2721相似三角形的判定

1、第27章 相似27.2 相似三角形27.2.1相似三角形的判定平行线分线段成比例定理请分别度量l1 , l2, l3在l 上截得的两条线段AB, BC和在l 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与DE：EF相等吗？ABCDEFl1l2l3ll 结论：AB： BC=DE：EF平行线分线段成比例定理任意平移l3 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, 它们的比值还相等吗？ ABCDEFl1l2l3ll 结论：AB： BC=DE：EF 事实上，当l1 /l2 / l3时，都可以得到 ，还可以得到 ， ，ABCDEFl1l2l3 ll等等.上下全上下全上下上下 想一想：通过探究，

2、你得到了什么规律呢？三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的比相等.归纳平行线分线段成比例定理：ABCDEFl1l2l3ll( )思考如果把图中l平移使两条直线相交，交点A(D)刚落到l1上，能得到什么结论？依据是什么？ 在ACF中，BECF，则有等等比例式.l1l3ll ABCDEl2在ABC中，DEBC，交AB、AC于点D、E，则所截得的对应线段成比例ADEBCl3在ABC中，DEBC，交AB、AC的延长线于点D、E，则所截得的对应线段成比例ABCDEFl1l2l3ll思考如果把图中l平移使两条直线相交，交点B(E)刚落到l1上，能得到什么结论？依据是什么？ 在BCF中，ADCF，则有等等

3、比例式.( )l2l3ABCDEl1ll ABCDE在ABC中，DEBC，交AB、AC的反向延长线于点D、E，则所截得的对应线段成比例l1l3ll 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2推 论l2l3ABCDEl1ll ABCDE平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.新知应用例1 如图，在ABC中，DEBC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD. AE=3. 解AC=4，EC=1， DEBC， AD=2.25， BD=0.75.新知应用 例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DFAC，

4、EFBC求证：ODOAOEOB 证明： DFAC，EFBCABCDEF一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）二、要熟悉该定理的几种基本图形ABCDEF课堂小结三、注意该定理在三角形中的应用相似三角形 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. ABCEDF相似的表示方法符号： 读作：相似于在相似多边形中，最简单的就是相似三角形在ABC和ABC中，如果：AA，BB，CC，我们就说ABC与ABC相似，如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ABCABC活动1 相似三角形及相关概念ABCABC记作ABCABCk就是它们的相似比A

5、BCA1B1C1A =A1，B =B1，C =C1，AB : A1B1 =BC : B1C1 =AC : A1C1 = k当时，则ABC 与A1B1C1 相似，记作ABC A1B1C1. 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.注意 相似比AB : A1B1 =BC : B1C1 =AC : A1C1 = k时，ABCA1B1C1则ABC 与A1B1C1 的相似比为 k .或A1B1C1 与ABC 的相似比为 .如图，在ABC中，点D是边AB的中点，DEBC，DE交AC于点E ，ADE与ABC有什么关系？?思考ABCDE我们通过相似的定义证明这个结论活动2直觉告诉我们，ADE与ABC相似AB

6、CDE改变点D在AB上的位置，继续观察图形，进一步思考ADE与ABC是否存在着相似关系 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似证明：过点E作EF/AB，交BC于点FDE/BC,DF/AB（平行于三角形一边的直线截其它两边所得的对应线段成比例）四边形DEFB是平行四边形，FADEABC学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢

7、？活动3不需要能探究1在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论这两个三角形是相似的.证明：在线段AB（或它的延长线）上截取ADAB，过点D作DEBC，交AC于点E，根据前面的结论可得ADEABC同理 DEBCADEABCABCABCABCDEABC要证明ABCABC，可以先作一个与ABC全等的三角形，证明它与ABC相似，这里所作的三角形是证明的中介，把ABC与ABC联系起来如图在ABC和ABC中， 求证： ABCABC由此我们得到利用三边判定三角形相似的

8、方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似ABCABCABC ABC 类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？问 题探究探究2利用刻度尺和量角器画ABC和ABC，使AA ， 和 都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和BC的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角B与B，C与C是否相等？改变A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：等于kB =BC =C改变k的值具有相同的结论ABCABCAAABC ABC如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角

9、形相似类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，请你自己证明这个结论已知：如图， ABC和 ABC中，A =A，AB：ABAC：AC求证：ABC ABC 证明：在ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上别截取ADAB，AEAC，连结DE，因A =A，这样ABC ADE DE/BC ADE ABC ABC ABC ABCABCDE对于ABC和ABC，如果 BB，这两个三角形一定相似吗？试着画画看?思考 不 一 定 相 似根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由：（1）A120，AB7cm，AC14cm， A120，AB3cm，AC6cm；（2）AB4cm，BC6cm，AC8cm B1

10、2cm，BC18cm，AC21cm解：（1）又 AA ABCABC（2）ABC与ABC的三组对应边的比不等，它们不相似例1两三角形的相似比是多少？要使两三角形相似，不改变AC的长，AC的长应当改为多少？1.根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由： （1）A=40，AB=8，AC=15 A =40，AB =16，AC =30 （2）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm AB =16cm，BC =12.8cm，AC =25.6cm解：(1)A=AABCABC 练 习ABCABC（2）2. 图中的两个三角形是否相似？152520274540ABCDE45543630ACB=EC

11、DACBECD对应边的比不相等图中两个三角形不相似解：（1）（2）3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？方案(1)解：设另外两条边长分别为x , y3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？解：设另外两条边长分别为x , y方案(2)3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有

12、几个答案？解：设另外两条边长分别为x , y方案(3) 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30与60，或45与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 一定相 似观 察作ABC和ABC，使得AA，BB，这时它们的第三个角满足CC吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么现？探究ABCABC满足：C = CABCABC探究 把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ ABC和ABC相似吗？一样ABC和ABC相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似如图，已知ABC和ABC中，A=A,

13、 B=B， 求证: ABCABC证明：在ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=AB，过点D作DE/BC，交AC于点E，则有ADEABCADE=B, B=BADE=B又A=A,AD=ABADEABCABCABCABCDEABC例2 如图，弦AB和CD相交于O内一点P，求证PAPBPCPD证明：连接AC、BD A和D都是弧BC 所对的圆周角， AD同理 CB PACPDB即 PAPBPCPDABCDOP解： A= A,ABD=C, ABD ACB , AB : AC=AD : AB, AB2 = AD AC. AD=2, AC=8, AB =4.例3. 已知:如图,ABD=C，AD=2, AC=

14、8，求AB. 1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论BACBAC已知：等腰ABC AB = AC 和等腰ABC ，AB=AC 且有B=B, 求证:ABCABC证明：等腰三角形 AB=AC B=CABCABC 等腰三角形 AB=AC B=CB=B,C=C 练 习已知:等腰ABC 中AB=AC 和 ABC 有AB=AC， 并且A=A, 求证:ABCABC证明： ABC中AB=AC，B =C 2B =180A同理 ABC中AB=AC，B =C 2B =180A又 A=A B=B, ABCABCBACBAC2. 如图，RtABC中，CD是斜边上的高，ACD和CBD都和ABC相似吗？证明你的结论12ACDABCCBDABC证明：ACB=ADC=90又 A = A=90 ACDABCCDB=ACB=90B = B = 90 CBDABC思考已知：ABCA1B1C1.求证：你能证明吗？可要仔细哟！HLABCA1B1C1RtA