二轮复习利用空间向量求夹角学案全国通用

1、培优点十六利用空间向量求夹角.利用面面垂直建系例1:在如图所示的多面体中，平面 ABB1A1平面ABCD,四边形 ABB1Al为边长为2的菱形，ABCD为直角梯形，四边形 BCGB为平行四边形，且 AB/ CD, AB BC , CD 1.(1)若E, F分别为AG , BG的中点，求证：|EF 平面AB1C1；(2)若 AAB 60 , AC1与平面ABCD所成角的正弦值为 叵,求二面角 A AG D的5余弦值.【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）连接AB, 四边形 ABB1Al为菱形，A1B A0 .平面ABBA 平面ABCD,平面ABBBAI平面ABCD AB, BC 平面ABC

2、D,AB BC ,BC 平面 ABRA .又 AB 平面 ABB1A1,AB BC .BC/ B1C1,A1B B1C1. B1C1 I ABi B , AB 平面 ABG . E,F 分别为 AG, BC1 的中点，EF/AB, EF 平面 ABA .（2）设 BC1 a,由（1）得 BG 平面 ABBA,由 AAB 60 , BA 2,得 AB 2x.;3 , AC1 V12 a2 .过点C1作GM DC ,与DC的延长线交于点 M ,取AB的中点H ,连接AH , AM ,如图所示,又 AAB 60 ,，4ABA为等边三角形， A1H AB,又平面 ABRA 平面ABCD ,平面 ABR

3、A I平面ABCD AB , AH 平面ABB1A1, 故AH 平面ABCD. BCGBi 为平行四边形， CG/BB,CG/平面 AABB .又. CD/ AB, . CD/平面 AABB1.CC1 I CD C, 平面 AABR/ 平面 DC1M .由（1）,得 BC 平面 AABB1,BC 平面 DCiM ,BC C1M . BCI DC C ,CiM 平面 ABCD, . CAM 是 AG 与平面 ABCD 所成角.AB/AB, GB/CB, . AB/平面 ABCD, BiCi/ 平面 ABCD , . AB IBi,平面 ABCD/ 平面 abg .AH CiM 超,sin CiA

4、M MC1忖Y5 ,解得 a 装.ACii2 a25在梯形ABCD中，易证DE AB ,uuvuuvuuv分别以HA , HD , HA的正方向为轴，y轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.则 A 1,0,0 , D 0, 3,0 , A 0,0, 3 , R 2,0, 3 ,B i,0,0 , C i, 3,0 ,uuvuuv uuv 由 B与 i,0,/3,v3 ,uuuvACi一 一 uuu3, .3, 3 , AD一 uuv-i,j3,0 , AAi,0,V3 .设平面ADCi的一个法向量为 m xi, yi, ziuuuvm ACi 0uuum AD 0yii ,得 m 3,i,2设平面

5、AAG的一个法向量为nX2,y2,z2 ,由uuiv n AC1 uuv n AA3X23y2 . 3z 0 x2 ,3z2 0令 Z21,得 n3,2,1m n3 2 277cos I m, n） ,r-m|n| *3 1 4，3 4 1 展 “用8又二面角 A AG D是钝角，二面角 A AC1 D的余弦值是2.线段上的动点问题例2：如图，在Y ABCD中，A 30的位置，使平面ABC 平面A BD |.(1)求证：A D 平面BCDAD 厩,AB 2 ,沿BD将 ABD翻折到、A BD一，,、uuuu uuu 一一- 一 (2)若在线段 AC上有一点M满足AM AC,且二面角 M BD

6、C的大小为60 ,求的值.【答案】（1）见解析；（2）.2【解析】（1） 4ABD中，由余弦定理，可得 BD 1 .BD2 AD2 AB2 ,ADB 90 , DBC 90 .作 DF AB 于点 F ,平面 A BC 平面A BD ,平面A BC I平面ABD AB,，DF 平面A BC . CB 平面 A BC , :. DF BC .又 CB BD , BD I DF D ,CB 平面 A DB .又 A D 平面 ADB ,CB AD .又 AD BDBD I CB BAD 平面BCDuuv(2)由(1)知DA , DB , DA两两垂直，以|D为原点，以DA方向为x轴正方向建立如图所

