不等式证明的基本方法·例题

1、不得用于商业用途仅供个人参考不等式证明的基本方法例题例5-2-7已知a,b,c$R+，证明不等式：a+b+Vab+Vca当且仅当a=b=c时取等号。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse解用综合法。因a0,b0,c0,故有a+b2当且仅当b吋取等号；b+c2当且仅当b时取等号；c+a2当且仅当严謝取等三式分边相加,得Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse当且仅当a=b=c时取等号。例5-2-8设t0。证明：对任意自然数n不等式Forpersonal

2、useonlyinstudyandresearch;notforcommercialusetn-nt+(n-l)三0仅供个人参考都成立，并说明在什么条件下等号成立。解当n=1时，不等式显然成立，且取等号。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse当n2时，由幂分拆不等式，可得以下n-1个不等式:12+I三t+t,13+I三t?+1,，tn-l+1三tn-2+1,tn+1三tn-l+t以上各式当且仅当t=1时取等号。把它们分边相加,得tn+(n-1)tn-nt+(n-1)0故对任意nN,不等式获证。等号成立的条件是n=1,或t

3、=l。注在以上不等中令t=l+x(x-l)，即得著名的贝努利不等式(1+x)三1+nx令t=-f,可得包11+门-1)屮為必叫例5-2-9设a,b,c都是正数,证明不等式当且仅当a=b=c时取等号。分析本例有多种精彩证法。根据对称性,可从左边一项、两项入手当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。解法一从一项入手,适当配凑后由平均值不等式知仅供个人参考三式分边相加，即得壬+丄+二+b+0当且仅当二+学，字，厶=学同时成立，SPa=b=cb+c4c+a4a+b4时，上式取等号。法二从两入手，利用幂分拆不等式，有a2b2Fb+cc+aa2c+b2c+a3+b3(b+c)(c+a)a2b21

4、c+ab+ca2c+b2c+a2b+ab2(b+c)(c+a)所以+(当且仅当“b时取等号)b+cc+ac+ab+c同理有b2c2、.b22+甲+c+aa+ba+bc+a2222ca、ca+a+bb+cb+ca+b（当且仅当b时取等号）当且仅=b吋取等号）仅供个人参考三式分边相加，得a2b2c2lfb+cc+aa+b2、2(b+c)2(2L2(a+O+2(b+c)+2(a+b)=|(a+b+c)a2+c2|b2+c2,a2+b21a+cb+ca+b(当且仅Sa=b=cBt取等号)法三从整理入手，原不等式等价于fb2+b+lc+afc2ia+b+Cabc、3Ob+c：+c+乱+b2|(a+b+c

5、)进一步证明参考习题5-2-7(1)解答。法四由平均值不等式x?+(入y)22入xy(x,y,WR+)的变式匕：2a-2(b+c)c+ac22XC-k2(a+b)a+bb2Xb-X2(c+a)三式分边相加，得仅供个人参考因此，欲使原不等式成立，只须存在,使2。一沪)=、解得入=$所以吕+丄+二扣+b+c)当且仅当迪=(b+c),b=(c+a),c=(a+b)即迪=b=u时耳膜爭号注从证法4我们看到，利用平均值不等式x?+(入y)22入xy(x,穴討)的变式号沁“-当且仅当hy时取等号)证明某些分式不等式，思路自然，简捷明快，颇具特色。例5-2-10已知关于x的实系数方程X2+px+q=0有两个

6、实数根a,0。证明：若|a|4+q。解先证|q|4,由韦达定理知|q|=|a0|=|a|0|4+q。欲证不等式即0W2|a+0|4+a0。故只须证4(a+0)2(4+a0)2即4a+8a0+4020仅供个人参考即(4-aJ(4-02)0由|a|V2,|0|V2,知a24,024,故最后不等式成立，从而原不等式得证。例5-2-11证明：若a,b,c是三角形的三边,则3(ab+bc+ca)W(a+b+c)2V4(ab+bc+ca)当且仅当三角形为正三角形时,左边取等号。解左边不等式等价于3(ab+bc+ca)Wa2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲证此不等式成立,只须证ab+bc+caWa2+

7、b2+c2即证2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)三0左边配方即为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20此不等式显然成立，当且仅当a=b=c,即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。欲证右边不等式,仿上只须证a2+b2+c20即证a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)0不得用于商业用途不得用于商业用途仅供个人参考由于a，b，c是三角形的三边，此不等式显然成立，故右边不等式获证。综上所述，原不等式得证。例5-2-12设f(x)=X2+px+q(p,qR)，证明：101-|O|9|f(3)|中至少有一个不小于若|p|+|q|VI,则f(x)=0的两个根的绝对值都小

8、于1。解用反证法假设|f|,|fI都水于则有|f(l)|+2|f(2)|+|f(3)|+2X|+j=2但是,|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|三f(1)-2f(2)+f(3)=(1+p+q)-2X(4+2p+q)+(9+3p+q)=2(ii)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。假设f(x)=0的两根x,x的绝对值不都小于1,不妨设|x|1,那么由韦达定理，有|p|=|-(x+x)|=|x+x丨三|x|-|x|1-|x|1212122|q|=|xx|=|x|x|三|x|12122两式分边相加,得|p|+|q|三1这与题设矛盾,故假设不成立,即原命题得证。仅供个人参考不得用于商业用途注反证法的逻辑程序是：否定结论f推出矛盾f肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题，或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfurdenpersdnlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquementadesfinspe