新高考数学二轮专题《数列》第9讲 数列的通项与求和综合（解析版）

1、第9讲 数列的通项与求和综合 一填空题（共1小题）1已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为则数列的前28项的和820【解析】解：两集合中无公共项，的前28项由中的前7项及中的前21项构成所以二解答题（共17小题）2已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）令，数列的前项和为，求证：【解析】（）解：由题意，当时，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，当时，也满足上式，（）证明：由（），知，即3已知数列满足（1）求（2）求数列的前项和（3）已知是公比大于1的等比数列，且，设，若是递减数列，求实数的取值范围【解析】解：（1）数列满足当

2、时，当时，故：（首项符合通项），故：（2）由于，所以：，故：，（3）已知是公比大于1的等比数列，且，所以：所以：，由于是递减数列，故：，即：，化简得：，所以：恒成立，由于：数列是递减数列，所以当时，的最大项为，所以：，故的取值范围是：，4（1）已知数列的前项和，求通项公式；（2）在数列中，求数列的通项；（3）在数列中，前项和，求的通项公式（4）已知在每项均大于零的数列中，首项，且前项和满足，求【解析】解：（1），时，；时，由时，（2），时，时，也成立（3），前项和，时，化为：，时也成立（4），数列是等差数列，首项为1，公差为2，时，5（1）在数列中，求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和，求

3、数列的通项公式；（3）已知数列满足，求数列的通项公式；（4）已知数列满足，且，求数列的通项公式【解析】解：（1），变形为：，数列是等比数列，公比为3，即（2）由，可得：时，解得时，化为：，数列是等比数列，公比为，通项公式（3）数列满足，时，；时，时也成立数列的通项公式（4）为奇数时，；为偶数时，变形为：，数列是等比数列，首项为5，公比为2，可得：，可得：，6已知为正项数列的前项和，并且（）求数列的通项公式；（）已知数列满足，求数列的前项和【解析】解：（）由题意，当时，化简整理，得，解得（舍去），或，当时，由，可得，则，可得，化简整理，得，即，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，（）由（），可

4、得，7如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“型数列”（1）若数列为“型数列”，且，求实数的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列为“型数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“型数列”， ，当数列不是“型数列”时，试判断数列是否为“型数列”，并说明理由【解析】解：（1）由题意得，即，解得或实数的取值范围时，（2）假设存在等差数列为“型数列”，设公差为，则，由，可得：，由题意可得：对都成立，即都成立，且，与矛盾，因此不存在等差数列为“型数列”（3）设等比数列的公比为，则，且每一项均为正整数

5、，且，即在数列中，“”为最小项同理在数列中，“”为最小项由为“型数列”，可知只需，即，又因为不是“型数列”，且“”为最小项，即，由数列的每一项均为正整数，可得，或，当，时，则，令，则，令，则，为递增数列，即，即，所以，对任意的都有，即数列为“型数列”当，时，则，显然，为递减数列，故数列不是“型数列”； 综上：当时，数列为“型数列”， 当时，数列不是“型数列”8已知数列，且，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列（）已知，试写出二阶等差数列的前五项；（）在（）的条件下，证明：；（）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列【解析】解：（）数列，且，由于是一个

6、非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列已知，所以：，证明：（），2，3，又，2，3，解：（）不是二阶等差数列理由如下：数列满足又，由，数列是首项为，公比为4的等比数列，显然非常数列不是二阶等差数列9在等差数列中，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若，求的值【解析】解：（1）设公差为的等差数列中，已知，所以，解得，由于，所以故（2）由于，所以，则，整理得，解得10设数列满足：，点均在直线上（1）证明数列等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解析】（1）证明：点均在直线上，变形为：，又数列等比数列，首项与公比都为2，解得（2）

7、解：，数列的前项和，相减可得：，11已知正项数列满足若数列满足且（1）求数列的通项公式；（2）证明：；（3）求证：【解析】（1）解：，为首项为2，公比为2的等比数列，；（2）证明：可得，时也成立（3）由（2）知，当时，原不等式成立12已知正项数列的前项和为，且满足：，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】解：（1）正项数列的前项和为，且满足：，整理得：，得：，由于数列为正项数列，整理得（常数），故数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以，首项符合通项，所以（2）由（1）得：所以13已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和；（

8、）若对于，恒成立，求范围【解析】解：（）等差数列的公差为2，成等比数列，解得，（）由于所以：（）由于：，故：；或14已知等比数列的前项和为，且（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解析】解：（1），当时，；当时，即，为等比数列，则，的通项公式为（2）由（1）得，得：，15已知等比数列的前项和为，且（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求的前项和【解析】解：（1）等比数列满足，当时，；当时，时也成立，解得，；（2）当为奇数时，；当为偶数时，综上，16已知等比数列的前项和为，且（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解析】解：（1）等比数列的前项和为，且可得，时，可得，即，则，；（2），前项和，设，相减可得，则，可得17已知等比数列的前项和为，且，成等差数列（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解析】解：（1），成等差数列，当时，当时，数列是等比数列，则，