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文档简介
福建省三明市第一中学2024届高三下-第二次月考数学试题试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数满足则的最大值为()A.2 B. C.1 D.02.已知a>b>0,c>1,则下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.ac<bc D.3.执行如图所示的程序框图,若输出的,则①处应填写()A. B. C. D.4.已知α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,则“α∥β是“l∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是A.在内总存在与平面平行的线段B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.可能为直角三角形6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm37.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]8.棱长为2的正方体内有一个内切球,过正方体中两条异面直线,的中点作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为()A. B. C. D.19.设是虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.10.如图是一个算法流程图,则输出的结果是()A. B. C. D.11.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.设双曲线(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于,若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等差数列的各项均为正数,,且,若,则________.14.已知为偶函数,当时,,则__________.15.二项式的展开式中项的系数为_____.16.已知单位向量的夹角为,则=_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意的和恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设为曲线上位于第一,二象限的两个动点,且,射线交曲线分别于,求面积的最小值,并求此时四边形的面积.19.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线与直线其中的一个交点为,且点极径.极角(1)求曲线的极坐标方程与点的极坐标;(2)已知直线的直角坐标方程为,直线与曲线相交于点(异于原点),求的面积.20.(12分)已知数列{an}满足条件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求证:Sn.21.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程,其中,.768381252622.(10分)已知等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前n项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
作出可行域,平移目标直线即可求解.【详解】解:作出可行域:由得,由图形知,经过点时,其截距最大,此时最大得,当时,故选:B【点睛】考查线性规划,是基础题.2、B【解析】
根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定,故错误;对B,因为y=cx为增函数,且a>b,所以ca>cb,正确对C,因为y=xc为增函数,故,错误;对D,因为在为减函数,故,错误故选B.【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性,属基础题.3、B【解析】
模拟程序框图运行分析即得解.【详解】;;.所以①处应填写“”故选:B【点睛】本题主要考查程序框图,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、A【解析】试题分析:利用面面平行和线面平行的定义和性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断.解:根据题意,由于α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,由于“α∥β,则根据面面平行的性质定理可知,则必然α中任何一条直线平行于另一个平面,条件可以推出结论,反之不成立,∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件.故选A.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面平行的判定.5、D【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交,则交线与平面ABC平行;B项利用线面垂直的判定定理;C项三棱锥与三棱锥体积相等,三棱锥的底面积是定值,高也是定值,则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项,用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;B项,如图:当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正确;C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确;D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力,意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用,是中档题.6、B【解析】试题分析:该几何体上面是长方体,下面是四棱柱;长方体的体积,四棱柱的底面是梯形,体积为,因此总的体积.考点:三视图和几何体的体积.7、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.8、C【解析】
连结并延长PO,交对棱C1D1于R,则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,推导出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长.【详解】如图,MN为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO,交对棱C1D1于R,则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故选:C.【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.9、A【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数,∴,,则,故选:A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算,属于基础题10、A【解析】
执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环,即可求解,得到答案.【详解】由题意,执行上述的程序框图:第1次循环:满足判断条件,;第2次循环:满足判断条件,;第3次循环:满足判断条件,;不满足判断条件,输出计算结果,故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出,其中解答中执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.11、A【解析】
试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系12、C【解析】
由题得,,又,联立解方程组即可得,,进而得出双曲线方程.【详解】由题得①又该双曲线的一条渐近线方程为,且被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,所以②又③由①②③可得:,,所以双曲线的标准方程为.故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,圆的方程的有关计算,考查了学生的计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设等差数列的公差为,根据,且,可得,解得,进而得出结论.【详解】设公差为,因为,所以,所以,所以故答案为:【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式,属于基础题.14、【解析】
由偶函数的性质直接求解即可【详解】.故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性,对数函数的运算,考查运算求解能力15、15【解析】
由题得,,令,解得,代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得,,令,解得,所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为:15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.16、【解析】
因为单位向量的夹角为,所以,所以==.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数,然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可;(Ⅱ)将原问题进行等价转化为,,恒成立,然后构造新函数,结合函数的性质确定实数的取值范围即可.【详解】解:(Ⅰ)当时,,当时,在上恒成立,函数在上单调递减;当时,由得:;由得:.∴当时,函数的单调递减区间是,无单调递增区间:当时,函数的单调递减区间是,函数的单调递增区间是.(Ⅱ)对任意的和,恒成立等价于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,则得,由此可得:在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴当时,,即又∵,∴实数的取值范围是:.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,等价转化的数学思想等知识,属于中等题.18、(1);(2)面积的最小值为;四边形的面积为【解析】
(1)将曲线消去参数即可得到的普通方程,将,代入曲线的极坐标方程即可;(2)由(1)得曲线的极坐标方程,设,,,利用方程可得,再利用基本不等式得,即可得,根据题意知,进而可得四边形的面积.【详解】(1)由曲线的参数方程为(为参数)消去参数得曲线的极坐标方程为,即,所以,曲线的直角坐标方程.(2)依题意得的极坐标方程为设,,,则,,故,当且仅当(即)时取“=”,故,即面积的最小值为.此时,故所求四边形的面积为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19、(1)极坐标方程为,点的极坐标为(2)【解析】
(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可;(2)只需算出A、B两点的极坐标,利用计算即可.【详解】(1)曲线C:(为参数,),将代入,解得,即曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(2)由(1),得点的极坐标为,由直线过原点且倾斜角为,知点的极坐标为,.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积,考查学生的运算能力,是一道基础题.20、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析【解析】
(Ⅰ)由an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,对分奇偶讨论,即可得;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,用错位相减法求出,运用分析法证明即可.【详解】(Ⅰ),当为奇数时,,又由,得,当为偶数时,,又由a2=3,得,;(Ⅱ)由(1)得,则①②①-②可得:,,若证明Sn,则需要证明,又,即证明,即证,又显然成立,故Sn得证.【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,错位相减法求前项和,分析法证明不等式,考查了分类讨论的思想,考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.21、(1)
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