高级微观经济学AMICE06风险决策

1、第6讲 风险决策不确定性风险偏好预期效用11 不确定性不确定性(uncertainty)： 人们不能确定某种经济行为一定会产生某种结果。不确定的环境：价格变化无常，收入时多时少，产量时高时低，风云变幻无穷，等等。不确定的结果：人们的经济活动受到许多不确定因素的影响，导致结果不能确定，从而成为随机事件。概率(probability)：随机事件发生的可能性大小。客观概率：是指随机事件发生的概率是由事件本身的性质决定，属于客观事实，不以人的意志为转移。主观概率：是指随机事件发生的概率基于人们的主观判断或经验，依赖于人们对事件的认识。21.1 预期预期(expectation)：经济活动结果的期望值。

2、 它是以概率为权重进行计算而得到的有关经济活动所有可能结果的加权平均值。例. 海上石油开采公司股票价格当前价格：30元/股未来价格：与某项石油开采计划能否成功有关。若成功(概率为0.25)，股价就要升至40元/股；若失败(概率为0.75)，则跌到20元/股。预期价格：0.2540 + 0.7520 = 25(元/股)结论：该公司股票价格预期下跌，每股损失5元。31.2 风险风险(risk)：是指经济活动未能实现预期结果。方差(variance)：测定风险大小的一种工具，衡量着经济活动各种可能结果偏离预期结果的程度。经济活动 X 的各种可能结果：X1, X2, Xn各种可能的结果出现的概率：P1

3、, P2, Pn预期结果： EX = EX = P1 X1 + P2 X2 + Pn Xn方差：标准差：例. 海上石油开采公司股票价格的方差(风险)预期价格：EX = 25 ( X1 = 40, X2 = 20；P1 = 0.25, P2 = 0.75)方差： = 0.25(4025) + 0.75(2025) = 7541.3 风险决策的三个典型事例风险决策：在不确定环境中进行决策(选择)。三个典型事例抽彩(lottery)：购买彩票。这一行动可能获奖，甚至可能获得大奖，但更可能空手而归。彩票种类繁多，消费者应如何选择彩票进行购买？赌博(gamble)：是一种有输有赢的游戏。赢，赢得赌金；输

4、，输掉赌金。当消费者面对一种赌博时，他该做何选择？是参加赌博，还是拒绝参加？择业(job choice)：社会上有各种各样的职业，有些职业收入低但风险小，有些职业收入高但风险高。面对这些不同职业，消费者该如何选择？51.3.1 抽彩两种彩票：福利彩票、足球彩票。这两种彩票的价格一样，奖品也一样，中奖即得汽车一辆。福利彩票W：中奖概率 p，脱奖概率1 p。足球彩票 F ：中奖概率 q，脱奖概率1 q。抽彩人：中奖的效用为U1，脱奖的效用为U2。问题：抽彩人会选择购买哪一种彩票？答案：取决于抽彩人购买彩票的预期效用。福彩的预期效用：EUW = pU1 + (1 p)U2。足彩的预期效用： EUF

5、= qU1 + (1 q)U2。选择预期效用最大者：若EUW EUF，就买福彩；若EUW 1 p。乙说法国胜，是因为乙认为巴西胜的概率 q 小于法国：q u(50)乙的接受条件：EV v(50)赌博形成条件：EU u(50) & EV v(50)一只巴掌拍不响：只要有一人拒绝，就赌不起来。甲乙必须都接受：只有双方都参与，才能赌起来。111.3.2.2 赌博的一般表述当事人的货币收入效用函数：u(x)不赌：收入稳定为 w 个单位。不赌的收益：w不赌的效用：u(w)赌博：g = (w1, p; w2,1 p)输：输的概率为 p，输掉 w1 个单位的收入(w1 0)。赌博的预期收益：ER = p(w

6、1+w)+(1 p)(w2+w)赌博的预期效用：EU = pu(w1+w)+(1 p)u(w2+w)赌博的接受条件：EU u(w)公平赌博：ER = w，即 pw1 + (1 p)w2 = 0121.3.2.3 从公平赌博看风险态度风险规避者：拒绝公平赌博，认为不赌比赌好。风险中立者：对于公平赌博，赌与不赌一样好。风险爱好者：接受公平赌博，认为赌比不赌好。效用函数性态反映消费者对待风险的态度U = u(x)U = u(x)U = u(x)=风险爱好者风险规避者风险中立者凹函数凸函数线性函数131.3.3 择业情形：某人面对两种工作，需要选择一种。第一种工作：在私企做推销，收入较高，但不确定。干

