2022年XX圆锥曲线经典例题及总结终极最新版一部胜过所有

1、XX圆锥曲线经典例题及总结终极最新版一 部赛过全部圆锥曲线终极总结 1. 圆锥曲线的两定义：第肯定义中要重视“ 括号” 内的限制条件：椭圆中,与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数2a,且此常数 2a 肯定要大于 F1F2,当常数等于 F1F2 时,轨迹是线段 F1F2,当常数小于 F1F2 时,无轨迹；双曲线中,与两定点 F1,F2 的距离的差的肯定值等于常数 2a,且此常数 2a 肯定要小于|F1F2| ,定义中的“ 肯定值” 与2a|F1F2| 不行忽视；如2a|F1F2| ,就轨迹是以F1,F2 为端点的两条射线,如2a |F1F2| ,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表

2、示双曲线的一支；2. 圆锥曲线的标准方程在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：x2y2y2x2 椭圆：焦点在 221；x 轴上时 221,焦点在 y 轴上时abab 方程 Ax2By2C 表示椭圆的充要条件是什么？；x2y2y2x2 双曲线：焦点在 221；方程x 轴上： 22 =1 ,焦点在 y 轴上：abab； Ax2By2C 表示双曲线的充要条件是什么？抛物线：开口向右时y22pxp0 ,开口向左时y22pxp0 ,开口向上时x22pyp0 ,开口向下时 x22pyp0 ；3. 圆锥曲线焦点位置的判定：22 椭圆： x,y 分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；双曲线： x,y

3、项系数的正负打算,焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符 号打算开口方向；提示：在椭圆中,a 最大, abc,在双曲 线中, c 最大, cab；4. 圆锥曲线的几何性质：两22222222x2y2 椭圆为例）：范畴：axa,byb ；焦点：ab 个焦点 c,0 ；对称性：两条对称轴 x0,y0 ,一个对称中心,四个顶点a,0,0,b,ca2 其中长轴长为2a,短轴长为 2b；准线： 两条准线 x； 离心率： e,椭圆 0e1；ace 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁；x2y221 为例）双曲线,两个顶点 a,0 ,其中实轴长为2a,虚轴长为 2b,特殊地,当实

4、轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为2cax2y2k,k0 ；准线：两条准线x； 离心率： e,双曲线 e1,等轴双曲线 acbe2,e 越小,开口越小,e 越大,开口越大；两条渐近线：yx ；ap2 抛物线：范畴：x0,yR ；焦点：一个焦点,0 ,其中 p2 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一 条对称轴 y0,没有对称中心,只有一个顶点；cp； 离心率： e,抛物线 e1；a222x0y0 x2y25 、点Px0,y0 和椭圆221 的关系：点Px0,y0 在椭圆外 221；abab2222x0y0 x0y0点 Px0,y0在椭圆上22 1；点Px0,y0 在椭圆内 2

5、21 abab准线：一条准线 x 6直线与圆锥曲线的位置关系：相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有 0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件；相切： 0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切；0 直线与抛物线相切；相离： 0 直线与椭圆相离；0 直线与双曲线相离；0 直线与抛物线相离；提示：直线与双曲线、抛

6、物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时 , 直线与双曲线相交 物线的轴平行时 , 直线, 但只有一个交点；假如直线与抛x2y2 与抛物线相交 , 也只有一个交点；过双曲线 221外一点 Px0,y0 的直线与双曲线只有一个ab 公共点的情形如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线 和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条； P 点 在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条；P 在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线；

7、P 为原点时不存在这样的直线；过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；7、焦点三角形问题： Sbtan 当|y0|b 即 P 为短轴端点时, Smax的最大值为 bc；对于双曲线 S22c|y0| ；b2tan2 ； 如 短轴长为 5；8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；设AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就AMF BMF；设 AB为焦点弦, A、B 在准线上的射影分别为A1,B1,如 P 为 A1B1 的中点,就PAPB；如 AO的延长线交准线于 C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过 B

