洛必达法则失效的种种情况及处理方法

1、洛必达法则失效的种种情况及处理方法今天我在看XX书时，看到这样一道题lim 1X xXoSinxdx，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件,也就是说洛必达法则x ag(x)limx af （x）g（x）的三个条件:lim f (x)0(1)x a(或），!叫 g（x）0 (或）；（2）f（x）和g（x）在xa点的某个去心邻域内可导;r f （x） AlimA（3）x a g （x） （或）。其中第三个条件尤其重

2、要。其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的， 由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。 所以在利用洛 必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。lim 1 sin xdxlimlim sin x而对于极限问题x x 0来说，因为x g （x） x不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因 此而说本问题之极限不存在。实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。li

3、m -【问题】求极限x x 0sin xdx【解】对于任何足够大的正数x ,总存在正整数n，使n x （n 1），也就是说总存在正整数 n，使r，其中0 r这样就等价于n所以limxlimnlimnsin xdxlim - n nsin xdxsin xdxsin xdxsin xdxsintdt lim 红卫 Z n n r这里前面一项注意到了函数 sinx的周期为 ，而后面一项作了令 x nt的换元处理。最后注意到积分值R的有界性（0 R 2）。如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。【问题2】求极限（1）3X17Xe【分析

4、与解】3X3X（1）这是 型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到可知洛必达法则失效，处理的方法是lim3”31xxm 3x313xlim3 1!1x3。的情况与1 ）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到limx HYPERLINK l bookmark56 o Current Document xx HYPERLINK l bookmark78 o Current Document eexx HYPERLINK l bookmark80 o Current Document eelimxxxeexxeexxe e xlim x

5、x e e可知洛必达法则失效,处理的方法是分子分母同乘xe ，得到【问题3】xexex.1 e!im 271x 1 e 。1el 求极限！叫x100。【分析与解】这是 0型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件1 1e x ? e xlimlim 五x 0 x100 x 0 200 x102完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有效的t方法是作换元，令12x ，这样就有_2X50叫HX001Xlim还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“2008考研数 学辅导系列之24（ 4月14日博文泰勒公式的应用）” 一文中的6e sin x x（6 7x ）limx 01 x3ln2x（3 x ）【例