7、得好：月收入2000元，概率50%。干不好：月收入1000元，概率50%。第二种工作：在国企做售货，收入较低，但较稳定。正常情况：月收入1510元，概率高达99%。异常情况：月收入减到510元，但概率只有1%。问题：该人应选择在私企还是国企工作?抉择：要在这两种工作之间作出选择，必须权衡这两种职业的收益与风险情况。因此，需要计算预期收入和风险。141.3.3.1 预期收入与风险收益：两种工作的预期月收入 ER1 和 ER2。ER1 = 0.52000 + 0.51000 = 1500（元） ER2 = 0.991510 + 0.01510 = 1500（元）风险：用方差衡量的两种职业的风险1和

8、2。1 = 0.5(2000-1500) + 0.5(1000-1500) = 2500002 = 0.99(1510-1500) + 0.01(510-1500) = 9900收益与风险的权衡收益比较：两种工作的预期月收入都为1500元。风险比较：1 2，第一种工作的风险高于第二种。权衡评比：根据个人的风险态度，对两种工作进行权衡，作出评价，然后选择自己最满意的工作。151.3.3.2 风险态度决定职业选择预期收入相同但风险不同：风险态度决定选择。风险厌恶者：选择收入稳定但风险小的第二种工作。风险爱好者：选择具有高收入机会的第一种工作。预期收入不同且风险不同的情形：让第一种工作在“干得好”和

9、“干不好”情况下，月收入都比前面多100元。第二种工作的收入依然如故。预期收入与风险：ER1 = 1600(元)，ER2 = 1500(元)。 1 = 0.5(2100-1600) + 0.5(1100-1600) = 250000 2 = 0.99(1510-1500) + 0.01(510-1500) = 9900第一种工作的预期收入比第二种多，但风险也更大。即使风险厌恶者，只要富有挑战精神，就有可能选择第一种工作。但保守的人可能会选择第二种工作。162 风险偏好消费集合 X ：商品空间 的非空凸闭集。消费者偏好 ：X 上自反、传递、完全的二元关系，代表消费者在确定环境中的偏好。风险环境：

10、消费者的选择行为受到许多随机因素(自然状态)的影响，导致选择结果不能确定。状态空间：影响人们选择的自然状态的全体。事件域F：随机事件的全体，由的一些子集组成。概率度量函数 P: F0,1：(客观或主观地)测定随机事件发生的概率。风险行为 ：具有多种可能的结果，但每种结果都是消费集合 X 中的商品篮子，因而 是一个随机向量。172.1 偏好向风险环境的扩展两种确定行为：x, yX 且 x y。风险行为 ： = 0.7 x 0.3 y风险行为 ： = 0.3 x 0.7 y对 x, y, 的偏好排序：x y两种风险行为：, , 复合行为： ( p) = (1 p) p (0 p 1)偏好排序： (

11、 p) (q) p 0 时， ；当 p = 0 时， 。182.2 风险偏好公理风险选择集合：X = | : X 是随机向量风险偏好 ：是消费者偏好 向风险选择集合的扩展，是 X 上自反、完全、传递的二元关系。阿基米德公理：对任何, X，若 ，则存在 p,q(0,1)使得 (1 p) p (1q) q。独立性公理：对任何, X及任何 p0,1，若 ，则 (1 p) p (1 p) p 。连续性公理：对任何, X，集合 A和B都是闭 A = p0,1| (1 p) p 集，其中 。 B = p0,1| (1 p) p 192.3 几个重要事实 定理1 在连续性公理下，对任何, X，若 ，则存在

12、p(0,1) 使得 (1 p) p 。定理2 在独立性公理下，下述事实成立：事实1：对任何, X及任何 p0,1，如果 ，那么 (1 p) p (1 p) p 。事实2：对任何, X及任何 p0,1，如果 ，那么 (1 p) p 。事实3：对任何,X及 p,q0,1，若 且 p q，那么(1 p) p (1 q) q。事实4：连续性公理 阿基米德公理(最低要求)202.3.1 定理1的证明任意给定, X， 。令A = p0,1| (1 p) p B = p0,1| (1 p) p 则 0A，1B，并且根据连续性公理可知，A与B都是闭集。0,1的连通性保证了 AB ，故存在 pAB。对于如此得到

