弹性力学的半逆解法

1、第 页弹性力学的半逆解法研究指导老师：刘平姓名：曹天阁班级：研13学号：M13746弹性力学的半逆解法研究姓名：曹天阁学号：M13746摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。这种方法简化了计算过程。本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。关键词:弹性力学;解析法;应力函数THESEMI-REVERSEMETHODTOSOLVEPROBLEMSOFTHEELASTICITYAbstract:Stresscomponentfunctionsareusedtosolvetheproblemsofelasticitybasedon

2、theequilibriumequationsandstresscompatibleequationaccordingtoboundaryconditions。Shearstressfunctionisrecom2mendedtosolvetheelasticityproblems。Keywords:elasticity;analysismethod;stressfunction半逆解法是圣维南于1856年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过

3、积分求出应力函数从而求得各应力分量1。这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。为此，我们可以在假设某一应力分量，利用平衡方程求出其余的应力分量后再代入相容方程求解。这样，由于未经过消元运算，所以方程的阶数较低，可以大大简化运算。如果所设函数不是问题的解，还可以通过放松边界条件，进而求出一组近似解2。由平衡方程可以看出，通过假设剪应力函数而用平衡方程求出其余应力

4、分量较方便。11,gT!-i1*F图1受均布载荷的简支梁(1)第 页1用应力分量函数求解弹性力学问题的实例1.1受均布载荷的简支梁y平面问题的平衡方程与相容方程是xy+dxTOC o 1-5 h z8tdoV2(0+o)二0 xy把(1)式的前两式分别对y与x求偏导并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到(2)V4T=0 xy由式可以看出：函数的指数一般不超过3次，可以用三次多项式求解，也可以直接利用材料力学结果求解代入方程(1)的前两式积分后可以得出6qx2yh32qy33qx2h+g(x)(3)(5)把(3)式代入方程(1)的第三式可求出f(y)一4qy3+Ay2+D+Eg(x)二-Ax2+

5、Bx+C利用边界条件y=-h/2时，Oy=-q;y=h/2时，得到A=B=0，Cq/2;利用端部L截面合及合力矩条件Jh2Qd=0,J2oydJ-h2xy-h2xh2Ty-hxy-2dy=-ql,得到H二6qLh33q_5h，K=0。受均布载荷的简支梁应力解为o=空(L2-x2)+竺(也-3)xh3hh25第 页(6)a=-q(Z+1)(空-1)2y2hh6qx加2、p二一(-y2)xyh341.2半无限平面受法向集中力的弗拉芒解3图2半无限平面受集中力对于长度远大于梁高度的地基梁，可简化为集中力用作用半无限平面上的平面应变问题(见图2)。利用极坐标求解，极坐标下的平面问题平衡方程与相容方程是

6、do机a-aTOC o 1-5 h z严+恥+p胆=0 HYPERLINK l bookmark39 dpdpp HYPERLINK l bookmark41 dTda2(7)(8)pk+d+乩二0 HYPERLINK l bookmark45 dppdp考察主应力坐标系下的拉梅-麦克斯韦尔方程3daa-a小 HYPERLINK l bookmark49 1+12=0dsp12daa-a八2+12=0dsp21式中，s，s分别为主应力坐标系下a，a方向的曲线坐标;p，p分别为主应力坐121212标系下曲线坐标的曲率半径。根据边界条件和对称性知道s为直线束，而s为圆弧。所以必有T二0，利用12p

7、p兀式积分得到a二f(p)。根据边界条件可知，当0=，a二f(p)二0。把这一结果2代入平衡方程的另一式，则有dop4+q二0dpp解得o二型，再带入相容方程PP(10)pdp+p2d2JOP_0，得至方程(10)的解是F(0)二Acos0+Bsin，所以(11)_(Acos+Bsin利用分布在半径为p的半圆上op的合力为F的条件，可得到（11）式中的代定常数A_丄,B_0。由此得出，弗拉芒解为2兀Fcos02兀p，O0_0,Tp(12)1.3薄板柱面弯曲的近似解一个对边简支，长为b，宽为a（ab）,厚度为t的薄板受集度为q的均布载荷作用（见图3）,下面给出近似解。空间问题不计体积力的平衡方程

8、和相容方程为(13)V4T=0,V4T=0,V4t=0 xyyzzx由于把y向的长度b视为无限长的柱面弯曲，则该问题简化成两维问题，所有应力分量均不含自变量y。显然各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的，或者各分量增加一个常数项，它们仍能满足所有方程。为此，可以参考材料力学中梁的解，取二0，y1zzb=2q(云-)2(1+_)，T=0，T=0。原方程组为z2ttxyyz(13)Txz=-2qx把所取的应力分量分别代入(13)式中的各方程，可以求(14)1z2=-3qx石+匸)+xf(z)+F(z)把(14)式代入相容方程(22+2q、x2z2丿13z+44t(1、1z3一3qx2+丿V4t13丿xf(z)+F(z)二0解之可得到问题的解=-2q(1-12t丿(1+7)，T=Txyyz(15)这个结果对相对两边受约束的狭长板来说也有相当满意的精度，而且与一般求解板的位移法相比其求解过程大大简化了。2结论通过以上实例可以看出，直接按应力的平衡方程及相容方程通过用应力分量函数的方法求解弹性力学问题可以大大简化求结果程。由材料力学中儒拉夫公式的推导过程及弹性力学理论分析的结果知道，弹性体内的剪应力对边界条件敏感性较差，借用材料力学的剪应力函数求解往往能得出较为满意的结果。认真分析弹性体内各应力分量的分布特