新高考数学二轮专题《数列》第13讲 数列最值问题（解析版）

1、第13讲 数列最值问题 一选择题（共12小题）1设等差数列的前项和为，且满足，则，中最大的项为ABCD【解析】解：设等差数列的公差为，因此若视为函数，则对称轴在和之间，最大值是，故最大值为又，递减，前8项中递增，故最大且取最小正值时有最大值，最大故选：2设等差数列的前项和，若，则数列的前15项中最大的项是A第1项B第8项C第9项D第15项【解析】解：等差数列前项和，由，得，若视为函数则对称轴在和之间，最大值是，分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又，递减，前8项中递增，前8项中最大最小时有最大值，最大故选：3已知等差数列的公差，前项和为，若，成等比数列，则A，B，C，D，【解析】解：等差数列

2、的公差，若，成等比数列，可得，即，化为，由，可得，则，故选：4设等差数列的前项和为，若，则的最大值为A2B3C4D5【解析】解：，即：，两式相加得：则的最大值为4故选：5设等差数列的前项和为，若，则的最大值是A2B1C0D【解析】解：等差数列的前项和为，即，得，即，则，即最大值是，故选：6设等差数列的前项和为，其中且，则数列的前项和的最大值为ABCD【解析】解：，又数列为等差数列，公差，解得，当时，即，当时，即，数列的前7项为正数，数列的前项和的最大值为故选：7设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是A，B，C，D【解析】解：等差数列满足，由对称轴方程为，

3、由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，解得：首项的取值范围是故选：8设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是A310B212C180D121【解析】解：等差数列满足，设公差为，则，其前项和为，数列也为等差数列，解得，由于为单调递减数列，故选：9设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是A310B212C180D121【解析】解：设等差数列的公差为，数列也为等差数列，化为，解得，数列单调递减，的最大值是故选：10已知数列，的前项和分别为，且，若恒成立，则的最大值为ABC9D【解析】解：由令得，所以或（舍当时，得即因为，上式可化为故数列是以3为首项，公差为

4、3的等差数列，所以所以所以因为，随着的增大而增大，故时最小，所以若恒成立，则的最大值为故选：11若不等式对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：当为偶数时，恒成立，由递增，可得时，取得最小值，则；当为奇数时，恒成立，由，可得，即，综上可得，的取值范围是，故选：12已知有穷数列中，2，3，729且从数列中依次取出，构成新数列，容易发现数列是以为首项，为公比的等比数列记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则ABCD与的大小关系不确定【解析】解：由，解得：，可取，故选：二多选题（共1小题）13已知为等差数列，其前项和，则下列结论一定正确的是A若，则公差B若，则最小CD【解析】

5、解：、当时，因为，所以，故正确 、当，时，满足，无最小值，故错误、当，且满足时，此时，当，且满足时，的符号无法确定，故错误、，故正确故选：三填空题（共10小题）14已知是等差数列，其前项和为，则的最大值为30【解析】解：设等差数列的公差为，解得，令，解得则的最大值为故答案为：3015已知是等差数列的前项和，且，则当25时，取得最大值【解析】解：根据题意，设出等差数列的公差，若，则有，变形可得：，则，则等差数列的通项公式为，分析可得：当时，则当时，取得最大值；故答案为：2516在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为4【解析】解：在各项都为正数的等比数列中，当且仅当时，取等号，的最小值为4故

6、答案为：417若公差为的等差数列，满足，则公差的取值范围是，【解析】解：公差为的等差数列，满足，即有，化为，由方程有解的条件可得，即，解得或，故答案为：，18设为数列的前项和，已知，对任意、，都有，则的最小值为【解析】解：对任意、，都有，令，可得，则，数列是等差数列，公差为2则，令，则，可得，时，函数单调递减；时，函数单调递增又（7），（8）（7）（8）的最小值为故答案为：19设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则且的最小值为32【解析】解：依题意，由，及，的任意性，可令，则，即为数列是以2为首项，2为公比的等比数列，当且仅当，即时，等号成立且的最小值为32故答案为：3220已知数列与的前项

7、和分别为，且，若任意，恒成立，则的最小值为【解析】解：由于且，当时，解得所以，得：，故（常数）所以故所以，由于，恒成立，所以的最小值为故答案为：21已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围为，【解析】解：由，因为，且对任意，故，特别地，于是，此时对任意，当时，由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，由题意，的最大值及最小值分别为和由及，解得综上所述，的取值范围为，故答案为：，22已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是2【解析】解：由，得，取，得，即，解得，由对任意恒成立，得对任意恒成立，可得对任意恒成立，即实数的最小值是2故答

8、案为：223已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且若对成立，则实数的取值范围是，【解析】解：圆的圆心为，半径，可得圆心到直线的距离，则，所以，当时，解得，当时，又，两式相减可得，化为，则为首项和公比均为2的等比数列，可得，设，则，上面两式相减可得，可得，对成立，等价为，即恒成立，设，可得（1）（2）（3）（4）（5），所以的最大值为（2）（3），则，即实数的取值范围是，故答案为：，四解答题（共3小题）24在等差数列中，设为它的前项和，若，且点与都在斜率为的直线上（）求的取值范围；（）指出中哪个值最大，并说明理由【解析】解：（）由已知可得，则公差，；（）最大的值是，即最大又当时，；当时，数列递减所以，最大25设等差数列的前项和为，已知，（1）求公差的取值范围；（2）指出，中哪一个最大？说明理由【解析】解：（1）因为，所以，又因为，所以，即，代入上两式得到，（2）因为，所以，所以，所以，所以所以最大（12分）26已知数列的前项和是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且是，的等比中项（1）求，；（2）若，求实数的取值范围【解析】解：（1）因为，当时，解得，当时时，得，即，所以，由数列的前