2022年新高考数学二轮提升数列专题第16讲《数列不等式的范围与最值问题》（解析版）

1、第16讲 数列不等式的范围与最值问题 参考答案与试题解析一选择题（共3小题）1（2021秋武昌区期末）已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为ABCD【解答】解：由题意，当时，当时，则设数列的前项和，则对任意的，不等式恒成立，对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立构造数列：令，数列是单调递增数列数列的最小值为故选：2（2021潮南区模拟）已知等差数列中，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为A5B4C3D2【解答】解：设公差为，由，得，解得，故，令，则，是递减数列，最大，为，根据题意，的最小值为4故选：3（2021宣城二模）等比

2、数列的首项为正数，若对满足的任意，都成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：由题意有可得，又，公比，故满足的的最小值等于9，在，上是增函数，故取最小值9时，有最小值为，由题意可得，即实数的取值范围是，故选：二填空题（共4小题）4（2021秋淮安期中）已知数列，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围【解答】解：，数列前3项单调递增，从第3项起单调递减，当时，数列有最大值，故故答案为：5（2021秋广东月考）已知数列的前项和，设数列满足：为非零常数，存在整数，使得对任意，都有，则【解答】解：，解得时，化为：，变形为：，数列是等差数列，首项为1，公差为1，为非零常数，存在

3、整数，使得对任意，都有，化为：，时，时，为非0整数则故答案为：6（2021沈河区校级四模）数列满足：，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为10【解答】解：数列满足：，数列是以4为公差、以1为首项的等差数列，易得：，令，而，为减数列，所以：，而为正整数，所以，7（2021江西模拟）已知函数，点为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则使得恒成立的实数的取值范围为【解答】解：根据题意得，是直线的倾斜角，；要使恒成立，则实 数的取值范围是故答案为：三解答题（共16小题）8已知的前项和为（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和；（3）若对于任意的 ，不等式恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）当时，

4、即，当时，故，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则求的通项公式为；（2）由（1）知，所以，则的前项和为；（3）由（1）知，所以，从而不等式等价于，又，则上式整理可得，则，解得9（2021温州模拟）已知等差数列满足，数列的前项和，（1）求数列、的通项公式；（2）记数列的前项和为，若存在正数，使对一切恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）数列是等差数列，由，得，又，则；，则，当时，当时，验证时成立，；（2）由（1）得，两式作差可得：，对一切恒成立，对一切恒成立，即对一切恒成立，令，则，当且仅当时等号成立故实数的取值范围是10（2021春浙江期中）已知数列满足，且（1）求证：数列是等比数列，并

5、求数列通项公式；（2）求数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）证明：，又，数列是首项为，公比为的等比数列，即，等式两边同时相加得，则，又也适合上式，；（2）解：，由得，又，令，由，当时，；当时，11（2021秋沙河口区校级期中）已知数列满足，等比数列满足，（1）求数列、数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，当时恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）数列满足，时，；时，时也满足，设等比数列的公比为，解得，（2）数列的前项和，（3）在（2）的条件下，当时恒成立，等价于：恒成立时，当且仅当时取等号，的取值范围是12（2021春青秀区校级期末）已

6、知数列的前项和，数列为等差数列，且满足，（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）数列的前项和，时，时，时满足上式，设等差数列的公差为，解得，（2），可得：不等式，即不等式，化为：，当且仅当时取等号存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，即的取值范围为13（2021宝山区一模）已知数列的前项和为，为正整数）（1）求数列的通项公式；（2）记，若对任意正整数，恒成立，求的取值范围？（3）已知集合，若以为首项，为公比的等比数列前项和记为，问是否存在实数使得对于任意的，均有若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理

7、由【解答】解：（1）由题意知，当时，两式相减变形得：又时，于是（1分）故是以为首项，公比的等比数列（4分）（2）由得（5分）当是偶数时，是的增函数，于是，故（7分）当是奇数时，是的减函数，因为，故（9分）综上所述，的取值范围是（10分）（3）当时，若，则得此不等式组的解集为空集即当时，不存在满足条件的实数（13分）当时，而是关于的增函数且（15分）因此对任意的，要使，只需解得（18分）14（2021秋葫芦岛期末）已知数列为等差数列，且满足，数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）证明：是等比数列，并求的通项公式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1），即；

8、（2），（常数），又，也成立，是以1为首项，3为公比的等比数列，（3），对恒成立，即对恒成立，令，当时，当时，故，即的取值范围为15（2021春东湖区校级月考）已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）求数列 的前项和；（3）若集合中含有4个元素，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意得，当时，又也满足上式，故；（3分）（2）由（1）可得，得，所以（7分）（3）由（2）可得，所以，即令则（1），因为所以，当时，即因为集合含有4个元素，所以，即的解的个数为4，因为（2）（3）（4）（1）（5），（5）（1），16（2021天津校级二模）已知数列，前项和满足，（）求的通项公式；（）若，求数列

9、的前项和；（）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围【解答】解：（）由已知，且，当时，也适合，当时，且也适合，（），设，当为偶数时，当为奇数时，且也适合综上得（），使数列是单调递减数列，则，对都成立，则，当或2时，17（2021春天津校级月考）设数列为数列的前项和，且，2，（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和，若存在整数，使得对任意且都有成立，求的最大值（）设，证明：【解答】（）解：，两式相减得：，两边同时除以，可得：，又，；（）解：，令，则，即，数列为递增数列，当时，的最小值为，由题意知，的最大整数值为18；（）证明：，设，则，即18已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项

10、和，且满足，数列满足，为数列的前项和（1）求数列的通项公式和数列的前项和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1），；（2）恒成立，恒成立，当为奇数时，有恒成立，解得：；当为偶数时，有恒成立，解得：；综合知：，的取值范围为19（2021春齐齐哈尔期中）已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）数列满足，数列为等差数列，公差为1，首项为，可得：（2），当为偶数时，令则，（2）当为奇数时，由可知：单调递减，又当时，综上可得：20（2018春定州市校级期中）已知数列满足，前项和满足（1）求的通项公

11、式；（2）求的通项公式；（3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围【解答】解：（1），满足上式，（2）时，当时，符合上式，（3），是递减数列，即，只需设数列的通项公式，时，即当时，所以的最大项为，21（2021秋下城区校级期中）已知数列满足，且对一切，有，其中为数列的前项和（1）求证：对一切，有；（2）求数列的通项公式；（3）求证：【解答】（1）证明：，两式作差可得：，即，又，得，则，；（2）解：当时，由及，得，当时，可得；当时，得到，又，解得，满足，则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，其通项公式为；（3）证明：要证不等式成立，即证，设，即，则成立22（2021广东二模）已知数列满足（1）若数列是等差数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和；（3）若对任意，都有成立，求的取值范围【解答】解：（1）若数列是等差数列，则，由，得，即，解得，（2）由，得两式相减，得所以数列是首项为，公差为4的等差数列数列是首项为，公差为4的等差数列由，得所以当为奇数时，当为偶数时，所以（3）由（2）知，当为奇数时，由，得令当或时