|2n =1,2,3,0 ：x 二 b（四）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的几率分布从（16.3.17）式可得上述自由粒子的几率密度仲|2的表式:二维矩形深势阱中, 刍由粒子（v c） ,的几率密度（16.3.18）上述空间波函数u和几率密度|小的图线，如（图 16.35所示.自由粒子的运动范围限制在0vxvb,因此（16.3.18）式的角度o（x=n

11、 Ttx/b的变化范围为 0 V冰 v n兀.19广乐八 g（图16.3b）一维矩形深势阱中、自由粒子 的几率密育与能级当量子数 n=1 时，u1 (x) =，2/bsin(Hx/b);里1 =(2/b)sin 2(兀x/b),如(图16.3b)所示，曲线ui和 巴 的最高点都在 兀x/b=兀/2,即x=b/2 处.这就是说，当n=1时，在势阱中x=b/2处，粒子的几率密度最大.这与经典理论所说自 由粒子应是均匀分布的结论不同.经典理论不能说明微观粒子的情况.当n=2时，22U2(x)=V2/bsin(2/b), 2 =(2/b)Sin Qjb).角度的变化范围是 0V 冰 2 兀,曲线u2的

12、最高点在 2兀x/b=兀/2,即x=b/4处.曲线u2的最低点在 2兀x/b=3兀/2,即x=3b/4处.曲 线电还有一个零点在 2兀x/b=兀,即x=b/2处，如图所示.2当n=2时，几率密度 中2的曲线应有两个最高点，在 x=b/4和x=3b/4处，有一个零点 在x=b/2处.当n=3和n=4时的曲线图，由同学们在习题中计算分析.(图16.3b)所示曲线形状，与两端固定的弦线中，形成驻波的形状相似.虽然粒子的物质波与弦线中机械波的驻波，在本质上是不同的现象.但是人们仍然喜欢引用驻波中的熟悉名词描写微观粒子的几率分布，把噂=0的位置叫做波节或节点，把 伸|2的最大位置叫做波腹或腹点. (五)

13、一维矩形无限深势阱中、自由粒子的能级从(16.3.7)与(16.3.13)式可得到能量 E的表式:二维矩形深势阱中,1圻/0成刍由粒子(v c):的能级 EnEn =n2(冗咕2/2mb2) =n2(h2/8mb2)En是能量E的本征值.粒子的能量 E只能具有这一系列分立的数值 En,也就是说，能 量E是量子化的.上述的 n值相当于玻尔理论中的量子数.虽然能级En和量子数n都是玻尔先提出的，但他只作为一种假设提出. 而在量子力学中，从薛定谓方程解出波函数 少的过 程，很自然地得出 En和n,不必求助于人为的假设.最低的能级Ei是为基态能级，相当于n=1的Ei值.其他各级能量En=n2E1，如(

14、图16.3b) 所示.粒子的能量不能小于Ei.但经典理论原以为，粒子的最小能量为零，所以最小能量Ei也被称为零点能.例题 16.3A已知原子核的线度为 b=10 14米的数量级，质子的静质量为 m=1.67 X 1027千克.假设 质子在原子核内作线性自由运动.求： (1)此质子的能量 E和速率v. (2)它的动量p和物 质波波长入.(3)它的总能和频率v. (4)它的空间波函数 u(x)和几率密度伸|2.解(1)把此质子看做是在线度为b的无限深矩形势阱中，作线性自由运动.应用求得它的能量 E (即动能E。：E=n2 (h2/8mb2) =n2X 6.632x 10 68/8 x 1.67x

15、10 27x 10 28=n2X3.29x 10 13 焦.E=Ek=mv2/2, v2=2E/m=2r2x 3.29X 10 13/1.67X 10 27=n2X3.94X 1014, v=nx 1.98X 107米/秒.当vc时，可应用上述计算和下面的计算.p=mv=1.67107XnX1.981C7=nX3.31Cf20千克 W.入=h/p=6.63 x 10 34/nX 3.31 x 10 20=(1/n)x 2.00X 10 14 米.e=Ek+mc2=n2X 3.29X 10 13+1.67X 10 27X9X 1016=n2X 3.29X 10 13+ 1.50X 10 10=1.50 x 10 10焦.v= /h=1.50 X 10 10/6.63X 10 34=2.26X 1023 赫,或 v=c2/v 入=9X 1016/nX 1.98X 107x (1/n)x 2X 10 14=