7、示空间直角坐标系 D xyz ,则 B 0,1,0 , C73,1,0 , A 0,0,3 .设 M x,y,z ,x 3 uuuu uuu_则由 AM AC yM、3,33z 33设平面MDB的一个法向量为 m a, b,c ,则由uuvm DB 0uuuvm DM 0b 03 a b 3,3 c 0m 1,0,.平面CBD的一个法向量可取uuv _DA0,073 ,uuv 1cos DA ,m 一0,1 , 3.翻折类问题例3:如图1,在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分另ij将APAD , PBC沿PA ,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O,如图2.在三锥P OAB中，E

8、为PB中点.(1)求证：PO AB;(2)求直线BP与平面POA所成角的正弦值；(3)求二面角 P AO E的大小.【答案】（1）见解析；（2）些；（3） 一.53【解析】（1）在正方形 ABCD中，P为CD中点，|PD AD , | PC BC. 在三棱锥 P OAB 中，PO OA, PO OBOAI OB O , PO 平面 OAB. AB 平面 OAB , PO AB .PKnA|(2)取AB中点F ,连接OF ,取AO中点M ,连接BM .过点O作AB的平行线OG . PO 平面 OAB , :. PO OF , PO OG . OA OB, F 为 AB 的中点，OF AB. .

9、OF OG .如图所示，建立空间直角坐标系 O xyz .A 1,3,0 , B 1,8,0 , P 0,0,1 , M La,02 2. BO BA, M 为 OA的中点，BM OA. PO 平面OAB, PO 平面POA, 平面POA 平面OAB.平面 POAI 平面 OAB OA, BM 平面 OAB,BM平面POA .uuuv BM32,23，0，平面POA的法向量m J3,1,0uuv BP1, 73,1 .设直线BP与平面POA所成角为，则sinuuv cos m, BPuw m BPuuvm BP直线BP与平面POA所成角的正弦值为遮5(3)由(2)知 E 1,立，2 2 2Ou

10、v 1巨1 , OA 173,0 2 2 2设平面OAE的法向量为uuv OA n uuvOE nz 23 .即 n 瓜 1,273 .cosm,n)m n f |m |n由题知二面角P AOE为锐角，它的大小为,对点增分集训、单选题1.如图，在所有棱长均为 a的直三棱柱 ABC ABG中，D, E分别为BB1AC1的中点,则异面直线AD , CE所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设AC的中点O,以Ouv, Oc1,uuvOE为y , z轴建立坐标系,则 A0,a,0 , D 3a0 a , C 0,a,0 , E 0,0, a , 2222uuu则AD3 a aa, 22

11、 2uuvCE0,2,a 5设AD与CE成的角为，则cos023 a3 2 a2a2a24a444a22.在三棱柱 ABC AB1cl中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA底面ABC ,棱BB上,且BD1,若AD与平面AAGC所成的角为,则sin 的值是322210464如图，建立空间直角坐标系,易求点AOD 120 ,4i则空间中两条直线 AD与BC所成的角为（)30【答案】B607590【解析】取AB中点E,以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角 坐标系，如图所示,AOD 120 ,圆锥的底面直径 AB 2 ,高OC J2 , D为底面圆周上的一点, .可得 A 0,

12、 1,0 , B 0,1,0 , C 0,0, v2 , D ,1,0 ,2 2uuu则AD3 3 uuv，一 ,0 , BC2 20, 1, 2 ,设空间两条直线 AD与BC所成的角为uuu uuvi AD BC| uilVi .uiv ad| |bc60 ,即直线AD与BC所成的角为60 ,故选B.4 .已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA PD支5 ,平面ABCD平面PAD , M是PC的中点，O是AD的中点，则直线 BM与平面PCO所成角的正弦值是55 【答案】DD 8 8585【解析】由题可知 O 0,0,0 , P 0,0,2 , B 1,2,0 , C 1

13、,2,0 ,uuvuuu则 OP 0,0,2 , OC 1,2,0 ,1 uuv 3 M 是 PC 的中点，M -,1,1 , BM -, 1,1 22设平面PCO的法向量n x, y,z ,直线BM与平面PCO所成角为uuvsinuuiv uuv . I BM n cos： BM , n : 息u- ;l |BM| |n|型5,故选D.855.如图，在直三棱柱 ABC ABC1中， BAC 90 , AB AC是AB和CC1的中点,点D与F分别是AC和AB上的动点.若GD2,点G与E分别EF ,则线段DF长度的最小值为（则 n 诙 2： 12y 0 可取2,10A. 2 55【答案】AD.