8、点平行于 x 轴的直线交准线于 三点共线；C 点,就 A,O,C9、弦长公式： 如直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1,x2 分别为 A、B 的横坐标,就AB1k2x1x2 ,如 y1,y2分别为 A、B 的纵坐标,就 AB121y1y2 ,如弦 AB所在直线2k 方程设为 xkyb ,就 AB1ky1y2 ；特殊地,焦点弦：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；抛物线：b2x0 x2y2 在双曲线221 中,以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=2；在抛物线abay0py22pxp0 中,以 的斜率 k=；

9、Px0,y0 为中点的弦所在直线y0 提示：由于 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 0！11明白以下结论2222 双曲线 xy1 的渐近线方程为 xy0 ；a2b2a2b22222b 以 yx 为渐近线的双曲线方程为 xy 为aa2b2a2b2 参数,0）；中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2ny21；2b2 椭圆、双曲线的通径为,焦准距为,抛物线的通径为 2p,焦准距为 p；c 通径是全部焦点弦中最短的弦；如抛物线 y2pxp0 的焦点弦为AB,Ax1,y1,Bx2,y2,就 |AB|x1x2p ；2p2,y1y2p

10、2 x1x24 如 OA、OB是过抛物线 y2pxp0 顶点 O的两条相互垂直的弦,就直线 22p,0 AB恒经过定点12、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容：给出直线的方向向量u1,k 或 um,n；给出 PMPN0,等于已知 P 是 MN的中点 ; 给出 APAQBPBQ,等于已知 P,Q 与 AB的中点三点共线 ; 给出以下情形之一： 如存在实数AB/AC ；存在实数 , 使 ABAC；, 且 1, 使 OCOAOB,等于已知 A,B,C 三点共线 . 给出 OAOB与 AB相交 , 等于已知 OAOB过 AB的中点 ; 给出 MAMB0,等于已知 MAMB,即 AMB是直角 , 给

11、出 MAMBm0, 等于已知 AMB是钝角 , 给出 MAMBm0,等于已知 AMB是锐角 , MAMB给出 MP,等于已知 MP是 AMB的平分线 / MAMB在平行四边形 已知 ABCD是菱形 ; ABCD中,给出 ABADABAD0,等于在平行四边形 ABCD中,给出 |ABAD|ABAD| ,等于已知ABCD是矩形 ; 在 ABC中,给出 OAOBOC,等于已知 O是 ABC的外心；在ABC中,给出 OAOBOC0,等于已知 O是 ABC的重心；在 ABC中,给出 OAOBOBOCOCOA,等于已知O是 ABC的垂心；222ABACR等于已知 AP通过 ABC的内在 ABC中,给出 O

12、POA|AB|AC| 心；在 ABC中,给出 aOAbOBcOC0,等于已知 O是 ABC的内心；1ABAC,等于已知AD是 ABC中 BC边的中线 ; 在 ABC中,给出 AD22 已知A,B 为抛物线x=2pyp0 上异于原点的两点,OAOB0,点 C坐标为 如 AMBM且 OMAB0试求点 M的轨迹方程；x12x22 证明：设 Ax1,Bx2,OAOB0得2p2px12x22x12x12x222 x1x20,x1x24p,又ACx1,2p,ABx2x1,2p2p2p2px22x12x12x12px2x10,AC/AB,即 A,B,C 三点共线；2p2p 知直线 AB过定点 C,又 OMA

13、B0及 AMBM知 OMAB,垂足为 M,所以点 M的轨迹为以OC为直径的圆, 除去坐标原点；即点M的轨迹方程为x2+y-p2=p2x0,y0 ；13. 圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、1 抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A3,42 与到准线的距离和最小 , 就点 P 的坐标为 _ 2 抛物线 C: y2=4x 上一点 Q到点 B4,1 与到焦点 F 的距离和最小 , 就点 Q的坐标为； 分析： A 在抛物线外,如图,连PF,就 PHPF,因而易发觉,当A、P、F 三点共线时,距离和最小；AQHPFB求证： A,B,C 三点共线；B 在抛物线内,如图,作QRl交于 R,就当B、Q、

14、R三点共线时,距离和最小；解： 4x2y21 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右 1、已知椭圆 C1 的方程为 4 顶点分别是 C1的左、右焦点；1 求双曲线 C2的方程；2 如直线 l ：ykx2 与椭圆 C1及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且l 与 C2 的两个交点A 和 B 满意 OAOB6其中 O为原点 ,求 k 的取值范畴；22xy 解：设双曲线 C2 的方程为,就 a2413, 再 a2b2c2得 b21. 1a2b2x2x22y1.y21 得14k2x282kx40. 故 C2 的方程为将 ykx2 代入 34 直线 l 与椭圆 C1

15、恒有两个不同的交点得11822k21614k2164k210, 即 k2. 4x2 将 ykx2 代入 y21 得13k2x262kx90. 直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不32113k0,22即k且k1. 同 的 交 点A , B得2223262k3613k361k9设AxA,yA,BxB,yB,就xAxB,xxAB13k213k2 OAOB6得xAxByAyB6,而xAxByAyBxAxBkxA2kxB2k21xAxB2kxAxB2 k12962k2k2 2213k13k3k2713k2715k21313122k或k. 于是 26, 即 0. 解此不等式得1533k13k21 、得11

16、13k2 或 k21. 4315 圆锥曲线终极总结 1. 圆锥曲线的两定义：第肯定义中要重视“ 括号” 内的限制条件：椭圆中,与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数2a,且此常数 2a 肯定要大于 F1F2,当常数等于 F1F2 时,轨迹是线段 F1F2,当常数小于 F1F2 时,无轨迹；双曲线中,与两定点 F1,F2 的距离的差的肯定值等于常数 2a,且此常数 2a 肯定要小于|F1F2| ,定义中的“ 肯定值” 与2a|F1F2| 不行忽视；如2a|F1F2| ,就轨迹是以F1,F2 为端点的两条射线,如2a |F1F2| ,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支；

17、2. 圆锥曲线的标准方程在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：x2y2y2x2 椭圆：焦点在 221；x 轴上时 221,焦点在 y 轴上时abab 方程 Ax2By2C 表示椭圆的充要条件是什么？；x2y2y2x2 双曲线：焦点在 221；方程x 轴上： 22 =1 ,焦点在 y 轴上：abab； Ax2By2C 表示双曲线的充要条件是什么？抛物线：开口向右时y22pxp0 ,开口向左时y22pxp0 ,开口向上时x22pyp0 ,开口向下时 x22pyp0 ；3. 圆锥曲线焦点位置的判定：22 椭圆： x,y 分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；双曲线： x,y 项系数的正负打算

18、,焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向；提示：在椭圆中,a 最大, abc,在双曲 线中, c 最大, cab；4. 圆锥曲线的几何性质：两22222222x2y2 椭圆为例）：范畴：axa,byb ；焦点：ab 个焦点 c,0 ；对称性：两条对称轴 x0,y0 ,一个对称中心,四个顶点a,0,0,b,ca2 其中长轴长为2a,短轴长为 2b；准线： 两条准线 x； 离心率： e,椭圆 0e1；ace 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁；x2y221 为例）双曲线,两个顶点 a,0 ,其中实轴长为2a,虚轴长为 2b,特殊地,当实轴和虚轴的长相等时

19、,称为等轴双曲线,其方程可设为2cax2y2k,k0 ；准线：两条准线x； 离心率： e,双曲线 e1,等轴双曲线 acbe2,e 越小,开口越小,e 越大,开口越大；两条渐近线：yx ；ap2 抛物线：范畴：x0,yR ；焦点：一个焦点 ,0 ,其中 p2 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 y0,没有对称中心,只有一个顶点；cp； 离心率： e,抛物线 e1；a222x0y0 x2y25 、点Px0,y0 和椭圆221 的关系：点Px0,y0 在椭圆外 221；abab2222x0y0 x0y0点 Px0,y0在椭圆上22 1；点Px0,y0 在椭圆内 221 abab准线

20、：一条准线 x 6直线与圆锥曲线的位置关系：相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有 0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件；相切： 0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切；0 直线与抛物线相切；相离： 0 直线与椭圆相离；0 直线与双曲线相离；0 直线与抛物线相离；提示：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点

21、时的位置关系有两种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时 , 直线与双曲线相交 物线的轴平行时 , 直线, 但只有一个交点；假如直线与抛x2y2 与抛物线相交 , 也只有一个交点；过双曲线 221外一点 Px0,y0 的直线与双曲线只有一个ab 公共点的情形如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线 和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条； P 点 在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近 线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条；P 在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线；P 为原点时不存

22、在这样的直线；过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；7、焦点三角形问题： Sbtan 当|y0|b 即 P 为短轴端点时, Smax的最大值为 bc；对于双曲线 S22c|y0| ；b2tan2 ； 如 短轴长为 5；8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；设AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就AMF BMF；设 AB为焦点弦, A、B 在准线上的射影分别为A1,B1,如 P 为 A1B1 的中点,就PAPB；如 AO的延长线交准线于 C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过 B 点平行于 x 轴

23、的直线交准线于 三点共线；C 点,就 A,O,C9、弦长公式： 如直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1,x2 分别为 A、B 的横坐标,就AB1k2x1x2 ,如 y1,y2分别为 A、B 的纵坐标,就 AB121y1y2 ,如弦 AB所在直线2k 方程设为 xkyb ,就 AB1ky1y2 ；特殊地,焦点弦：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；抛物线：b2x0 x2y2 在双曲线221 中,以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=2；在抛物线abay0py22pxp0 中,以 的斜率 k=；Px0,y0 为

24、中点的弦所在直线y0 提示：由于 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条 件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 0！11明白以下结论 2222 双曲线 xy1 的渐近线方程为 xy0 ；a2b2a2b22222b 以 yx 为渐近线的双曲线方程为 xy 为aa2b2a2b2 参数,0）；中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2ny21；2b2 椭圆、双曲线的通径为,焦准距为,抛物线的通径为 2p,焦准距为 p；c 通径是全部焦点弦中最短的弦；如抛物线 y2pxp0 的焦点弦为AB,Ax1,y1,Bx2,y2,就 |AB|x1x2p ；2p2,y1y2p2 x1x2

25、4 如 OA、OB是过抛物线 y2pxp0 顶点 O的两条相互垂直的弦,就直线 22p,0 AB恒经过定点12、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容：给出直线的方向向量u1,k 或 um,n；给出 PMPN0,等于已知 P 是 MN的中点 ; 给出 APAQBPBQ,等于已知 P,Q 与 AB的中点三点共线 ; 给出以下情形之一： 如存在实数AB/AC ；存在实数 , 使 ABAC；, 且 1, 使 OCOAOB,等于已知 A,B,C 三点共线 . 给出 OAOB与 AB相交 , 等于已知 OAOB过 AB的中点 ; 给出 MAMB0,等于已知 MAMB,即 AMB是直角 , 给出 MAMB

26、m0, 等于已知 AMB是钝角 , 给出 MAMBm0,等于已知 AMB是锐角 , MAMB给出 MP,等于已知 MP是 AMB的平分线 / MAMB在平行四边形 已知 ABCD是菱形 ; ABCD中,给出 ABADABAD0,等于在平行四边形 ABCD中,给出 |ABAD|ABAD| ,等于已知ABCD是矩形 ; 在 ABC中,给出 OAOBOC,等于已知 O是 ABC的外心；在ABC中,给出 OAOBOC0,等于已知 O是 ABC的重心；在 ABC中,给出 OAOBOBOCOCOA,等于已知O是 ABC的垂心；222ABACR等于已知 AP通过 ABC的内在 ABC中,给出 OPOA|AB

27、|AC| 心；在 ABC中,给出 aOAbOBcOC0,等于已知 O是 ABC的内心；1ABAC,等于已知AD是 ABC中 BC边的中线 ; 在 ABC中,给出 AD22 已知A,B 为抛物线x=2pyp0 上异于原点的两点,OAOB0,点 C坐标为 如 AMBM且 OMAB0试求点 M的轨迹方程；x12x22 证明：设 Ax1,Bx2,OAOB0得2p2px12x22x12x12x222 x1x20,x1x24p,又ACx1,2p,ABx2x1,2p2p2p2px22x12x12x12px2x10,AC/AB,即 A,B,C 三点共线；2p2p 知直线 AB过定点 C,又 OMAB0及 AMBM知 OMAB,垂