相似比例线段和黄金分割比例线段

1、相似图形(1)一、知识要点：1.两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段 (ratio) AB ： CD = m ： n,或写成-AB m.AB、CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比比例线段和黄金分割CD n注意：(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比;(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.成比例线段：是指在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段成比例.关于成比例的数，有以下性质：(1)比例的基本性质： 如果a ：

2、b= c ： d,那么ad= bc；如果ad= bc那么a ： b= c ： d .特殊地，如果a ： b= b ： c,那么b2= a c ；如果b2 = a c那么a ： b= b ： c.这条性质是今后比例式与等积式互化的理论依据.(2)合比性质：如果_? = ,那么b d(3)等比性质：如果a cmzi_ ,(b +dbdnc、a c , -m a十一十门#0),那么=-b d :：；+nb这里设旦= b dm ,=k nm= kn,是今后学习中常用方法.黄金分割点如图，点C把线段AB分成两条线段 AC和BC(ACBC )，若 AC ABBC，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线 A

3、C段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 AC= *5 -1 AB2C二、典型例题例1.已知:c e=一 =2d f(b+d+fw0)求：(1)：+*；(2)a -c -e-；(3)b -d -fa -2c 3ea -5e；(4)b -2d 3f b -5f分析：利用比例的性质求解。 TOC o 1-5 h z 扃刀 *ac3解：一=-=2bdfa=2b,c=2d,e=2f. ( 1)aceb d f b d f a -c e 2b -2d - 2f2b 2d 2f 2(b d f) -=2bd f b -d fa -2c 3e2b -4d 6fb -2d - 3fb -2d - 3

4、fb d f 2(b -d +f) =2 b -d f 2(b -2d 3f) b -2d 3fa -5e 2b -10f 2(b -5f)=2b -5f b -5f点评：注意整体思想的应用b -5f2x 2 y z3y -z分析：这里三个比相等，我们应马上想到等比性质，使用等比性质的证明方法，设辅助字母.解：设=3=k, TOC o 1-5 h z 234则 x=2k, y=3k, z=4k.2x 2y z 2 2k 2 3k 4k 14 =一.3y -z3 3k -4k 5点评：(1)辅助字母k成为x、v、 z间的桥梁，这种数学思想很重要.(2) )=3，也可写成x ： y： z=2 ：

5、3 ：234除ij 3.已知 a ： b ： c=4 : 3 : 2,且 a+3b- 3c=14.(1)求 a,b,c (2)求 4a 3b+c 的值.分析：设比值为 k计算。解：(1)设 a=4k,b=3k,c=2k. a+3b 3c=14 .4k+9k6k=147k=14k=2 a=8,b=6,c=4(2) 4a-3b+c=32-18+4=18点评：辅助字母k成为a, b之间的桥梁。快K已知：9 = W=x，求x的值. cab分析：因为等比性质的条件是“b+d+, +nw0”所以要分“ c+a+b=0”和“ c+a+bw 0”两种情况讨论.a b b c c a 2(c a b)解：当 c

6、+a+bw0时，x= - =2 ；c a b cab 当 c+a+b=0 时，有 a+b= - c,所以 x= a +b =於=1. c c点评.在运用等比性质时，要注意“b+d+nw0；否则会造成错误.例5.在8BC中，D、E分别是AB和AC上的点，胆=BC= AC =并且MBC的周长为6.9cm.八七匚事年u/AD DE AE 2分析：由等比性求丛DE的周长.质，可以求出两个三角形的周长比。解：AB BC AC 3=一，AD DE AE 2AB+BC+AC 3=AD+DE+AE 2:MBC的周长为 6.9,即 AB+BC + AC = 6.9,2AD +DE+AE=-X6.9= 4.6,即

7、 MDE 的周长为 4.6cm.3点评：注意等比性质应用。 TOC o 1-5 h z . .一 x-4y-zz-8 一.6.如果=-=,且x+y+z=12,求x、V、才勺值.324分析：可考虑用等比性质，由 -=匕=马上8,得x*4+y+z+z+8 = zl8 ,也即3243 2 4412，2 +z =18,解出z的值，然后可很容易求 出y、z的值.94解：此计划为演示，具体内容参看条款利用等比性质，可得x -4 -y -z -z -8z 8即 x y z 12 z z 8x +y +z =12 ,24 z z 8z =4.894由一二3,得x34由 5.6 +y +4.8 =12,得=5.