14、2 2【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0), E(0,2,1), G(1,0,2), F(x,0,0), D(0,y,0),uuuuuv则 GD 1,y, 2 , EF x, 2, 1 ,uuu uuv由于 GD EF , GD EFx 2y 2 0, . x 2y 2,故 DFx2 y2 2y 2 2 y25y2 8y 45(y -)2 4 ,5542，当y -时，线段DF长度取得最小值，且最小值为 一行.故选A. 556.如图，点 A R C分别在空间直角坐标系 O xyz的三条坐标轴上，uuuOC 0,0,2 ,平面ABC的法向量为n 2,1,2 ,设二面角C A

15、B O的大小为，则cos ()AT Vh rtf Th iWV Ml3 43【答案】C532323uuu【解析】由题意可知，平面 ABO的一个法向量为： OC0,0,2由空间向量的结论可得：cosuuuOC n 4 uuuC.OC n.如图所示，五面体 ABCDE中，正 ABC的边长为1,AE平面 ABC, CD/ AE ,且八 1 cd Lae.2设CE与平面ABE所成的角为，AEk(k 0),若式汽6,4,则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC所成角的正切值为（. 1.2D.【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,k则 A 0,1,0 , D 0,0,取AB的中点M ,则

16、Muuiv CM2 TOC o 1-5 h z uuv uuiv_由题意sinCE CM3uuuv-uuuv- -，CE CM |27lk2又由-,-,1 sin -JL= 更，解得叵 k 贬，k的最大值为22 , 6 422 1 k222当k y2时，设平面BDE的法向量为nx, y, z ,uuu n DE 则uiv n BEz 22z2取n 3, 1J2 ,由平面ABC的法向量为m 0,0,1 ,设平面BDE和平面ABC所成的角为，则 cos n m ，二 sin , /. tan 2 ,故选 C. n m 338 .已知三棱柱 ABC A B1C1的侧棱与底面边长都相等， A在底面AB

17、C内的射影为 4ABC的 中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于（）bT cTA.【解析】如图，设A在平面ABC内的射影为O,以O为坐标原点,z轴建立空间直角坐标系如图.设 ABC边长为1,则A ,0,033，B1一2D.OA、OA分别为x轴、盟 5 3 16AB16,2, 3.又平面 ABC的法向量为n 0,0,1 .设AB与底面ABC所成角为，则sinuuv t cos AB1, n)uuvAB n 2uuuvAB1 n故直线AB与底面ABC所成角的正弦值为.故选B.9.如图，四棱锥 P ABCD中,PB 平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD II BC ,AB BC , AB

18、 AD PB 3,点E在菱PA上，且PE 2EA,则平面|ABE与平面BED的夹角的余弦值为（C.A.B.【解析】 以B为坐标原点，以 BC、BA、BP所在直线为D.建立空间直角坐标系,D则 B 0,0,0 , A 0,3,0 , P 0,0,3 , D 3,3,0 ,E 0,2,1uuvBE设平面BED的一个法向量为 n x, y,zuuv BE uuv BD2y3x3y 0z轴,1 uuv0,2,1 , BD 3,3,011,一,1 ,平面ABE的法向重为m 1,0,0 , 22cos n, m126 12.，平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.故选B.10.在正方体ABCDABCiD

19、,中，直线BCi与平面A, BD所成角的余弦值为（A.B.C.D.【解析】分别以DA ,DC, DDi为x, y, z轴建立如图所示空间直角坐标系:设正方体的棱长为1,息可得 D 0,0,0 , B1,1,0 , Ci 0,1,1 , A 1,0,1 ,uumBC11, 1,0 ，uumuuu1,0,1 , A1D1,0, 1 , BD设n x, y,z是平面ABD的一个法向量，uuiv AD uuv BDn 1, 1, 1 ,取x 1,得y z 1,，平面ABD的一个法向量为设直线BC1与平面ABD所成角为 ，.二sinuuucos BC1 ,nuuuBC1 n2uuuBC1n石Q3BG与平

