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文档简介
1、第9讲 数列的通项与求和综合 一填空题(共1小题)1已知数列的通项公式是,数列的通项公式是,令集合,将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为则数列的前28项的和820【解析】解:两集合中无公共项,的前28项由中的前7项及中的前21项构成所以二解答题(共17小题)2已知数列满足,()求数列的通项公式;()令,数列的前项和为,求证:【解析】()解:由题意,当时,解得,当时,由,可得,两式相减,可得,整理,得,当时,也满足上式,()证明:由(),知,即3已知数列满足(1)求(2)求数列的前项和(3)已知是公比大于1的等比数列,且,设,若是递减数列,求实数的取值范围【解析】解:(1)数列满足当
2、时,当时,故:(首项符合通项),故:(2)由于,所以:,故:,(3)已知是公比大于1的等比数列,且,所以:所以:,由于是递减数列,故:,即:,化简得:,所以:恒成立,由于:数列是递减数列,所以当时,的最大项为,所以:,故的取值范围是:,4(1)已知数列的前项和,求通项公式;(2)在数列中,求数列的通项;(3)在数列中,前项和,求的通项公式(4)已知在每项均大于零的数列中,首项,且前项和满足,求【解析】解:(1),时,;时,由时,(2),时,时,也成立(3),前项和,时,化为:,时也成立(4),数列是等差数列,首项为1,公差为2,时,5(1)在数列中,求数列的通项公式;(2)已知数列的前项和,求
3、数列的通项公式;(3)已知数列满足,求数列的通项公式;(4)已知数列满足,且,求数列的通项公式【解析】解:(1),变形为:,数列是等比数列,公比为3,即(2)由,可得:时,解得时,化为:,数列是等比数列,公比为,通项公式(3)数列满足,时,;时,时也成立数列的通项公式(4)为奇数时,;为偶数时,变形为:,数列是等比数列,首项为5,公比为2,可得:,可得:,6已知为正项数列的前项和,并且()求数列的通项公式;()已知数列满足,求数列的前项和【解析】解:()由题意,当时,化简整理,得,解得(舍去),或,当时,由,可得,则,可得,化简整理,得,即,数列是以3为首项,2为公差的等差数列,()由(),可
4、得,7如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“型数列”(1)若数列为“型数列”,且,求实数的取值范围;(2)是否存在首项为1的等差数列为“型数列”,且其前项和满足?若存在,请求出的通项公式;若不存在,请说明理由(3)已知等比数列的每一项均为正整数,且为“型数列”, ,当数列不是“型数列”时,试判断数列是否为“型数列”,并说明理由【解析】解:(1)由题意得,即,解得或实数的取值范围时,(2)假设存在等差数列为“型数列”,设公差为,则,由,可得:,由题意可得:对都成立,即都成立,且,与矛盾,因此不存在等差数列为“型数列”(3)设等比数列的公比为,则,且每一项均为正整数
5、,且,即在数列中,“”为最小项同理在数列中,“”为最小项由为“型数列”,可知只需,即,又因为不是“型数列”,且“”为最小项,即,由数列的每一项均为正整数,可得,或,当,时,则,令,则,令,则,为递增数列,即,即,所以,对任意的都有,即数列为“型数列”当,时,则,显然,为递减数列,故数列不是“型数列”; 综上:当时,数列为“型数列”, 当时,数列不是“型数列”8已知数列,且,若是一个非零常数列,则称是一阶等差数列,若是一个非零常数列,则称是二阶等差数列()已知,试写出二阶等差数列的前五项;()在()的条件下,证明:;()若的首项,且满足,判断是否为二阶等差数列【解析】解:()数列,且,由于是一个
6、非零常数列,则称是一阶等差数列,若是一个非零常数列,则称是二阶等差数列已知,所以:,证明:(),2,3,又,2,3,解:()不是二阶等差数列理由如下:数列满足又,由,数列是首项为,公比为4的等比数列,显然非常数列不是二阶等差数列9在等差数列中,已知,(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,若,求的值【解析】解:(1)设公差为的等差数列中,已知,所以,解得,由于,所以故(2)由于,所以,则,整理得,解得10设数列满足:,点均在直线上(1)证明数列等比数列,并求出数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【解析】(1)证明:点均在直线上,变形为:,又数列等比数列,首项与公比都为2,解得(2)
7、解:,数列的前项和,相减可得:,11已知正项数列满足若数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)证明:;(3)求证:【解析】(1)解:,为首项为2,公比为2的等比数列,;(2)证明:可得,时也成立(3)由(2)知,当时,原不等式成立12已知正项数列的前项和为,且满足:,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和【解析】解:(1)正项数列的前项和为,且满足:,整理得:,得:,由于数列为正项数列,整理得(常数),故数列是以1为首项,1为公差的等差数列所以,首项符合通项,所以(2)由(1)得:所以13已知等差数列的公差为2,前项和为,且,成等比数列()求数列的通项公式;()令,求数列的前项和;(
8、)若对于,恒成立,求范围【解析】解:()等差数列的公差为2,成等比数列,解得,()由于所以:()由于:,故:;或14已知等比数列的前项和为,且(1)求的值及数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【解析】解:(1),当时,;当时,即,为等比数列,则,的通项公式为(2)由(1)得,得:,15已知等比数列的前项和为,且(1)求的值及数列的通项公式;(2)设,求的前项和【解析】解:(1)等比数列满足,当时,;当时,时也成立,解得,;(2)当为奇数时,;当为偶数时,综上,16已知等比数列的前项和为,且(1)求的值及数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【解析】解:(1)等比数列的前项和为,且可得,时,可得,即,则,;(2),前项和,设,相减可得,则,可得17已知等比数列的前项和为,且,成等差数列(1)求的值及数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【解析】解:(1),成等差数列,当时,当时,数列是等比数列,则,
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