2022年新高考数学二轮提升数列专题第1讲《等差、等比数列基本运算和拔高运算》（解析版）

1、第1讲 等差、等比数列基本运算和拔高运算 参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1（2021春抚顺期末）记为等差数列的前项和，已知，则ABCD【解答】解：，解得，故选：2（2021春怀化期末）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，若，则，则有，解可得，则，故选：3（2021吉林校级月考）已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则AB1CD【解答】解：由题意知数列的首项为，公差为因为数列的前项和是，所以，又也是公差为的等差数列，则，两边平方得：，两边平方得：得：，把代入得：所以或当时，不合题意，当时，代入解得所

2、以故选：4（2021春吉安期末）命题：公差不为0的等差数列的通项可以表示为关于的一次函数形式，反之通项是关于的一次函数形式的数列为等差数列为真，现有正项数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则数列的一个通项公式为ABCD【解答】解：设正项数列的公差为，首项，平方得，整理得，因为对任意都成立，所以，又所以，代入得所以故选：5（2021肥城市模拟）若数列，则称数列为“调和数列”已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是A10B100C200D400【解答】解：由已知数列为调和数列可得为常数）为等差数列，由等差数列的性质可得，又，故选：6（2021春大竹县校级期中）若数列满足，为常数），则

3、称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为AB2CD4【解答】解：由题设知：，为常数），是等差数列，（当且仅当时取“等号“，（不等号两边同时加上，（当且仅当时取“等号“，的最大值为4故选：二填空题（共9小题）7（2021宝山区校级期中）已知是等差数列，记，设为的前项和，且，则当取最大值时，17【解答】解：设的公差为，则由，可得，其中；从而，时，时，；又由此可得，时，时，时，时，；因此只需比较与，即比较与零的关系：，故，故答案为：178（2021西湖区校级模拟）设公比不为1的等比数列满足，且，成等差数列，则公比，数列的前4项的和为【解答】解：在公比不为1的等比数列，由，得，又，成等差

4、数列，即，解得则故答案为：；9（2021秦州区校级月考）在各项均为正数的等比数列中，且，成等差数列，记是数列的前项和，则126【解答】解：设正项等比数列的公比为，由，构成等差数列，得，又，所以，解得，所以故答案为：12610（2021浦东新区校级期中）已知公比大于1的等比数列满足，记为在区间，中的项的个数，的前项和为，则【解答】解：因为，所以，解得，或（舍，故，故在区间，上，在，上，2个1，在，上，个2，归纳得，则，令，则，两式相减得，故，由题意得，故答案为：11（2021钦州月考）正项等比数列中，记为的前项和若，则7【解答】解：根据题意，设正项等比数列的公比为，则，若，即，解可得，即，解可得

5、，故答案为：712（2021启东市校级二模）在等差数列中，若任意两个不等的正整数，都有，设数列的前项和为，若，则（结果用表示）【解答】解：设公差为， （1）， （2），由（1）（2）可得把代入可得，故答案为13（2021春徐州期中）已知等比数列满足，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，则公比为【解答】解：等比数列满足，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，都是的几次方的形式，应该也是的几次方的形式，只有可能等于，由，得，解得故答案为：14（2021九江三模）已知数列的前项和为，且满足，设，若存在正整数，使得，成等差数列，则5【解答】解：数列满足，时，解得时，数列是首项为1，公差为1的等差数列

6、，存在正整数，使得，成等差数列，数列是单调递减数列当时，由，解得，舍去当时，当时，不成立，可得：，解得15（2021六安模拟）设数列的前项和为，且，为等差数列，则【解答】解：，为等差数列，首项为：，第二项为：，公差为即，时，化为：数列是等比数列，公比为，首项为1则故答案为：三解答题（共6小题）16（2021春岳阳县校级期末）记为公差不为0的等差数列的前项和，已知，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值【解答】解：（1）为公差不为0的等差数列的前项和，且，成等比数列，可得，即，即，联立求得，可得；（2），当或时，有最小值17（2021新课标）设是公比不为1的等比数列，为，的

7、等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【解答】解：（1）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，可得，即，即为，解得舍去），所以的公比为；（2）若，则，则数列的前项和为，两式相减可得，化简可得，所以数列的前项和为18（2021新课标）已知数列和满足，（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式【解答】解：（1）证明：，；，；即，；又，是首项为1，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：，；，19（2021浙江）已知等差数列的公差，设的前项和为，（）求及；（）求，的值，使得【解答】解：（）由，得，即，化为，解得或，又公差，则，所以（）由（）得

8、，由得，即，又，则，或，下面分类求解：当时，解得，；当时，解得，故舍去；当时，解得，故舍去；当时，解得，故舍去；综上得，20（2021天津校级月考）设正项数列的前项和是，和都是等差数列，且公差相等，恰为等比数列的前三项（1）求的公比；（2）求的通项公式；（3）记数列，的前项和为，求证：对任意，都有【解答】解：（1）正项数列的前项和是，和都是等差数列，且公差相等，设公差为，则：两边平方得：同理：两边平方得：得：代入解得：或舍去）进一步解得：所以：（2）由（1）得：，恰为等比数列的前三项所以：，进一步求出：所以：当时，则：且：故对任意，都有成立21已知数列的首项为，前项和为，且有， （1）求数列的通项公式 （2）当时，若对于任意，都有，求的取值范围； （3）当时，若，求能够使数列为等比数列的所有数对【解答】解：（1）当时，由，