20、面ABD所成角的余弦值是C.11.已知四边形 ABCD, AB BDDA 2 , BC CD 圾,现将4ABD沿BD折起，使面角5A BD C的大小在 -, 内，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（ 6 6A.0582C.25 22 5 20, U ,1 D.,8888【答案】A【解析】取BD中点O ,连结AO , CO , AB BD DA 2 , BC CD 2 ,CO BD , AO BD ,且 CO 1 , AO 3 ,AOC是二面角 A BD C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,B(0, 1,0), C(1,0,0

21、), D(0,1,0),设二面角A BD C的平面角为，则56,6连 AO、BO,则 AOC , A 3 cos ,0, 1任当x 1时，cos 取取小值 一，.23 BG), BP与A)所成角的取值范围是,一故选D.6 3二、填空题2, AC 23 , m是AC的中点,则异面直线CB与G M所成角的余弦值为13.如图，在直三棱柱 ABC AB1C1中，AB BC CG1428【解析】在直三棱柱 ABC ABG中，AB BC CC1 2, AC 2向，M是AC的中点, BM以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴, 建立空间直角坐标系,3,0,2 , M 0,0,0 ,uuv

22、CB1uuuu3,1,2 , MC13,0,2 ,设异面直线CB与CiM所成角为，则cosuuv uuuuCBi MCi wu-uuuu CBi MCi1428则 C 3,0,0 , B1 0,1,2 , C1.异面直线CB,与CM所成角的余弦值为14.已知四棱锥 P ABCD的底面是菱形,色.28BAD 60 , PD |平面 ABCD,且 |PD AB ,点E是棱AD的中点，| F在PC上，若PF:FC 1:2,则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为.【答案】4麻35【解析】 以D点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,设菱形ABCD的边长为2,uuv EFr, 3312 4则 D 0

23、,0,0 , E , ,0 , F 0, ,223 3平面ABCD的一个法向量为n0,0,1 ,uuvcos EF,n4 3535即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为4 3535.设a,b是直线，是平面，a ,b ，向量a1在a上，向量b1在b上，a11,1,1,bi (3,4,0),则 ，所成二面角中较小的一个的余弦值为 .15【解析】由题意,1,1,1 , b1( 3,4,0),15cos a1,bi- a , b ,向量a1在a上，向量b1在b上，,所成二面角中较小的一个余弦值为正，故答案为41 .1515.在四B隹P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA 平面ABCD , A

24、B 2 , AD 3 ,BAD 120 , PA x,则当x变化时，直线PD与平面PBC所成角的取值范围是【答案】0, 6【解析】如图建立空间直角坐标系，得 B 0,2,0 , C 3,23,0 ， D 3,3,0 ，2222P 0,0,x ,1 uuv33 uuv设平面 PBC 的法向量 m x,y,z , BC-, ,0 , PB 0,2, x ,uuvBCuw，得 m 1, 3,2 3PB照2 3cos PD, m 12-2：42，3 x2xsin2 34 123 x2sin三、解答题17.如图所示：四棱锥平面PAC 平面PBD0, -6P ABCD,底面ABCD为四边形,AC 2 3,

25、 PCA 30 , PC(1)求证：PA 平面ABCD;(2)若四边形ABCD中,BAD 120 ,AB BC是否在与平面PBD所成的角的正弦值为 3 5738【答案】(1)见解析；(2)十大 PM存在，MCAC BD , BC CD , PB4,PC上存在一点M ,使得直线PM的值，若不存在，请说明理由.MCBM【解析】(1)设ACI BD O ,连接POQ BC CD, AC BD, O 为 BD 中点又 Q PB PD , PO BD平面PAC 平面PBD ,平面PAC I平面PBD POBD 平面PAC ,而PA 平面PAC PA BD在 APCA 中，由余弦定理得 PAuuuvBM1 ,11 PC2 AC2 2PC ACcos30 ,O3222PA2 16 12 2 4 2A/3 4,而 PA2 AC2 PC2 2PA ACPA BD PA 平面 ABCD.BD I AC O(2)过A作AB垂线记为y轴，AB为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系:3 3A 0,0,0 , P 0,0,2 , B 3,0,0 , D ,-,0 , C。3,3,02 2uuivuuvPM MCuuvuuvPB 3,0, 2 , PDuuiv