2022年《一数学归纳法》教学案3

1、数学归纳法教学案教学目标： 1 明白数学推理的常用方法 归纳法 . 2 明白数学归纳法的原理及使用范畴 . 3 初步把握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论 . 4 会用数学归纳法证明一些简洁的等式问题 . 教学重点：使同学懂得数学归纳法的实质 . 教学难点：把握数学归纳法证题步骤,特别是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用 . 教学过程：一、情形设置 学问导入 探究讨论【学问点总结与归纳】 1 懂得数学归纳法的原理 . 2 数学归纳法的两个步骤缺一不行,前者是基础,后者是递推依据,最终给出结论 . 3 数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题 . 基本学问概要：1. 数学归纳法 : 对于某

2、些与自然数n有关的命题经常采纳下面的方法来证明它的正确性：先证明当 n取第一个值 n0时命题成立；然后假设当 n=k k N* ,k n0 时命题成立,证明当 n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 . 2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0,假如当 n=n0时,命题成立,再假设当 n=k k n0,kN * 时,命题成立 . 这时命题是否成立不是确定的 ,根据这个假设,如能推出当 n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对全部不小于 n0的正整数n0+1,n0+2, ,命题都成立 . 3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： 1 证明：

3、当 n取第一个值 n0结论正确； 2 假设当 n=k kN *,且 kn0时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确 . 由 1 , 2 可知,命题对于从 n0开头的全部正整数 n都正确 . 递推基础不行少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 . 用数学归纳法证题要留意下面几点： 证题的两个步骤缺一不行,要仔细完成第一步的验证过程；成败的关键取决于其次步对 n k 1 的证明： 1 突破对“ 归纳假设” 的运用；2 用好命题的条件；3 正确挑选与命题有关的学问及变换技巧 . 二、课堂练习例1、证明： 2462 nn n1nN1证明： 1 当n1时,左边 =2,右边 =2,等式成立 . 2 假设 nk

4、 时等式成立,即2462kk k那么,当nk1时,2462 k2k1k k12 k1 k1 k2 k1k1 1所以,nk1时等式也成立 . 由 1 和 2 可知,等式对于任何正整数n 都成立 . 归纳总结数学归纳法证明步骤： 1 验证当 n 取第一个值n 如0n=1或2时 命题正确 . k1时命题也正确 . 2 假设当 nk 时kN kn 0命题正确,证明n基础反馈用数学归纳法证明：1aa2aaan1k1an2a,1nN在验证 n=1成1a立时,左边运算所得的结果是 . . 2D.1aa2a3那么A1B.1aC1111 2 kk用数学归纳法证明命题时,假设S kNk12S k1S K11212

5、k112 kk判定下面的证明过程是否正确,假如不正确错在哪？证明：2 1222 3n2n n12n1nN6证明： 1 当n1时,左边 =1,右边 =1 12 611等式成立 2 假设当 nk 时等式成立刻2 12232k2k k12k1n n12n1得6当nk1 时代入2 12232n262 12232k2k12k1k22k36k1 k11 2k116所以当nk1时等式成立1113k11k11由 1 和 2 可知等式对一切正整数均成立. 如n为大于 1的自然数,求证n11n122n24证明 1 当n=2时,211212713122413 2 假设当 n=k时成立,即k11k122k24就当nk

6、1 时,k12k1312112kk12 k2131111311242k12k2k1242 k12k2131132422k1 k124课外练习：1已知 n为正偶数,用数学归纳法证明1111n112n12n11时,如已假设nkk2为23442 n偶数 时命题为真,就仍需要用归纳假设再证1 k2时等式成立1 ,f就 nAnk1 时等式成立BnCn2k2时等式成立Dn2 k2 时等式成立2 设fnn11n121 n2 n有 Nfnn3fn1 fn 11212D21CA11B2122 nn2n1nn12n23用数学归纳法证1222n1 2n2n1 2222 1n2n21 3时,由 n k 的假设到证明 n k 1 时,等式左边应添加的式子是 A k 1 22 k 2B k 1 2 k 2Ck 1 2D1 k 1 2 k 1 2134用数学归纳法证明“ n 1 n 2 n n 2 n1 3 2 n 1” n N 时,从“n k 到 n k 1” 时,左边应增加的式子是 A2k 1 B2 2 k 1 C2 k 1 D2 k 2k 1 k 15某个命题与正整数 n有关,假如当 n k k