用几何变换证几何不等式

1、学习必备欢迎下载用几何变换证几何不等式湖北省黄石市下陆中学宋毓彬几何不等式指平面图形中所含线段长度、角的大小、周长、面积等所呈现的不等关系。求证几何不等式的常见思路是：适当运用几何变换，将欲证的不等量尽可能集中到一个三角形（或两个具有紧密关系的三角形）中，以便运用三角形的不等关系性质求证。.用平移变换证几何不等式例1.如图1,在等腰 ABC的一腰AB上取一点 D,在另一腰 AC的延长线上截取 CE=BD,连接 DE。求证：DEBCo分析：BC、DE无法直接比较大小，设法将 BC、DE集中到同一个三角形中进行比较。证明：作 DE / BC,且 DE=BC。连 CF , EF。设 DE 交 BC

2、于 G。四边形DBCF为平行四边形./ DFC= Z B= Z ACBCF=BD=CE./ CEF=Z CFE.一/ ACB为GCE的外角，/ACB/CEG, ./ DFCZ CEG / DFC+ / CFE / CEG+ / CEF 即 / DFE / DEF , DEF 中，DE DF ,即 DE BC例2.如图2, P为边长为1的等边三角形 ABC内任意一点。设 L=PA+PB+PC ,求证: 1.5V L APAC中，由“两边之和大于第三边，易证 L1.5;关 键是如彳S证明LV2。证明：在 PAB、 PBC PAC中，分别有：PA+PB AB ；PB+POBC ；PA+POAC +

3、+得 2 (PA+PB+PC) AB+BC+AC即 2L3, L1.5过 P作 MN / BC,交 AB、AC 于 M、N。AMN 为等边三角形， AM=MN=AN , / AMN= / ANM=60 又/ APM 为八 APN 外角,/ APM / ANM ,/ APM / AMNAPM 中，PAVAM MBP、4NPC 中，PBVPM+BM ；PCvPN+CN + + 得，PA+PB+PC V AM+PM+BM+PN+CN又 AM+PM+BM+PN+CN=(AM+BM ) + ( PM+PN ) +CN=AB+MN+CN=AB+AN+CN=AB+AC=2即 PA+PB+PC 2, 1. L

4、 2由，1.5L/AEC。ABD C图3分析：等腰三角形为轴对称图形，利用对称性将/AEB、/AEC集中到一个易讨论的图形中。证明：作E关于AD的对称点E,连接A E、E C、E E,并延长E E交AC于 F。则有AEB0AE C, ./AEBm/AE C/AE F是AEE外角，/ AE F/AEE/FE C 是ACEE外角，/ FE C/CEE./AE F+/FE O/AEE + / CEE,即/ AE CZ AEC./ AEB Z AEC。例4.如图4,在 ABC中，AE是/ A的外角平分线，D是这条平分线上的任一点， 贝U AB+AC 和BD+DC 之间的大小关系是：AB+AC BD+D

5、C。（填、=或 BCBD+DC BC又 BC =AB+AC = AB+ACBD+DC AB+AC例5.设凸四边形 ABCD的对角线相交于 O,且AC BD ,已知OAOC, OBOD。 求证：BC+AD AB+CD 。分析：利用AC LBD,设法将欲证的四个不等量集中起来。证明：在 OA上截取 OC =OC,在 OB上截取 OD =OD,连BC 、AD 相交于 P。则AC OD COD (SAS) ,，C D =CD由对称性 AD =AD , BC =BCPAB 中，PA+PBAB PC D中，PC +PD C D + 得，(PB+ PC ) + (PA+ PD ) AB+ C D即 BC +

6、 AD AB+ C D. BC+AD AB+CD思路点拨：利用几何图形的对称性构造全等，转移分散的不等量而将这些不等量集中 到同一个封闭图形中或有紧密关系的两个封闭图形中，即可利用三角形中的边角不等关系证相关的几何不等式。3.用旋转变换证几何不等式学习必备欢迎下载例 6.如图 6,在 ABC 中，/ BAC=120 ，点 P 是 ABC 内一点。求证：PA+PB+PC AB+AC 。B分析：要证的线段都不在一条直线上，由/ BAC=120 ,联想到构造等边三角形，将 其中一些线段化折为直。证明：将 APC绕C点逆时针旋转 60至4AP C。连PP、CC。 APC0MP C , PC=PC由旋转

7、性质， APP、 ACC ?为等边三角形PA= PP , AC= AC , / CAC =60/B AC =/BAC+/CAC =180 , B、A、C 在一条直线上。两点间线段最短PB+ PP + PC BC,即 PB+ PP + PC AB+AC PA+PB+PC AB+AC例7.如图7,设F是锐角 ABC内一点，使/ AFB=Z BFC=ZCFA=120 ，而P是 ABC 内任意一点。求证：PA+PB+PC FA+FB+FC 。分析：利用120。旋转构造等边三角形，集中分散的不等量。学习必备欢迎下载证明：将4ABF、4ABP绕B点依逆时针方向旋转 60 ,得到AA BF ,A BP。 连

8、 FF、PP。由旋转性质：AABFAA BF , ABPA A BP BPP、 B FF都是等边三角形。 AF= A F , BF= BF = F F, A P =AP , BP= PP. ./A F B=/AFB=120 , / BF F= Z B FF =60 /A F B+/BF F=180 , /BFC+/BFF =180.A、F、F、C四点在一条直线上。A C= A F + F F+FC=AF+BF+CF由A 、C两点之间线段最短A P + P P+POA CPA+PB+PC FA+FB+FC思路点拨：利用120、60、90、45角等特殊角，通过旋转变换构造等边三角形、 等腰直角三角形等，是转移相等线段关系最重要的几何变换形式。通过旋转变换，将分散的条件集中起来，便于我们证明有关的几何不等式。4.用相似变换证几何不等式例8.如图8,若CD为/ ABC的内角平分线。则：圉8(A) CD2vCA - CB;(B) CD2CA CB学习必备欢迎下载(C) CD2=CA CB;(D)以上都有可能。分析：求证线段乘积式的相等或不等关系，联想到相似三角形。利用角的平分线构造 相似三角形。证明：作/ CDE=/A,交BC于E。AC CD