13、的 p0,1，显然有下述事实：(1 p) p & (1 p) p 故 (1 p) p ，从而 p(0,1)。定理1得证。212.3.2 定理2的证明事实1的证明：既然 ，那么(1 p) p (1 p) p 且(1 p) p (1 p) p ，故(1 p) p (1 p) p 。事实2的证明：既然 ，根据独立性公理，我们有： = p (1 p) p (1 p) = (1 p) p (1 p) p (1 p) p = 故 (1 p) p 。事实3的证明：已知 且 p q，令 = (1 q) q。根据事实2， 。令 t = p/q，则 t0,1。又从事实2可知，(1t) t 。注意，(1t) t =

14、 (1t) t (1 q) q = (1t) + t(1q) t q = (1 p) p。可见，(1 p) p = (1 q) q。事实3得证。事实4的证明：可用反证法直接证明(略去)。222.4 风险行为的分布X 的分布函数 f ：分布函数的作用：随机向量可用其分布函数来表示。退化分布：若 x ， (x) = 1；否则， (x) = 0。复合分布：若 f, g 分别是,X的分布函数，那么 p f + (1p)g 是 p (1p) 的分布函数，称为复合分布复合行为的分布函数。证明：令B = () x，A为一概率为 p 的随机事件。则 = p (1p) 表示：若 A 发生， =；否则， =。23

15、2.5 分布集合分布集合D：风险选择集合 X 中的随机向量的分布函数的全体。D是凸集：(f, gD)(p0,1)( p f +(1 p)gD)可用 D 代替 X：用分布函数表示风险选择行为。风险偏好公理的几何图示f g h (1p) f + pg(1q) f + qgf g h (1p) f + ph(1p)g+ phh f g AB阿基米德公理独立性公理连续性公理242.6 预期结果与风险风险行为： X，其分布函数为 f。预期结果：E，也可用 Ef 表示。风险(方差)： =Var( ) = E( E )，风险偏好：风险态度：规避者、中立者、爱好者风险规避者：E 风险中立者：E 风险爱好者：E

16、 253 预期效用预期效用的通常概念效用函数：u : X R预期效用：凸线性：Eu(1p) f + pg) = (1p)Eu( f ) + pEu(g)，即 Eu(1p) p) = (1p)Eu( ) + pEu()预期效用的一般概念风险效用函数：u : X R（或 u : D R）(,X)( ) (u() u()预期效用性质：u(1p) p) = (1p)u( ) + pu()预期效用函数：凡是具有预期效用性质的风险效用函数，都叫做预期效用函数。263.1 预期效用函数的存在性定理 对于风险偏好 来说， 具有预期效用函数 当且仅当 满足阿基米德公理和独立性公理。进一步， 的预期效用函数在仿射

17、变换下唯一，即如果 u 和 v 都是 的预期效用函数，则存在实数 a 和 b 使得 v( ) = a + bu( ) 对一切 X 成立。预期效用的基数意义u()：预期效用函数u(1p) p) = (1p)u( ) + pu() 表明，(1p) p 的效用等于预期效用(效用期望值)，可见 u()和u()必是基数效用，即预期效用函数必然是基数效用函数。上述定理表明了基数效用函数的存在性。273.2 预期效用函数的积分形式积分形式：VNM效用函数u : X R：是指从 u 得到的数学期望函数 成为风险偏好 的效用函数，即 (,X)( Eu( ) Eu()。这是由数学家冯诺伊曼和摩根斯顿最早提出来的，

18、故称为VNM(von Neumann-Morgenstern)效用函数。在VNM效用函数下，风险偏好的预期效用函数具有积分形式，因而是通常的预期效用概念，即效用期望。问题：风险偏好的VNM效用函数是否存在？283.2.1 可测偏好与单调性公理假定： = X 且 (xX)(xF )（F为事件域）每种确定的结果都可看成是一种自然状态。由每种确定的结果构成的单点集都是随机事件。可测偏好 ：是指对任何xX，yX| y xF 且 yX| y xF。单调性公理：对任何X及xX，都有(P() x=1) ( x)(P() x=1) ( x)293.2.2 VNM效用函数存在性定理 设 = X 且 (xX )(xF )。如果风险偏好 是可测偏好且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理，则存在有界可测函数 u: X R 使得 成为 的效用函数，即对任何,X，都有 ( )