8、6 ，y =1.6 .点评：此题由于有条件x+y+z=12,由合比性质可直接利用这一条件，非常方便此题也可以用其它方法 解决：设一3y +z = z +8 = k,贝 1 x +4= 3k, y +z =2k, z+8=4k, x +4 +y +z +z +8 =3k +2k+ 4k,即 x +y +z y2 +z =9k,24 +z = 9k,联立方程组24 +z =9k 加/曰,解得 k = 3.2 , z=4.8z，8 =4k，x =3k -4 =5.6 ， y=2k 8=1.6 .仞什.已知:x=y=z, 27 5分析：利用比例的性质，解：-C =yx y-zx试比较A、B、C三者的大

9、小.求处A,B,C的值，再作比较。根据等比性质：x y z2 5 7, x +y +z =2y,A2y 22 752c x zx +z =y,二 B =y=y =1.x +y -z =2x, C =2x=2 xABC.点评：此题还有下面的解法:.A二y x y z x +y zC :一- x二 ABC.设x27k=k,则 x= 2k, y =7k,2k 7k 5k2k +7k-5k2k 5k二1 ,7k2k二2纸张的大小如图,(1)(3)将一张长、宽之比为行的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE, AEML , GMFH ,LGPN.矩形 ABCD、BCFE、AEML、GMFH、

10、LGPN长与宽的比改变了吗?在这些矩形中，有成比例的线段吗?你认为这些大小不同的矩形相似吗?此计划为演示，具体内容参看条款分析：通过计算说明.解：(1)矩形 ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变设纸的宽为a,长为J2a,则 TOC o 1-5 h z -2BC=a, BE= aAE=-a, ME = -MF = -, HF=_2a 24.2aLG =a, LN=.BC .2-=a : -a= q2生=2a：亘=应 TOC o 1-5 h z ME 22MF a.2.= a =q2HF 24史二二 a： a=、2LN 44所以五个矩形的长与宽的比不改变(2)在这些矩形

11、中有成比例的线段这些大小不同的矩形都相似点评：根据线段的比的定义解题 .例9.如果一个矩形 ABCD(ABBC)中，AB =占5二1y 0.618 ,那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感BC 2在黄金矩形 ABCD内作正方形 CDEF ,得到一个小矩形 ABFE (如图)，请问!形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性EBF. 5 -1AB - 2分析：关键利用黄金分割的有关定义说明解:矩形ABFE是黄金矩形理由如下 TOC o 1-5 h z 一 AB .5 -1一由于 =,设 AB=( V5 1)k, BC=2k,BC 2所以 FC = CD=AB, BF=BC- FC =

12、 BC-AB=2k-(痣1)k=(3指)k,BF (3 - -5)k5 -1所以=,所以矩形 ABFE是黄金矩形.AB (,5-1)k2区J10.以长为2的线段AB为边作正方形 ABCD ,取AB的中点P,连结PD ,在BA的延长线上取点 F,使PF = PD,以AF 为边作正方形 AMEF,点M在AD上，如图此计划为演示，具体内容参看条款（1）求AM、DM的长.（2）求证：AM2=AD - DM .（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗? 分析：通过计算证明.解：（1） .正方形ABCD的边长为2, P是AB中点.AB=AD=2, AP = 1在RtAAPD 中，PD= JAP2

13、+AD2 =j5PF=PD,AF =PF -AP= 75-1,AMEF是正方形，AM =AF=75 1DM =AD - AM =2 - （ 5 1） =3- 1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪 方法的示意图，并写出相应的a的值.解：方案（1）:.长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）1a 1由（*）得图4- 1此计划为演示，具体内容参看条款211 一a, , x= ,a=a方案(3):.2(*)得y= 2a11二a2a1 z= a2鹏一12图4-2方案(4):(*)得b ,b=- a.1n=1 am=a2- 11=1.1 m+n=1请您欣赏：我们常常听说有 黄金分割”这个词， 黄金分割”当然不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵 .那么这个比例是多少呢？是0.618.人们把这个比例的分割点，叫做黄金分割点.把0.618叫做黄金数.并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、更协调.在生活中，对黄金分割”有着很多的应用比如人：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618.比如，演员在台上的时